《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算教學(xué)案 理（含解析）北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算教學(xué)案 理（含解析）北師大版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)　平面向量的概念及線性運(yùn)算 [考綱傳真]　1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.4.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義． 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)． (2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行． (5)相等向量：長(zhǎng)度相等

2、且方向相同的向量． (6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量． 2．向量的線性運(yùn)算 向量 運(yùn)算 定義 法則 (或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn) 算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μ

3、a)＝(λμ) a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共線向量定理 a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與a共線． 1．若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則＝(＋)． 2.＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1. 3．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量． 4．與非零向量a共線的單位向量為±. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×

4、”) (1)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反． (　　) (2)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上． (　　) (3)若a∥b，b∥c，則a∥c. (　　) (4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．化簡(jiǎn)－＋－得(　　) A.　　　B．　　　C.　　　 D．0 D　[∵－＋－＝＋－(＋)＝－＝0，故選D．] 3．(教材改編)如圖，?ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)M，若＝a，＝b，用a，b表示為(　　) A.a＋b B．a(chǎn)－b C．－a－b D．－a＋b D　

5、[由題意可知＝－＝b－a，又＝2， ∴＝(b－a)＝b－a，故選 D．] 4．如圖，設(shè)P，Q兩點(diǎn)把線段AB三等分，則下列向量表達(dá)式錯(cuò)誤的是(　　) A.＝ B．＝ C.＝－ D．＝ D　[向量具有大小和方向兩個(gè)要素，故＝，所以D錯(cuò)誤，故選 D．] 5．已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. －　[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)， ∴ 得] 平面向量的概念 1．給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量； ②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小； ③若λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為

6、零； ④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　 D．4 A　[①錯(cuò)誤．兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn)．②正確．因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大?。坼e(cuò)誤．當(dāng)a＝0時(shí)，無論λ為何值，λa＝0.④錯(cuò)誤．當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb，此時(shí)，a與b可以是任意向量．] 2．給出下列命題： ①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同； ②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ③若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且＝，則ABCD為平行四邊形； ④a＝b的充

7、要條件是|a|＝|b|且a∥b； 其中真命題的序號(hào)是________． ③　[①錯(cuò)誤．兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)． ②錯(cuò)誤．|a|＝|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等或相反． ③正確．因?yàn)椋?，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形． ④錯(cuò)誤．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．] [規(guī)律方法]　(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性. (2)共線向量即為平行向量

8、，不要與線段的共線、平行混為一談. (3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖像的移動(dòng)混為一談. 平面向量的線性運(yùn)算 【例1】　(1)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　　) A.－ B．－ C.＋ D．＋ (2)(2019·棗莊模擬)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，則λ＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 (3)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. (1)A　(2)D　(3)　－　[(1

9、)＝－＝－＝－×(＋)＝－，故選A. (2)由＝λ可知－＝λ(－)， ∴＝＋， 又＝－＋， ∴ 解得λ＝－3，故選D． (3)＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝－ ＝x＋y， ∴x＝，y＝－.] [規(guī)律方法]　向量線性運(yùn)算的解題策略 (1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則． (2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解． (1)(2019·山西師大附中模擬)在△ABC中，＝，P是直線BN上一點(diǎn)，若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為(　

10、　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 (2)(2019·皖南八校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，＝3，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則＝(　　) A.－ B．－＋ C．－＋ D．－ (1)B　(2)B　[(1)∵＝，∴＝5. 又＝m＋， ∴＝m＋2， 由B，P，N三點(diǎn)共線可知，m＋2＝1，∴m＝－1. (2)根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則得＝＋， ＝，＝－. 因?yàn)椋剑?，＝? 所以＝－＋＝－＋，故選 B．] 向量共線定理及其應(yīng)用 【例2】　設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，

11、B，D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [解]　(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共線，又∵它們有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)∵ka＋b和a＋kb共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1) B． ∵a，b是兩個(gè)不共線的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0，∴k＝±1. [母題探究]　若將本例(1)中“＝2a＋8b”改為“＝a＋mb”，則m為何值時(shí)

12、，A，B，D三點(diǎn)共線？ [解]　＋＝(a＋mb)＋3(a－b) ＝4a＋(m－3)b， 即＝4a＋(m－3)b． 若A，B，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ. 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)． ∴解得m＝7. 故當(dāng)m＝7時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線． [規(guī)律方法]　共線向量定理的三個(gè)應(yīng)用 (1)證明向量共線：對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線． (2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線． (3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值． 易錯(cuò)警示：證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn)． (1)已

13、知向量e1與e2不共線，且向量＝e1＋me2，＝ne1＋e2，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n滿足的條件是(　　) A．mn＝1 B．mn＝－1 C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1 (2)經(jīng)過△OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)＝m，＝n，m，n∈R，則＋的值為________． (1)A　(2)3　[(1)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以一定存在一個(gè)確定的實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得所以mn＝1. (2)設(shè)＝a，＝b，則＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝(a＋b)－ma＝a＋ B． 由P，G，Q共線得，存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ， 即nb－ma＝λa＋λb， 從而 消去λ，得＋＝3.] 1．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A.＝－＋ B．＝－ C.＝＋ D．＝－ A　[以，為基底利用向量的加減運(yùn)算和平面向量基本定理求解． ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故選A.] 2．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________. 　[∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得] - 9 -