2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ)疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教B版選修2-1
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1、 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 1 怎樣解邏輯用語(yǔ)問(wèn)題 1.利用集合理清關(guān)系 充分(必要)條件是高中學(xué)段的一個(gè)重要概念,并且是理解上的一個(gè)難點(diǎn).要解決這個(gè)難點(diǎn),將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來(lái),看得見(jiàn)、想得通,才是最好的方法.本節(jié)使用集合模型對(duì)充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋,實(shí)踐證明效果較好.集合模型解釋如下: (1)A是B的充分條件,即A?B. (2)A是B的必要條件,即B?A. (3)A是B的充要條件,即A=B. (4)A是B的既不充分也不必要條件, 即A∩B=?或A、B既有公共元素也有非公共元素. 或 例1 設(shè)集合S={0,a},T={x∈
2、Z|x2<2},則“a=1”是“S?T”的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析 T={x∈Z|x2<2}={-1,0,1},a=1時(shí),S={0,1},所以S?T;反之,若S?T,則S={0,1}或S={0,-1}.所以“a=1”是“S?T”的充分不必要條件. 答案 充分不必要 2.抓住量詞,對(duì)癥下藥 全稱命題與存在性命題是兩類特殊的命題,這兩類命題的否定是這部分內(nèi)容中的重要概念,解決有關(guān)此類命題的題目時(shí)一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞,理解其相應(yīng)的含義,從而對(duì)癥下藥. 例2 (1)已知命題p:“任意x∈[1,2],x2-a≥0”與命
3、題q:“存在x0∈R,x+2ax0+2+a=0”都是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____________. (2)已知命題p:“存在x0∈[1,2],x-a≥0”與命題q:“存在x0∈R,x+2ax0+2+a=0”都是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________________. 解析 (1)將命題p轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[1,2]時(shí), (x2-a)min≥0,即1-a≥0,即a≤1. 命題q:即方程有解,Δ=(2a)2-4×(2+a)≥0, 解得a≤-1或a≥2. 綜上所述,a的取值范圍為(-∞,-1]. (2)命題p轉(zhuǎn)化為當(dāng)x0∈[1,2]時(shí),(x-a)max≥0, 即4-a
4、≥0,即a≤4.命題q同(1). 綜上所述,a的取值范圍為(-∞,-1]∪[2,4]. 答案 (1)(-∞,-1] (2)(-∞,-1]∪[2,4] 點(diǎn)評(píng) 認(rèn)真比較兩題就會(huì)發(fā)現(xiàn),兩題形似而神異,所謂失之毫厘,謬之千里,需要我們抓住這類問(wèn)題的本質(zhì)——量詞,有的放矢. 3.挖掘等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,提高解題速度 在四種命題的關(guān)系、充要條件、簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞中,時(shí)時(shí)刻刻滲透著等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,例如互為逆否命題的兩個(gè)命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假,它們就是等價(jià)的;但原命題與逆命題不等價(jià),即原命題為真,其逆命題不一定為真. 例3 設(shè)p:q:x2+y2≤r2 (
5、r>0),若q是綈p的充分不必要條件,求r的取值范圍. 分析 “q是綈p的充分不必要條件”等價(jià)于“p是綈q的充分不必要條件”.設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B,則可由A?RB出發(fā)解題. 解 設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B,將本題背景放到直角坐標(biāo)系中,則點(diǎn)集A表示平面區(qū)域,點(diǎn)集?RB表示到原點(diǎn)距離大于r的點(diǎn)的集合,也即是圓x2+y2=r2外的點(diǎn)的集合. ∵A?RB表示區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于r, ∴直線3x+4y-12=0上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于等于r,∵原點(diǎn)O到直線3x+4y-12=0的距離 d==,∴r的取值范圍為(0,]. 點(diǎn)評(píng) 若直接解的話,q是綈p的充分不必要條
