《第2講 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第2講 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二講 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式 【要點(diǎn)精講】 1．任意角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn)。 為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角。 2．終邊相同的角、區(qū)間角與象限角 角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角。要特別注意:如果角的

2、終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限,稱為非象限角。 終邊相同的角是指與某個(gè)角α具有同終邊的所有角，它們彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。 區(qū)間角是介于兩個(gè)角之間的所有角，如α∈{α|≤α≤}=[，]。 3．弧度制 長度等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。 角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。 角的

3、弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，l是圓心角所對(duì)的弧長，是半徑。 角度制與弧度制的換算主要抓住。 弧度與角度互換公式：1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad）。 弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)）， 扇形面積公式：。 4．三角函數(shù)定義 在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則；；。 利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么: a的終邊 P(x,y)) O x y (1)叫做的正弦,記做,即； （2）叫做的余弦,記做,即； （3）叫做的正切,記做,即。 5．

4、三角函數(shù)線 O x y a角的終邊 P T M A 三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時(shí)，十分方便。 以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；。 我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定： 當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向

5、為負(fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有 同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)， 規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo) 這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。 如上圖,過點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請(qǐng)根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線段,我們有 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。 6．同角三角函數(shù)關(guān)系式 使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用

6、“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法 幾個(gè)常用關(guān)系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之間可以互相表示) 同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余兩式。 ②． ③當(dāng)時(shí)，有。 7．誘導(dǎo)公式 可用十個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。 誘導(dǎo)公式一：，，其中 誘導(dǎo)公式二： ； 誘導(dǎo)公式三： ； 誘導(dǎo)公式四：； 誘導(dǎo)公式五：； － sin －sin sin －sin －sin sin cos cos cos －cos －cos cos

7、 cos sin （1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）； （2）記憶方法：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”； （3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)； （4）；。 【典例解析】 題型1：象限角 例1．已知角；（1）在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；（2）集合，那么兩集合的關(guān)系是什么？ 例2．若sinθcosθ＞0，則θ在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 例3．若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)

8、P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例4．已知“是第三象限角，則是第幾象限角? 點(diǎn)評(píng)：已知角的范圍或所在的象限，求所在的象限是常考題之一，一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下：把各象限均分n等份，再從x軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循環(huán)一周，則原來是第幾象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即為 (n∈N*)的終邊所在的區(qū)域。 題型2：三角函數(shù)定義 例5．已知角的終邊過點(diǎn)，求的四個(gè)三角函數(shù)值。

9、 6．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，求的值。 題型3：誘導(dǎo)公式 例7．已知，則（ ） A. B. C. D. 例8．化簡： （1）； （2）。 題型4：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 例9．已知，試確定使等式成立的角的集合。 例10．（1）證明：； （2）求證：。

10、 （1）點(diǎn)評(píng)：在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡和三角恒等式的證明時(shí)，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式，利用倒數(shù)關(guān)系比常規(guī)的“化切為弦”要簡潔得多。（2）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有三種，即平方關(guān)系、商的關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系 （2）點(diǎn)評(píng)：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時(shí)常用的方法有：（1）從一邊開始，證明它等于另一邊（如例5的證法一）；（2）證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子（如例6）；（3）證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立 【課堂練習(xí)】 1.有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題： ：xR, += : x、yR, si

11、n(x-y)=sinx-siny : x,=sinx : sinx=cosyx+y= 其中假命題的是（　　 ） A．， B.， C.， D.， ２．°的值為 （ 　　　） A. B. C. D. ３.已知tan=4,cot=,則tan(a+)= （　　　 ） A. B. C. D. ４．已知中，， 則（　　　） A. B. C. D. ５.若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位

12、長度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（ 　　 ） A. B. C. D. ６.“”是“”的（ 　　 ） A． 充分而不必要條件　　　　　　　B．必要而不充分條件 C． 充分必要條件　　　　　　　　　D．既不充分也不必要條件 ７. “”是“”的 （ 　 ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 ８.已知函數(shù)，

13、下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　　） A. 函數(shù)的最小正周期為2 B. 函數(shù)在區(qū)間［0，］上是增函數(shù) C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線＝0對(duì)稱 D. 函數(shù)是奇函數(shù) ９.“sin=”是“”的 （ 　 ） A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 １０.下列關(guān)系式中正確的是（ 　 ） A． B． C． D． １１.若，則 .　　　 １２.已知函數(shù)則的值為 . １

14、３. 函數(shù)，給出下列4個(gè)命題： ①在區(qū)間上是減函數(shù)； ②直線是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸； ③函數(shù)f（x）的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移而得到； ④若，則f（x）的值域是． 其中正確命題序號(hào)是 。 【思維總結(jié)】 1．幾種終邊在特殊位置時(shí)對(duì)應(yīng)角的集合為： 角的終邊所在位置 角的集合 X軸正半軸 Y軸正半軸 X軸負(fù)半軸 Y軸負(fù)半軸 X軸 Y軸 坐標(biāo)軸 2．α、、2α之間的關(guān)系。 若α終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。 若α終邊在第二象限則終

15、邊在第一或第三象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。 若α終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。 若α終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。 3．任意角的概念的意義，任意角的三角函數(shù)的定義，同角間的三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式由于本重點(diǎn)是任意角的三角函數(shù)角的基礎(chǔ)，因而三學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)要注意如下幾點(diǎn)： （1）熟練地掌握常用的方法與技巧，在使用三角代換求解有關(guān)問題時(shí)要注意有關(guān)范圍的限制； （2）要注意差異分析，又要活用公式，要善于瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)進(jìn)行有效的變形，其解題一般思維模式為：發(fā)現(xiàn)差異，尋找聯(lián)系，合理轉(zhuǎn)化只有這樣才能在高考中奪得高分。 三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么,,。所以，三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，又因?yàn)榻堑募吓c實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù) 4．運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡、證明 常用的變形措施有：大角化小，切割化弦等，應(yīng)用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一個(gè)不為零的，得到一個(gè)只含的教簡單的三角函數(shù)式。