《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量基本定理 3.1.4 空間向量的坐標(biāo)表示學(xué)案 蘇教版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量基本定理 3.1.4 空間向量的坐標(biāo)表示學(xué)案 蘇教版選修2-1（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.1.3 空間向量基本定理 3.1.4 空間向量的坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解空間向量基本定理，并能用基本定理解決一些幾何問(wèn)題.2.理解正交基底、基向量及向量的線性組合的概念.3.掌握空間向量的坐標(biāo)表示，能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫(xiě)出向量的坐標(biāo)． 知識(shí)點(diǎn)一　空間向量基本定理 思考　只有兩兩垂直的三個(gè)向量才能作為空間向量的一組基底嗎？ 答案　不一定，只需三個(gè)向量不共面，就可作為空間向量的一組基底，不需要兩兩垂直． 梳理　空間向量基本定理 (1)定理內(nèi)容： ①條件：三個(gè)向量e1，e2，e3不共面． ②結(jié)論：對(duì)空間中任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p＝xe1＋ye

2、2＋ze3. (2)基底： 定義 在空間向量基本定理中，e1，e2，e3是空間不共面的三個(gè)向量，則把{e1，e2，e3}稱(chēng)為空間的一個(gè)基底，e1，e2，e3叫做基向量 正交基底與單位正交基底 如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩互相垂直，那么這個(gè)基底叫做正交基底．特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱(chēng)這個(gè)基底為單位正交基底，通常用{i，j，k}表示 (3)推論： ①條件：O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)． ②結(jié)論：對(duì)空間中任意一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得＝x＋y＋z. 知識(shí)點(diǎn)二　空間向量的坐標(biāo)表示 思考　若向量＝(x1，y1，z1)，則點(diǎn)B

3、的坐標(biāo)一定為(x1，y1，z1)嗎？ 答案　不一定．由向量的坐標(biāo)表示知，若向量的起點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1，z1)，若向量的起點(diǎn)A不與原點(diǎn)重合，則B點(diǎn)的坐標(biāo)就不為(x1，y1，z1)． 梳理　(1)空間向量的坐標(biāo)表示： ①向量a的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，分別取與x軸、y軸、z軸方向相同的單位向量i，j，k作為基向量，對(duì)于空間任意一個(gè)向量a，根據(jù)空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做向量a在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)，記作a＝(x，y，z)． ②向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中

4、，對(duì)于空間任意一點(diǎn)A(x，y，z)，向量是確定的，即＝(x，y，z)． (2)空間中有向線段的坐標(biāo)表示： 設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， ①坐標(biāo)表示：＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． ②語(yǔ)言敘述：空間向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)坐標(biāo)． (3)空間向量的加減法和數(shù)乘的坐標(biāo)表示： 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則： 運(yùn)算 表示方法 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 減法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 數(shù)乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R

5、) (4)空間向量平行的坐標(biāo)表示： 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且a≠0，則a∥b?b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)． 1．若{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則{－a，b,2c}也可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(√) 2．若向量的坐標(biāo)為(x，y，z)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)也為(x，y，z)．(×) 3．在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中向量的坐標(biāo)就是B點(diǎn)坐標(biāo)減去A點(diǎn)坐標(biāo)．(√) 類(lèi)型一　空間向量基本定理及應(yīng)用 例1　已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能

6、否作為空間的一個(gè)基底． 解　假設(shè)，，共面， 由向量共面的充要條件知存在實(shí)數(shù)x，y， 使＝x＋y成立． 所以＝e1＋2e2－e3 ＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋e3. 得解得 故，，共面，不可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 反思與感悟　基底判斷的基本思路及方法 (1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底． ②假設(shè)a＝λb＋μc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共

7、面，不能作為基底；若無(wú)解，則不共面，能作為基底． 跟蹤訓(xùn)練1　以下四個(gè)命題中正確的是________．(填序號(hào)) ①空間的任何一個(gè)向量都可用三個(gè)給定向量表示； ②若{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則a，b，c全不是零向量； ③如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有a與b共線； ④任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 答案?、冖? 解析　因?yàn)榭臻g中的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)不共面的向量來(lái)表示，故①不正確；②正確；由空間向量基本定理可知只有不共線的兩向量才可以與另外一個(gè)向量構(gòu)成基底，故③正確；空間向量基底是由三個(gè)不共面的向量組成的，故④不正確．  例