6、件即為x2+y2≤r2 (r>0)在p:所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的外部,也是可以解決的.但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”,更好地體現(xiàn)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法. 2 辨析命題的否定與否命題 否命題與命題的否定是邏輯關(guān)系中的兩個(gè)相似知識(shí)點(diǎn),但又有著本質(zhì)的區(qū)別,應(yīng)注意弄清它們的區(qū)別和正確表述,下面從以下兩個(gè)方面來(lái)看一下它們的區(qū)別. 1.否命題與命題的否定的概念 設(shè)命題“若A,則B”為原命題,那么“若綈A,則綈B”為原命題的否命題,“若A,則綈B”為原命題的否定.所以從概念上看“否命題”是對(duì)原命題的條件和結(jié)論同時(shí)否定后得到的新命題,而且否定的條件仍為條件,
7、否定的結(jié)論仍為結(jié)論.“命題的否定”是對(duì)原命題結(jié)論的全盤(pán)否定,即“命題的否定”與原命題的條件相同,結(jié)論相反. 例1 寫(xiě)出下列命題的否命題及否定: (1)若|x|+|y|=0,則x,y全為0; (2)函數(shù)y=x+b的值隨x的增加而增加. 分析 問(wèn)題(1)直接依據(jù)格式寫(xiě)出相應(yīng)的命題;問(wèn)題(2)先改寫(xiě)成“若A,則B”的形式,然后再寫(xiě)出相應(yīng)的命題. 解 (1)原命題的條件為“|x|+|y|=0”,結(jié)論為“x,y全為0”. 寫(xiě)原命題的否命題需同時(shí)否定條件和結(jié)論,所以原命題的否命題為“若|x|+|y|≠0,則x,y不全為0”. 寫(xiě)原命題的否定只需否定結(jié)論,所以原命題的否定為“若|x|+|y|=
8、0,則x,y不全為0”. (2)原命題可以改寫(xiě)為“若x增加,則函數(shù)y=x+b的值也隨之增加”. 否命題為“若x不增加,則函數(shù)y=x+b的值也不增加”; 命題的否定為“若x增加,則函數(shù)y=x+b的值不增加”. 點(diǎn)評(píng) 如果所給命題是“若A,則B”的形式,則可以依據(jù)否命題和命題的否定的定義,直接寫(xiě)出相應(yīng)的命題.如果不是“若A,則B”的形式,則需要先將其改寫(xiě)成“若A,則B”的形式,便于寫(xiě)出命題的否定形式及其否命題. 2.否命題與命題的否定的真假 從命題的真假上看,原命題與其否命題的真假?zèng)]有必然的關(guān)系,原命題為真,其否命題可能為真,也可能為假;原命題為假,其否命題可能為真,也可能為假.但是原
9、命題與其否定的真假必相反,原命題為真,則其否定為假;原命題為假,則其否定為真.這也可以作為檢驗(yàn)寫(xiě)出的命題是否正確的標(biāo)準(zhǔn).
例2 寫(xiě)出下列命題的否命題與命題的否定,并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假:
(1)若x2<4,則-2
10、 命題的否定:“若m>0且n>0,則m+n≤0”. 由不等式的性質(zhì)可以知道,原命題為真,否命題為假,命題的否定為假. 3 判斷條件四策略 1.應(yīng)用定義 如果p?q,那么稱p是q的充分條件,同時(shí)稱q是p的必要條件.判斷時(shí)的關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論. 例1 設(shè)集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析 條件p:x∈M或x∈P;結(jié)論q:x∈P∩M. 若x∈M,則x不一定屬于P,即x不一定屬于P∩M, 所以p?q;若x∈P∩M,則x∈M且x∈P,所以q
11、?p. 綜上知,“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分條件. 答案 必要不充分 2.利用傳遞性 充分、必要條件在推導(dǎo)的過(guò)程當(dāng)中具有傳遞性,即:若p?q,q?r,則p?r. 例2 如果A是B的必要不充分條件,B是C的充要條件,D是C的充分不必要條件,那么A是D的______條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析 依題意,有A?B?C?D且A?B?C?D,由命題的傳遞性可知D?A,但A?D.于是A是D的必要不充分條件. 答案 必要不充分 3.利用集合 運(yùn)用集合思想來(lái)判斷充分條件和必要條件是一種行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出現(xiàn),
12、q以非空集合B的形式出現(xiàn),則①若A?B,則p是q的充分條件;②若B?A,則p是q的必要條件;③若AB,則p是q的充分不必要條件;④若BA,則p是q的必要不充分條件;⑤若A=B,則p是q的充要條件. 例3 已知p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要條件,則m的取值范圍是________. 解析 設(shè)p,q分別對(duì)應(yīng)集合P,Q, 則P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m}, 由題意知,p?q,但q?p,故PQ, 所以或解得m≥9. 即m的取值范圍是[9,+∞). 答案 [9,+∞) 4.等價(jià)轉(zhuǎn)化 由于互為逆否命題
13、的兩個(gè)命題同真同假,所以當(dāng)由p?q較困難時(shí),可利用等價(jià)轉(zhuǎn)化,先判斷由綈q?綈p,從而得到p?q. 例4 已知p:x+y≠2,q:x,y不都是1,則p是q的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析 因?yàn)閜:x+y≠2,q:x≠1或y≠1, 所以綈p:x+y=2,綈q:x=1且y=1. 因?yàn)榻恜?綈q,但綈q?綈p, 所以綈q是綈p的充分不必要條件, 即p是q的充分不必要條件. 答案 充分不必要 4 例析邏輯用語(yǔ)中的常見(jiàn)誤區(qū) 誤區(qū)1 所有不等式、集合運(yùn)算式都不是命題 例1 判斷下列語(yǔ)句是不是命題,若是命題,判斷其真假.
