《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 第1節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 第1節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-5（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法 [核心必知] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念 當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟： (1)證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立． 在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程 [問(wèn)題思考] 1．在數(shù)學(xué)歸納法中，n0一定等于1嗎？ 提示：不一定．n0是適合命題的正整數(shù)中的最小值， 有時(shí)是n0＝1或n0＝2． 有時(shí)n0值也比較大，而不一定是從1開(kāi)始取值．

2、 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的適用范圍是什么？ 提示：數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明． 3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法中的兩步的作用是什么？ 提示：在數(shù)學(xué)歸納法中的第一步“驗(yàn)證n＝n0時(shí)，命題成立”，是歸納奠基、是推理證明的基礎(chǔ)． 第二步是歸納遞推，保證了推理的延續(xù)性，證明了這一步，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)于n取第一個(gè)值n0后面的所有正整數(shù)也都成立． 　　　用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． [精講詳析]　本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明恒等式中的應(yīng)用，解答本題需要注意等式的左邊有2n項(xiàng)，右邊有n項(xiàng)，由k到k＋1時(shí)，左邊增加兩項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，而且左、右兩邊的首項(xiàng)

3、不同，因此由“n＝k”到“n＝k＋1”時(shí)，要注意項(xiàng)的合并． (1)當(dāng)n＝1時(shí)， 左邊＝1－＝， 右邊＝，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，且k∈N＋)時(shí)命題成立， 即有1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋， 從而可知，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題亦成立． 由(1)(2)可知，命題對(duì)一切正整數(shù)n均成立． (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是準(zhǔn)確表述n＝n0時(shí)命題的形式，二是準(zhǔn)確把握由n＝k到n＝k＋1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)． (2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)的常見(jiàn)問(wèn)題①第一步中的驗(yàn)證，對(duì)

4、于有些問(wèn)題驗(yàn)證的并不是n＝1，有時(shí)需驗(yàn)證n＝2，n＝3. ②對(duì)n＝k＋1時(shí)式子的項(xiàng)數(shù)以及n＝k與n＝k＋1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問(wèn)題的保障． ③“假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，利用這一假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的核心環(huán)節(jié)，對(duì)待這一推導(dǎo)過(guò)程決不可含糊不清，推導(dǎo)的步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范． 1．證明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3， 右邊＝－1×(2×1＋1)＝－3， ∴當(dāng)n＝1時(shí)，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，就是 12－2

5、2＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k·(2k＋1)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 根據(jù)(1)和(2)可知，等式對(duì)任何n∈N＋都成立． 　　　求證：二項(xiàng)式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [精講詳析]　本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明整除問(wèn)題中的應(yīng)用，解答本題需要設(shè)法將x2n－y2n進(jìn)行分解因式得出x＋

6、y，由于直接分解有困難，故采用數(shù)學(xué)歸納法證明． (1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴能被x＋y整除． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N＋)時(shí)， x2k－y2k能被x＋y整除， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k與x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1時(shí)，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，對(duì)任意的正整數(shù)n命題均成立. 　　 利用數(shù)

7、學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式，這就往往要涉及到“添項(xiàng)”與“減 項(xiàng)”等變形技巧，例如，在本例中，對(duì)x2k＋2－y2k＋2進(jìn)行拼湊，即減去x2y2k再加上x(chóng)2y2k，然后重新組合，目的是拼湊出n＝k時(shí)的歸納假設(shè)，剩余部分仍能被x＋y整除． 2．求證：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命題成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，命題成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋

8、k3＋3k2·3＋3k·32＋33 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由歸納假設(shè)，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1時(shí)命題也成立． 由(1)(2)可知，對(duì)任意n∈N＋命題成立. 　　　平面上有n(n≥2，且n∈N＋)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過(guò)同一點(diǎn)，求證：這n條直線共有f(n)＝個(gè)交點(diǎn)． [精講詳析]　本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明幾何命題中的應(yīng)用，解答本題應(yīng)搞清交點(diǎn)隨n的變化而變化的規(guī)律，然后采用數(shù)學(xué)歸納法證明． (1)當(dāng)n＝2時(shí)，∵兩相交直線只有1個(gè)交點(diǎn)， 又f(2)

9、＝×2×(2－1)＝1.∴當(dāng)n＝2時(shí)，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N＋)時(shí)命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)＝k(k－1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，任取其中一條直線記為l，如圖，剩下的k條直線為l1，l2，…，lk.由歸納假設(shè)知，它們之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)＝. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過(guò)同一點(diǎn)，所以直線l與l1，l2，l3，…，lk的交點(diǎn)共有k個(gè)． ∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝ ＝＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由(1)(2)可知，命題對(duì)一切n∈N＋且n≥2成立． 對(duì)于幾何問(wèn)題的證明，可以從有限情形中歸

