《2017-2018學年高中數(shù)學 第二講 證明不等式的基本方法 第3節(jié) 反證法與放縮法創(chuàng)新應用教學案 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年高中數(shù)學 第二講 證明不等式的基本方法 第3節(jié) 反證法與放縮法創(chuàng)新應用教學案 新人教A版選修4-5（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第3節(jié) 反證法與放縮法創(chuàng)新應用 [核心必知] 1．反證法 先假設要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設不正確，從而證明原命題成立，我們稱這種證明問題的方法為反證法． 2．放縮法 證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的．我們把這種方法稱為放縮法． [問題思考] 1．用反證法證明不等式應注意哪些問題？ 提示：用反證法證明不等式要把握三點： (1)必須先否定結論，對于結論的反面出現(xiàn)的多種可能要

2、逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的． (2)反證法必須從否定結論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證；否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法． (3)推導出來的矛盾可以是多種多樣的，有的與已知條件相矛盾，有的與假設相矛盾，有的與定理、公理相違背，有的與已知的事實相矛盾等，但推導出的矛盾必須是明顯的． 2．運用放縮法證明不等式的關鍵是什么？ 提示：運用放縮法證明不等式的關鍵是放大(或縮小)要適當．如果所要證明的不等式中含有分式，那么我們把分母放大時相應分式的值就會縮?。? 反之，如果把分母縮小，則相應分式的值就會放大．有時也會把分子、分母同時放大，這時應該注

3、意不等式的變化情況，可以與相應的函數(shù)相聯(lián)系，以達到判斷大小的目的，這些都是我們在證明中的常用方法與技巧，也是放縮法中的主要形式． 　　　設a，b，c，d都是小于1的正數(shù)，求證：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)這四個數(shù)不可能都大于1. [精講詳析]　本題考查反證法的應用．解答本題若采用直接法證明將非常困難，因此可考慮采用反證法從反面入手解決． 假設4a(1－b)＞1，4b(1－c)＞1，4c(1－d)＞1，4d(1－a)＞1，則有a(1－b)＞，b(1－c)＞，c(1－d)＞，d(1－a)＞. ∴＞，＞，＞，＞. 又∵≤，≤， ≤， ≤

4、，∴＞，＞， ＞，＞.將上面各式相加得2＞2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a) 這四個數(shù)不可能都大于1. (1)當證明的結論中含有“不是”，“不都”，“不存在”等詞語時，適于應用反證法，因為此類問題的反面比較具體． (2)用反證法證明不等式時，推出的矛盾有三種表現(xiàn)形式：①與已知相矛盾，②與假設矛盾，③與顯然成立的事實相矛盾． 1．已知f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(a)＋f(－b)＞f(－a)＋f(b)．求證：a>b. 證明：假設a≤b， 則當a＝b時－b＝－a， 于是有f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)與已知矛盾．

5、 當a＜b時，－a＞－b， 于是有f(a)b. 　　　實數(shù)a、b、c、d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a、b、c、d中至少有一個是負數(shù)． [精講詳析]　本題考查“至多”、“至少”型命題的證明方法．解答本題應假設a、b、c、d都是非負數(shù)，然后證明并得出矛盾． 假設a、b、c、d都是非負數(shù)， 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0， 則1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd， 這與已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假設錯誤， ∴a、b、c、

6、d中至少有一個是負數(shù)． (1)在證明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼時，或證明否定性命題、唯一性命題時，可使用反證法證明．在證明中常見的矛盾可以與題設矛盾，也可以與已知矛盾，與顯然的事實矛盾，也可以自相矛盾． (2)在用反證法證明的過程中，由于作出了與結論相反的假設，相當于增加了題設條件，在證明過程中必須使用這個增加的條件，否則就不是反證法． 2．已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，求證：y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至多有一個零點． 證明：假設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至少有兩個零點， 不妨設x1，x2(x1≠x2)為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，

7、b)上的兩個零點，且x1＜x2，則f(x1)＝f(x2)＝0. ∵函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)， x1，x2∈(a，b)且x1＜x2， ∴f(x1)＜f(x2)，與f(x1)＝f(x2)＝0矛盾， ∴原假設不成立． ∴函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上至多有一個零點. 　　　求證：－＜1＋＋…＋＜2－(n∈N＋且n≥2)． [精講詳析]　本題考查放縮法在證明不等式中的應用，解答本題要注意欲證的式子中間是一個和的形式，但我們不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考慮將分母適當放大或縮小成可以求和的形式，進而求和，并證明該不等式． ∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，