14、 (1)x+2>0; (2)x2+2>0; (3)A∩B=A∪B; (4)A?(A∪B). 錯(cuò)解 (1)(2)(3)(4)都不是命題. 剖析 (1)中含有未知數(shù)x,且x不確定,所以x+2的值也不確定,故無(wú)法判斷x+2>0是否成立,不能判斷其真假,故(1)不是命題. (2)x雖為未知數(shù),但x2≥0,所以x2+2≥2,故可判斷x2+2>0成立,故(2)為真命題. (3)若A=B,則A∩B=A∪B=A=B; 若AB,則A∩B=A(A∪B)=B. 由于A,B的關(guān)系未知,所以不能判斷其真假,故(3)不是命題. (4)A為A∪B的子集,故A?(A∪B)成立,故(4)為真命題. 正
15、解 (2)(4)是命題,且都為真命題. 誤區(qū)2 原命題為真,其否命題必為假 例2 判斷下列命題的否命題的真假: (1)若a=0,則ab=0;(2)若a2>b2,則a>b. 錯(cuò)解 (1)因?yàn)樵}為真命題,故其否命題是假命題; (2)因?yàn)樵}為假命題,故其否命題為真命題. 剖析 否命題的真假與原命題的真假?zèng)]有關(guān)系,否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來(lái)判斷,應(yīng)先寫(xiě)出原命題的否命題,再判斷. 正解 (1)否命題為:若a≠0,則ab≠0,是假命題; (2)否命題為:若a2≤b2,則a≤b,是假命題. 誤區(qū)3 搞不清誰(shuí)是誰(shuí)的條件 例3 使不等式x-3>0成立的一個(gè)充分不必要條件是(
16、 ) A.x>3 B.x>4 C.x>2 D.x∈{1,2,3} 錯(cuò)解 由不等式x-3>0成立, 得x>3,顯然x>3?x>2,又x>2?x>3,因此選C. 剖析 若p的一個(gè)充分不必要條件是q,則q?p,p?q.本題要求使不等式x-3>0成立的一個(gè)充分不必要條件,又x>4?x-3>0,而x-3>0?x>4,所以使不等式x-3>0成立的一個(gè)充分不必要條件為x>4. 正解 B 誤區(qū)4 考慮問(wèn)題不周 例4 如果a,b,c∈R,那么“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也
17、不必要條件 錯(cuò)解 判別式Δ=b2-4ac>0,即方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根;若方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根,則判別式Δ=b2-4ac>0,即b2>4ac.綜上可知“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根”的充要條件,選C. 剖析 判別式Δ=b2-4ac只適用于一元二次方程的實(shí)數(shù)根存在情況的判斷.對(duì)于方程ax2+bx+c=0,當(dāng)a=0時(shí),原方程為一次方程bx+c=0(b≠0),一次方程不存在判別式,所以當(dāng)b2>4ac時(shí)不能推出方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根;若方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根,則它的判別式Δ=b2-4ac>0,即b2>4a
18、c.由上可知,“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根”的必要不充分條件. 正解 B 誤區(qū)5 用“且”“或”聯(lián)結(jié)命題時(shí)只聯(lián)結(jié)條件或結(jié)論 例5 (1)已知p:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11;q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2,試寫(xiě)出“p∨q”. (2)p:四條邊相等的四邊形是正方形;q:四個(gè)角相等的四邊形是正方形,試寫(xiě)出“p∧q”. 錯(cuò)解 (1)p∨q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或x=2. (2)p∧q:四條邊相等且四個(gè)角相等的四邊形是正方形. 剖析 (1)(2)兩題中p,q都是假命題,所以“p∨q”,“p∧q”也都應(yīng)是
19、假命題.而上述解答中寫(xiě)出的兩命題卻都是真命題.錯(cuò)誤原因是:(1)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的結(jié)論;(2)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的條件. 正解 (1)p∨q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2. (2)p∧q:四條邊相等的四邊形是正方形且四個(gè)角相等的四邊形是正方形. 誤區(qū)6 不能正確否定結(jié)論 例6 p:方程x2-5x+6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,試寫(xiě)出“綈p”. 錯(cuò)解 綈p:方程x2-5x+6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 剖析 命題p的結(jié)論為“有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”,所以“綈p”應(yīng)否定“有”,而不能否定“相等”. 正解 綈p:方程x2-5x+6=0沒(méi)