8、2　如圖，在空間四邊形OABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別是△ABC，△OBC的重心，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用向量a，b，c表示向量和. 解　因?yàn)椋剑? ＝＋＝＋(－)， 又點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，所以＝(＋)， 所以＝＋(－) ＝＋×(＋)－ ＝(＋＋)＝(a＋b＋c)． 而＝－， 又因?yàn)椋剑健?＋)＝(b＋c)， 所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a. 所以＝(a＋b＋c)，＝－a. 引申探究 若將本例中的“G是△ABC的重心”改為“G是AD的中點(diǎn)”，其他條件不變，應(yīng)如何表示，？ 解?。?＋) ＝＋×(＋) ＝a＋b＋c. ＝＝×(＋) ＝(b＋

9、c)． 所以＝－ ＝(b＋c)－ ＝－a＋b＋c. 反思與感悟　用空間向量基本定理時(shí)，選擇合適的基底是解題的關(guān)鍵． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn)，N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量． (1)；(2)；(3)；(4). 解　連結(jié)AC，AD′. (1)＝(＋) ＝(＋＋)＝(a＋b＋c)． (2)＝(＋) ＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c. (3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c. (4)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝

10、(＋)＋＝a＋b＋c. 類(lèi)型二　空間向量的坐標(biāo)表示 例3　如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別為棱DD′，D′C′，BC的中點(diǎn)，以{，，}為基底，求下列向量的坐標(biāo)． (1)，，； (2)，，. 解　(1)＝＋＝＋＝＋ ＝，＝＋＝＋＝， ＝＋＋＝＋＋＝. (2)＝－＝－ ＝＋＝， ＝－＝－ ＝－－＝， ＝－＝＋－ ＝－＝. 引申探究 本例中，若以{，，}為基底，試寫(xiě)出，，的坐標(biāo)． 解?。剑剑剑? ＝＋＝－ ＝－＋＝， ＝＋＝. 反思與感悟　用坐標(biāo)表示空間向量的步驟 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，PA垂直于正方形ABCD

11、所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PA＝AB＝1.求向量的坐標(biāo)． 解　∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴，，是兩兩垂直的單位向量． 設(shè)＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}為基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz. ∵＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋(＋) ＝－＋＋(＋＋) ＝＋＝e2＋e3， ∴＝. 類(lèi)型三　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用 例4　已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)． (1)求＋，－； (2)是否存在實(shí)數(shù)x，y，使得＝x＋y成立，若存在，求x，y的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　

12、＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， ＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)＋＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)． －＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)． (2)假設(shè)存在x，y∈R滿足條件，由已知可得 ＝(－2，－1,2)．由題意得 (－1,0,2)＝x(1,1,0)＋y(－2，－1,2)， 所以(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)， 所以所以 所以存在實(shí)數(shù)x＝1，y＝1使得結(jié)論成立． 反思與感悟　1.向量的坐標(biāo)可由其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)確定，即向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．特別地，

13、當(dāng)向量的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)即是終點(diǎn)的坐標(biāo)． 2．進(jìn)行空間向量的加減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算的關(guān)鍵是運(yùn)用好其運(yùn)算性質(zhì)． 跟蹤訓(xùn)練4　已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求證：四邊形ABCD是一個(gè)梯形． 證明　∵＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴＝＝， ∴與共線，即AB∥CD， 又∵＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， ∴≠≠，∴與不

14、平行． ∴四邊形ABCD為梯形． 1．已知點(diǎn)A在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是________． 答案　(12,14,10) 解析　設(shè)點(diǎn)A在基底{a，b，c}下對(duì)應(yīng)的向量為p，則p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(12,14,10)． 2．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，則b＝________. 答案　(2，－4,2) 解析　依題意，得b＝a－(－1,2，－1) ＝a＋(1，－2,

15、1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)． 3．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，則4a＋2b＝________. 答案　(8,0,4) 解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)． 4.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，則的坐標(biāo)為_(kāi)_______，的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 答案　(0,2,1)　(2,2,1) 解析　根據(jù)已建立的空間直角坐標(biāo)系知，A(0,0,0)，C1(2，2,1)，D1(0,2,1)，則的坐標(biāo)為(0,2

16、,1)，的坐標(biāo)為(2,2,1)． 5．在四面體OABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝________.(用a，b，c表示) 答案　a＋b＋c 解析?。剑剑?＋) ＝＋×(－＋－) ＝＋＋＝a＋b＋c. 1．用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，及加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法則，逐步向基向量過(guò)渡，直到全部用基向量表示． 2．用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問(wèn)題的前提是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，為便于坐標(biāo)的求解及運(yùn)算，在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要充分分析空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，應(yīng)使盡可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)．

