《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大（?。┲?第1課時 函數(shù)的單調(diào)性教學案 新人教A版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大（?。┲?第1課時 函數(shù)的單調(diào)性教學案 新人教A版必修第一冊（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1課時　函數(shù)的單調(diào)性 (教師獨具內(nèi)容) 課程標準：1.理解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的概念.2.會劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的單調(diào)性，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性.3.會用定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 教學重點：1.函數(shù)單調(diào)性的定義及其幾何特征.2.用定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 教學難點：用定義證明函數(shù)的單調(diào)性. 【知識導(dǎo)學】 知識點一　　　函數(shù)的單調(diào)性及其符號表達 (1)函數(shù)單調(diào)性的概念 函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性． (2)函數(shù)單調(diào)性的符號表達 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I： 如果?x1，x2∈D，當x1

2、)f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減． 知識點二　　　增函數(shù)、減函數(shù) 當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)(increasing function)． 當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)(decreasing function)． 知識點三　　　單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間． 【新知拓展】

3、1．單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，但在其單調(diào)區(qū)間上是整體性質(zhì)，因此對x1，x2有下列要求： (1)屬于同一個區(qū)間D； (2)任意性，即x1，x2是定義域中某一區(qū)間D上的任意兩個值，不能用特殊值代替； (3)有大小，即確定的任意兩值x1，x2必須區(qū)分大小，一般令x1

4、∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增． 4．函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，但是在整個定義域上不一定都是單調(diào)遞增(減)．如函數(shù)y＝(x≠0)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上都單調(diào)遞減，但是在整個定義域上不具有單調(diào)性． 5．一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“和”或“，”連接．如函數(shù)y＝(x≠0)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上都單調(diào)遞減，不能認為y＝(x≠0)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)∪(0，＋∞)． 6．函數(shù)的單調(diào)性是相對于函數(shù)的定義域的子區(qū)間D而言的．對于單獨的一點，它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題．因此在

5、寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間端點可以包括，也可以不包括．但對于函數(shù)式無意義的點，單調(diào)區(qū)間一定不能包括這些點． 7．圖象變換對單調(diào)性的影響 (1)上下平移不影響單調(diào)區(qū)間，即y＝f(x)和y＝f(x)＋b的單調(diào)區(qū)間相同． (2)左右平移影響單調(diào)區(qū)間．如y＝x2的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0]；y＝(x＋1)2的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，當k>0時單調(diào)區(qū)間與f(x)相同，當k<0時單調(diào)區(qū)間與f(x)相反． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性．(　　) (2)函數(shù)單調(diào)遞增(減)定義中的“?x1，x2∈D”可以改為“?x1

6、，x2∈D”．(　　) (3)若區(qū)間D是函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，且x1，x2∈D，若x1f(x2)，則f(x)在區(qū)間D上不單調(diào)遞增．(　　) (5)對于二次函數(shù)y＝x2－2x＋3，它在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以它的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0]．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)已知函數(shù)f(x)＝x的圖象如圖1所示，從左至右圖象是上升的還是下降的：__

7、______. (2)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖2所示，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________，單調(diào)遞減區(qū)間是________． (3)下列函數(shù)f(x)中，滿足?x1，x2∈(0，＋∞)，當x1f(x2)的是________． ①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1. 答案　(1)上升的　(2)(－∞，－1]，(1，＋∞)　[－1,1] (3)② 題型一 證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性 例1　證明：函數(shù)f(x)＝x＋在(2，＋∞)上單調(diào)遞增． [證明]　?x1，x2∈(2，＋∞)，且x1

8、－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝. ∵24，x1x2－4>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0或>0. 對單調(diào)遞減的判斷，當x1

9、(x1)>f(x2)，相應(yīng)地也可用一個不等式來替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 　利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x)＝在(－1，＋∞)上的單調(diào)性． 解　?x1，x2∈(－1，＋∞)，且x10，x1＋1>0，x2＋1>0. ∴>0， 即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． ∴f(x)＝在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減. 題型二 求單調(diào)區(qū)間 例2　(1)求函數(shù)y＝|x2＋2x－3|的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間； (2)作出函數(shù)f(x)＝＋的圖象，并指出其單調(diào)區(qū)間．

10、 [解]　(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出f(x)的圖象，保留其在x軸上及其上方部分，將位于x軸下方的部分翻折到x軸上方，得到y(tǒng)＝|x2＋2x－3|的圖象，如圖所示． 由圖象，得原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[－3，－1]和[1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3]和[－1，1]． (2)函數(shù)f(x)可化為： f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝ 作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示． 由圖象知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，－3]，[3，＋∞)． 其中，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－3]，單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞)． 金版點睛 常用畫圖象求單調(diào)區(qū)間 (1)對于函數(shù)單調(diào)區(qū)間

11、的確定，常借助于函數(shù)圖象直接寫出． (2)對于含有絕對值的函數(shù)，往往轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)去處理其圖象，借助于圖象的變化趨勢分析相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)． (3)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，在求解的過程中不要忽略了函數(shù)的定義域． 　(1)根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間； (2)寫出f(x)＝|x2－2x－3|的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,2]，[4,5]，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[－1,0]，[2,4]． (2)先畫出f(x)＝的圖象，如圖． 所以f(x)＝|x2－2x－3|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1]，[1,3]；單調(diào)遞增區(qū)間是