20、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. 誤區(qū)7 對(duì)含有一個(gè)量詞的命題否定不完全 例7 已知命題p:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2-x-2<0,寫(xiě)出綈p. 錯(cuò)解一 綈p:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2-x-2≥0. 錯(cuò)解二 綈p:對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有x2-x-2<0. 剖析 該命題是存在性命題,其否定是全稱命題,但錯(cuò)解一中得到的綈p仍是存在性命題,顯然只對(duì)結(jié)論進(jìn)行了否定,而沒(méi)有對(duì)存在量詞進(jìn)行否定;錯(cuò)解二中只對(duì)存在量詞進(jìn)行了否定,而沒(méi)有對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定. 正解 綈p:對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有x2-x-2≥0. 誤區(qū)8 忽略了隱含的量詞 例8 寫(xiě)出下列命題的否定: (1)不相交的兩條直線是平行直線; (2)奇函數(shù)的
21、圖象關(guān)于y軸對(duì)稱. 錯(cuò)解 (1)不相交的兩條直線不是平行直線; (2)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱. 剖析 以上錯(cuò)誤解答在于沒(méi)有看出這兩個(gè)命題都是全稱命題.對(duì)于一些量詞不明顯或不含有量詞,但其實(shí)質(zhì)只是在文字?jǐn)⑹錾鲜÷粤四承┝吭~的命題,要特別引起注意. 正解 (1)存在不相交的兩條直線不是平行直線; (2)存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱. 5 解“邏輯”問(wèn)題的三意識(shí) 1.轉(zhuǎn)化意識(shí) 由于互為逆否的兩個(gè)命題同真假,因此,當(dāng)原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時(shí),可以轉(zhuǎn)化為逆否命題來(lái)判斷或證明. 例1 證明:若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1. 分析 本題直
22、接證明原命題是真命題,顯然不太容易,可考慮轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題是真命題. 證明 命題“若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1”的逆否命題是“若a-b=1,則a2-b2+2a-4b-3=0”.由a-b=1得a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3=a-b-1=0.∵原命題的逆否命題是真命題,∴原命題也是真命題.故若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1. 例2 命題p:實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,其中a<0,命題q:實(shí)數(shù)x滿足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且q是p的必要不充分條件,求a的取值范圍. 分析 將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為
23、集合之間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為集合運(yùn)算問(wèn)題.
解 設(shè)A={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)}
={x|3a
24、p:函數(shù)y=log0.5(x2+2x+a)的值域?yàn)镽,命題q:函數(shù)y=-(5-2a)x是R上的減函數(shù).若p或q為真命題,p且q為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______. 分析 先將命題p,q等價(jià)轉(zhuǎn)化,再根據(jù)題意構(gòu)建關(guān)于a的關(guān)系式,從而得到a的取值范圍. 解析 函數(shù)y=log0.5(x2+2x+a)的值域?yàn)镽,即y=x2+2x+a的值域是(0,+∞),即在方程x2+2x+a=0中,Δ=4-4a≥0?a≤1,即p真?a≤1; 函數(shù)y=-(5-2a)x是減函數(shù)?5-2a>1?a<2, 即q真?a<2. 由p或q為真命題,p且q為假命題,知命題p,q中必有一真一假.若p真q假,則無(wú)解;若p
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