17、 一、填空題 1．有下列三個(gè)命題： ①三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面； ②不兩兩垂直的三個(gè)不共面的向量也可以作為空間向量的一組基底； ③若a，b是兩個(gè)不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 其中為真命題的是________．(填序號(hào)) 答案?、佗? 解析?、僬_．作為基底的向量必須不共面；②正確；③不正確．a(chǎn)，b不共線，當(dāng)c＝λa＋μb時(shí)，a，b，c共面，故只有①②正確． 2．若四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)______

18、_____． 答案　(5,13，－3) 解析　由四邊形ABCD是平行四邊形知＝， 設(shè)D(x，y，z)，則＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1,12，－6)， 所以解得 即D點(diǎn)坐標(biāo)為(5,13，－3)． 3.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長(zhǎng)為1，則的坐標(biāo)為_(kāi)_______，的坐標(biāo)為_(kāi)_______，的坐標(biāo)為_(kāi)_______. 答案　(1,0,0)　(1,0,1)　(－1,1，－1) 解析　由題圖可知，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，B1(1,0,1)，所以＝(1,0,0)，＝(1,0,

19、1)，＝(－1,1，－1)． 4．已知a＝(3,5,7)，b＝(6，x，y)，若a∥b，則xy的值為_(kāi)_______． 答案　140 解析　顯然x≠0，y≠0. 因?yàn)閍∥b，所以＝＝， 即x＝10，y＝14，所以xy＝140. 5．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，則α，β，γ的值分別為_(kāi)_______． 答案　，－1，－ 解析　∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3， ∴∴

20、 6．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三點(diǎn)共線，則m＋n＝________. 答案　0 解析　因?yàn)椋?m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)， 由題意得∥， 所以＝＝， 所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0. 7．已知A(2,3－μ，－1＋v)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A′(λ，7，－6)，則λ，μ，v的值分別為_(kāi)_______． 答案　2,10,7 解析　∵A與A′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)， ∴? 8．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a與b為共線向量，則x＝________，y＝________. 考點(diǎn)　空間向

21、量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　?。? 解析　∵a＝(2x,1,3)與b＝(1，－2y,9)共線， ∴＝＝(y≠0)， ∴x＝，y＝－. 9．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，則C的坐標(biāo)是________． 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 答案　 解析　設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y，z)，則＝(x，y，z)． 又＝(－3，－2，－4)，＝， ∴x＝－，y＝－，z＝－. 10.如圖，點(diǎn)M為OA的中點(diǎn)，以{，，}為基底，＝x＋y＋z，則實(shí)數(shù)組(x，y，z)＝________. 答案　 解析　因?yàn)椋剑? ＝＋0－，

22、所以實(shí)數(shù)組(x，y，z)＝. 11.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點(diǎn)O為空間任一點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝c，則向量＝________.(用a，b，c表示) 答案　a－b＋c 解析　∵＝－2， ∴－＝－2(－)， ∴b－a＝－2(－c)， ∴＝a－b＋c. 二、解答題 12．已知向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo)是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐標(biāo)． 解　由已知p＝2a＋3b－c， 設(shè)p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋ (y＋z)b＋zc， 則有解得 故p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐標(biāo)為(－

23、1,4，－1)． 13．已知O，A，B，C四點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,0,0)，(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求分別滿足下列條件的P點(diǎn)坐標(biāo)： (1)＝(－)；(2)＝(－)． 解　＝－＝(2,6，－3)， ＝－＝(－4,3,1)． (1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y，z)， 則＝(x，y，z)，(－)＝， 所以＝，即P點(diǎn)坐標(biāo)為. (2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y，z)， 則＝－＝(x－2，y＋1，z－2)， 由(1)知(－)＝，所以 解得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為. 三、探究與拓展 14．已知向量a，b，c是空間的一個(gè)基底，下列向量中可以與p＝2a－b，q＝a＋b構(gòu)成空間的另

24、一個(gè)基底的是________．(填序號(hào)) ①2a；②－b；③c；④a＋c. 答案?、邰? 解析　∵p＝2a－b，q＝a＋b， ∴p與q共面，a，b共面． 而c與a，b不共面， ∴c與p，q可以構(gòu)成另一個(gè)基底， 同理a＋c與p，q也可構(gòu)成一組基底． 15．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知△ABC的邊長(zhǎng)為1，三棱柱的高為2，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出，，的坐標(biāo)． 解　分別取BC，B1C1的中點(diǎn)D，D1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，如圖所示，則A，A1，B1，C1， 所以＝(0,0,2)，＝， ＝. 15