12、[－1,1]，[3，＋∞). 題型三 抽象函數(shù)的單調(diào)性 例3　設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且當x>0時，00； (3)f(x)是減函數(shù)． [證明]　(1)根據(jù)題意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由題意知x>0時，00， 當x<0時，－x>0，∴0

13、 ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝>0. ∴?x∈R，恒有f(x)>0. (3)?x1，x2∈R，且x10，又x2－x1>0， ∴0

14、或湊已知，從而使用定義或已知條件得出結(jié)論；另一種是“賦值”，給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系，有時可能要進行多次嘗試． 注意：若給出的是和型(f(x＋y)＝…)抽象函數(shù)，判定符號時的變形為f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2]； 若給出的是積型(f(xy)＝…)抽象函數(shù)，判定符號時的變形為f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f. 　已知函數(shù)f(x)，?x，y∈R，總有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x>0時，f(x)<0.求證：f(x)為減函數(shù)． 證

15、明　?x1，x2∈R，且x2>x1， 則x2－x1>0， ∵當x>0時，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0， ∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， ∴f(x)為減函數(shù). 題型四 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 例4　求函數(shù)f(x)＝的單調(diào)區(qū)間． [解]　易知函數(shù)f(x)的定義域為{x|x<－4或－42}． 令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9， 易知其單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1]，單調(diào)遞減區(qū)間是(－1，＋∞)． ∴函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,2)和(2，＋∞)，

16、單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－4)和(－4，－1]． 金版點睛 一般地，對于復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]，如果t＝g(x)在(a，b)上單調(diào)，并且y＝f(t)在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上也單調(diào)，那么y＝f[g(x)]在(a，b)上的單調(diào)性如下表所示，簡記為“同增異減”． 若一個函數(shù)是由多個簡單函數(shù)復(fù)合而成的，則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由簡單函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)決定．若減函數(shù)有偶數(shù)個，則這個復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若減函數(shù)有奇數(shù)個，則這個復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)． 判斷復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性的步驟： (1)確定函數(shù)的定義域； (2)將復(fù)合函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝g(x)

17、； (3)分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)性； (4)確定復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性． 　已知函數(shù)f(x)在定義域[0，＋∞)上單調(diào)遞減，求f(1－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間． 解　∵f(x)的定義域為[0，＋∞)， ∴1－x2≥0，即x2≤1，故－1≤x≤1. 令u＝1－x2，則f(1－x2)＝f(u)． ∵u＝1－x2在[0,1]上單調(diào)遞減， ∴f(1－x2)在[0,1]上單調(diào)遞增； ∵u＝1－x2在[－1,0]上單調(diào)遞增， ∴f(1－x2)在[－1,0]上單調(diào)遞減． 故f(1－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1,0]. 題型五 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 例5　(1)已知y＝f

18、(x)在定義域(－1,1)上單調(diào)遞減，且f(1－a)2a－1，即a<.② 由①②可知，0

19、即a≤－3. ∴所求實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3]． 金版點睛 利用單調(diào)性比較大小或解不等式的方法 (1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大?。诮鉀Q比較函數(shù)值的問題時，要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上． (2)相關(guān)結(jié)論 ①正向結(jié)論：若y＝f(x)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，則當x1x2時，f(x1)>f(x2)； ②逆向結(jié)論：若y＝f(x)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，則當f(x1)f(x2)時，x1>x2. 當y＝f(x)在給定區(qū)間上單調(diào)遞減時，也有相應(yīng)的結(jié)論． 　(1)已知函數(shù)

20、f(x)＝x2＋bx＋c對任意的實數(shù)t都有f(2＋t)＝f(2－t)，試比較f(1)，f(2)，f(4)的大小； (2)已知f(x)是定義在區(qū)間[－1,1]上的增函數(shù)，且f(x－2)

21、足題設(shè)條件的x的取值范圍為. 1．下圖中是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法錯誤的是(　　) A．函數(shù)在區(qū)間[－5，－3]上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增 C．函數(shù)在區(qū)間[－3,1]∪[4,5]上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在區(qū)間[－5,5]上沒有單調(diào)性 答案　C 解析　函數(shù)在區(qū)間[－3,1]和[4,5]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[－3,1]∪[4,5]上無單調(diào)性．故選C. 2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋4 答案　A 解析　因為

22、－1<0，所以一次函數(shù)y＝－x＋3在R上單調(diào)遞減，反比例函數(shù)y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，二次函數(shù)y＝－x2＋4在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．故選A. 3．對于函數(shù)y＝f(x)，在給定區(qū)間上有兩個數(shù)x1，x2，且x1x2， 則f(x1)－f(x2)＝－ ＝， 由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1＋1>0，x2＋1>0， 又由x1>x2，得x1－x2>0，故f(x1)－f(x2)>0， 即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． - 11 -