8、 ∴＜＜， 即－＜＜－ (k∈N＋且k≥2)． 分別令k＝2，3，…，n 得－＜＜1－，－＜＜－，…－＜＜－， 將這些不等式相加得 －＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－， 即－＜＋＋…＋＜1－， ∴1＋－＜1＋＋＋…＋＜1＋1－， 即－＜1＋＋＋…＋＜2－ (n∈N＋且n≥2)成立． (1)放縮法證不等式主要是根據(jù)不等式的傳遞性進行變換，即欲證a>b，可換成證a>c且c>b，欲證a

9、利用不等式的性質(zhì)、利用已知不等式、利用函數(shù)的性質(zhì)進行放縮等．比如：舍去或加上一些項：＋＞； 將分子或分母放大(縮小)：＜，＞，＜，＞(k∈R，k＞1)等． 3．已知：an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，求證：＜an＜. 證明：∵＝， ∴＞n， ∴an＝＋＋…＋>1＋2＋3＋…40＋n＝. ∵<， ∴an<＋＋＋…＋ ＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝. 綜上得：＜an＜. 反證法和放縮法在高考中單獨命題的可能性不大，一般以解答題一問的形式出現(xiàn)，但反證法和放縮法是一種重要的思維模式，在邏輯推理中有著廣泛的應用． [考題印證] (安徽高考)設直線l1：y＝k1x＋1，l2：y

10、＝k2x－1， 其中實數(shù)k1，k2滿足k1k2＋2＝0. (1)證明l1與l2相交； (2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2＋y2＝1上． [命題立意]　本題考查直線與直線的位置關系，線線相交的判斷與證明，點在曲線上的判斷與證明，考查學生推理論證的能力． [證明]　(1)反證法．假設l1與l2不相交，則l1與l2平行，有k1＝k2.代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0， 此與k1為實數(shù)的事實相矛盾．從而k1≠k2，即l1與l2相交． (2)法一 ：由方程組 解得交點P的坐標(x，y)為 而2x2＋y2＝2＋ ＝＝＝1. 此即表明交點P(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1上． 法

11、二：l1與l2的交點P的坐標(x，y)滿足 故知x≠0，從而 代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0， 整理后，得2x2＋y2＝1， 所以交點P在橢圓2x2＋y2＝1上． 一、選擇題 1．否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個為偶數(shù)”時正確的反設為　　(　　) A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù) B．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù) C．a(chǎn)、b、c中至少有兩個偶數(shù) D．a(chǎn)、b、c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) 解析：選D　三個自然數(shù)的奇偶情況有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4種，而自然數(shù)a、b、c中恰有一個為偶數(shù)包含“二奇一偶”的情況，故反面的情況有3種，只有D項符合． 2．設x>0，y>0，

12、A＝，B＝＋，則A、B的大小關系為(　　)　　　　　　　　 A．A＝B B．A＜B C．A≤B D．A>B 解析：選B　B＝＋>＋＝＝A，即A

13、＋(c－a)2≠0； ②a>b與ab與a

14、1. 答案：M＜1 6．用反證法證明“已知平面上有n(n≥3)個點，其中任意兩點的距離最大為d，距離為d的兩點間的線段稱為這組點的直徑，求證直徑的數(shù)目最多為n條”時，假設的內(nèi)容為________． 解析：對“最多”的否定應當是“最少”，二者之間應該是完全對應的，所以本題中的假設應為“直徑的數(shù)目最少為n＋1條”． 答案：直徑的數(shù)目最少為n＋1條 7．A＝1＋＋＋…＋與(n∈N＋)的大小關系是________． 解析：A＝＋＋＋…＋≥＋＋…＋n項 ＝＝. 答案：A≥ 8．已知a>2，則loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”、“＜”或“＝”)． 解析：∵a

15、>2，∴l(xiāng)oga(a－1)＞0，loga(a＋1)>0， 又loga(a－1)≠loga(a＋1)， ∴＜， 而＝loga(a2－1) ＜logaa2＝1， ∴l(xiāng)oga(a－1)loga(a＋1)＜1. 答案：< 三、解答題 9．已知01且y(2－z)>1且z(2－x)>1均成立， 則三式相乘有：xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1.① 由于0

16、且0＜z(2－z)≤1， ∴三式相乘得：0(x＋y＋z)． 證明： ＝ ≥ ＝|x＋|≥x＋. 同理可得：≥y＋， ≥z＋. 由于x、y、z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號，所以三式累加得： ＋＋>＋＋＝(x＋y＋z)． 11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝22·an(n∈N＋)， (1)求a2，a3并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設cn＝，求證：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜. 解：(1)∵a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋)， ∴a2＝2·a1＝16， a3＝2·a2＝72. 又∵＝2·，n∈N＋，∴為等比數(shù)列． ∴＝·2n－1＝2n， ∴an＝n2·2n. (2)證明：cn＝＝， ∴c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝＋＋＋…＋<＋＋＋· ＝＋·＜＋·＝＋ ＝＝＜＝，所以結論成立． 11