10、納出一個(gè)變化的過(guò)程，或者說(shuō)體會(huì)出是怎么變化的，然后再去證明，也可以采用遞推的辦法，利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是正確分析由n＝k到n＝k＋1時(shí)幾何圖形的變化規(guī)律． 3．證明：凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n)＝n·(n－3)(n≥4)． 證明：(1)n＝4時(shí)，f(4)＝·4·(4－3)＝2， 四邊形有兩條對(duì)角線，命題成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)命題成立， 即凸k邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(k)＝k(k－3)(k≥4) 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，凸k＋1邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個(gè)頂點(diǎn)Ak＋1，增加的對(duì)角線條數(shù)是頂點(diǎn)Ak＋1與不相鄰頂點(diǎn)連線再加上原k邊形的一邊A1Ak，共增加的對(duì)角

11、線條數(shù)為(k＋1－3)＋1＝k－1. f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2) ＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]． 故n＝k＋1時(shí) 由(1)、(2)可知，對(duì)于n≥4，n∈N＋公式成立． 本課時(shí)考點(diǎn)常與數(shù)列問(wèn)題相結(jié)合考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，天津高考將數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合，以解答題的形式進(jìn)行了考查，是高考命題的一個(gè)新亮點(diǎn)． [考題印證] (天津高考)已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)記Tn＝anb

12、1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N＋，證明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N＋)． [命題立意]　本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用． [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由條件， 得方程組解得 所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N＋. (2)法一：由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，① 2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.② 由②－①，得Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2

13、 ＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10. 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12 ＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N＋. 法二：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立， 即Tk＋12＝－2ak＋10bk， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)有Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－

14、4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.因此n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由(1)和(2)，可知對(duì)任意n∈N＋，Tn＋12＝－2an＋10bn成立． 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)”時(shí)，在驗(yàn)證當(dāng)n＝1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是(　　) A．1　　　　　　　　　　　B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析：選C　由于等式左邊當(dāng)n＝1時(shí)，冪指數(shù)的最大值為1＋1＝2， ∴左邊計(jì)算結(jié)果為1＋a＋

15、a2或在等式中左邊共有n＋2項(xiàng)，∴n＝1時(shí)，共有3項(xiàng)． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n＋1)(n＋2)·… ·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)時(shí)，從“k到k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式是(　　) A．2k＋1 B. C．2(2k＋1) D. 解析：選C　當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·… ·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)· ＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)． 3．某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時(shí)該命題不成

16、立，那么可推得(　　) A．當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)n＝6時(shí)該命題成立 C．當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立 D．當(dāng)n＝4時(shí)該命題成立 解析：選C　與“如果當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”等價(jià)的命題為“如果當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題不成立，則當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，命題也不成立”． 故知當(dāng)n＝5時(shí)，該命題不成立， 可推得當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立，故選C. 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“

17、．歸納假設(shè)寫法不正確 C．從k到k＋1推理不嚴(yán)密 D．從k到k＋1的推理過(guò)程未使用歸納假設(shè) 解析：選D　∵在上面的證明中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)證明過(guò)程沒(méi)有錯(cuò)誤，但沒(méi)有用到當(dāng)n＝k時(shí)的結(jié)論，這樣就失去假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立的意義，也不能構(gòu)成一個(gè)遞推關(guān)系，這不是數(shù)學(xué)歸納法． ∴A、B、C都不對(duì)，選D. 二、填空題 5．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于________． 解析：因?yàn)閒(n)＝1＋＋＋…＋. 所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋. 所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 答案：＋＋ 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y

18、整除”時(shí)，在歸納假設(shè)中，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，那么下一步應(yīng)證明n＝________時(shí)命題也成立． 解析：兩個(gè)奇數(shù)之間相差2. 答案：k＋2 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的過(guò)程中，第二步假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)應(yīng)得到________． 解析：∵n＝k時(shí)，命題為“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， ∴n＝k＋1時(shí)為使用歸納假設(shè)，應(yīng)寫成 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k， 又考慮到目的，最終應(yīng)為2k＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明22＋32＋…＋n

19、2＝－1(n∈N＋，且n>1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證n＝________，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊的式子為_(kāi)_______． 解析：∵n＝k時(shí)，命題為“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， ∴n＝k＋1時(shí)為使用歸納假設(shè)，應(yīng)寫成 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k， 又考慮到目的，最終應(yīng)為2k＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 三、解答題 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋＝＋＋…＋. 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝， 右邊＝，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即 ＋＋…＋ ＝＋＋…＋， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋

20、 ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N＋，等式成立． 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于整數(shù)n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除． 證明：(1)當(dāng)n＝0時(shí)，A0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1 ＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1 ＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋13

21、3·122k＋1. ∴n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 根據(jù)(1)、(2)，對(duì)于任意整數(shù)n≥0，命題都成立． 11．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an的等差中項(xiàng)為1. (1)寫出a1，a2，a3； (2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 解：(1)由題意Sn＋an＝2， ∴a1＝1，a2＝，a3＝. (2)猜想an＝， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，＝＝1，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立， 即ak＝， ∵Sk＋1＝2－ak＋1，Sk＋1－Sk ＝ak＋1，Sk＝2－ak， ∴ak＋1＝ak＝， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 根據(jù)①②可知，對(duì)一切n∈N＋，等式成立． 12