《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 下篇 指導(dǎo)一 數(shù)學(xué)思想 融會(huì)貫通教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 下篇 指導(dǎo)一 數(shù)學(xué)思想 融會(huì)貫通教學(xué)案（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 指導(dǎo)一 數(shù)學(xué)思想·融會(huì)貫通 第1講　函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想 [一]函數(shù)與方程思想 函數(shù)思想 方程思想 通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決的思想 構(gòu)建方程或方程組，通過(guò)解方程或方程組或運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決的思想 [函數(shù)思想與方程思想密切相關(guān)]　方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通過(guò)方程進(jìn)行研究，方程f(x)＝a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域．函數(shù)思想重在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的研究，方程思想則是在動(dòng)中

2、求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系 　　　　函數(shù)與方程思想在函數(shù)、不等式中的應(yīng)用 [例1]　(2019·煙臺(tái)三模)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，對(duì)于函數(shù)f(x)值域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m，使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(　　) A．(－∞，－2] B．[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) [解析]　D　[因?yàn)閤∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]， 即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立， 即為m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立． 設(shè)g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，

3、 則此函數(shù)在區(qū)間[1,4]上恒大于0， 所以即 解得x＜－2或x＞2.] 函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用 函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問(wèn)題．常涉及不等式恒成立問(wèn)題、比較大小問(wèn)題．一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系求解． [活學(xué)活用1] (2019·貴陽(yáng)三模)設(shè)0＜a＜1，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a，ae，ea－1的大小關(guān)系為(　　) A．ea－1＜a＜ae　　　　　 B．a(chǎn)e＜a＜ea－1 C．a(chǎn)e＜ea－1＜a D．a(chǎn)＜ea－1＜ae 解析：B　[設(shè)f(x)＝ex－x－1，x＞0，則f′(x)＝ex－1， ∴f(x

4、)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且f(0)＝0，f(x)＞0， ∴ex－1＞x，即ea－1＞a. 又y＝ax(0＜a＜1)在R上是減函數(shù)，得a＞ae， 從而ea－1＞a＞ae.] 　　　函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用 [例2]　(2020·蘭州模擬)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值________． [解析]　∵{an}為等差數(shù)列， 則S4＝4a1＋6d＝4a1－6，S2＝2a1－1，S1＝a1. 又S＝S1·S4知，(2a1－1)2＝a1(4a1－6)， ∴a1＝－. [答案]?。? 1．應(yīng)用方程的思想

5、求等差(或等比)數(shù)列中的通項(xiàng)時(shí)，根據(jù)題中的條件，列出關(guān)于首項(xiàng)和公差(或公比)的方程組，通過(guò)解方程組求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差(或公比)，再根據(jù)等差(或等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出an. 2．根據(jù)題目條件構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題是常用的解題思路． [活學(xué)活用2] 已知數(shù)列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，則的最小值為_(kāi)_______． 解析：an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋33＝2(1＋2＋…＋n－1)＋33＝(n－1)n＋33，故＝n＋－1.注意到對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，易得n＝5或n＝6時(shí)，

6、最小，而＝，＝，故最小值為. 答案： [二]數(shù)形結(jié)合思想 以形助數(shù)(數(shù)題形解) 以數(shù)輔形(形題數(shù)解) 借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡述數(shù)形之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的 借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的 　　　利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的零點(diǎn) [例1]　已知函數(shù)f(x)＝恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C. D. [解析]　D　[函數(shù)f(x)＝恰有3個(gè)零點(diǎn)，則3a＝－在x≤－2時(shí)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且ex＝在(－2,0)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．由3a＝－在x≤－2時(shí)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，得－2≤

7、3a＜－1，即－≤a＜－；ex＝在(－2,0)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可轉(zhuǎn)化為a＝xex在(－2,0)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令g(x)＝xex，則g′(x)＝ex(x＋1)，當(dāng)x∈(－2，－1)時(shí)，g′(x)＜0，當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，g′(x)＞0，所以函數(shù)g(x)在(－2，－1)上單調(diào)遞減，在(－1,0)上單調(diào)遞增，當(dāng)－2＜x＜0時(shí)，函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示，所以當(dāng)g(－1)＜a＜g(－2)，即－＜a＜－時(shí)，a＝xex在(－2,0)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．綜上，當(dāng)－＜a＜－時(shí)，函數(shù)f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)，故選D.] 利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn)： (1)討論方程

8、的解(或函數(shù)的零點(diǎn))一般可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性，否則會(huì)得到錯(cuò)解． (2)正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則，不要刻意去用數(shù)形結(jié)合． [活學(xué)活用1] 已知函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)是周期為2的偶函數(shù)且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，g(x)＝2x－1，則函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：B　[在同一坐標(biāo)系中作出y＝f(x)和y＝g(x)的圖象如圖所示， 由圖象可知當(dāng)x＞0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x≤0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以一共有6個(gè)

9、零點(diǎn)．] 　　　應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解不等式、參數(shù)問(wèn)題 [例2]　設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)＜0的解集是________________． [解析]　 設(shè)F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上為奇函數(shù)． 又當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0， 所以x＜0時(shí)，F(xiàn)(x)為增函數(shù)． 因?yàn)槠婧瘮?shù)在對(duì)稱區(qū)間

10、上的單調(diào)性相同， 所以x＞0時(shí)，F(xiàn)(x)也是增函數(shù)． 因?yàn)镕(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)． 所以，由圖象可知F(x)＜0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)． [答案]　(－∞，－3)∪(0,3) 求參數(shù)范圍或解不等式問(wèn)題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，往往可以避免煩瑣的運(yùn)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答． [活學(xué)活用2] 當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，(x－1)2＜logax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析： 由題意可知a＞1，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝(x－1

11、)2，x∈(1,2)及y＝logax的圖象，若y＝logax過(guò)點(diǎn)(2,1)，得loga2＝1，所以a＝2.根據(jù)題意，函數(shù)y＝logax，x∈(1,2)的圖象恒在y＝(x－1)2，x∈(1,2)的上方，所以1＜a≤2. 答案：(1,2] 　　　利用數(shù)形結(jié)合求最值問(wèn)題 [例3]　(1)(2019·泉州三模)記實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn中最小數(shù)為min{x1，x2，…，xn}，則定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值為(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 [解析]　C　[ 在同一坐標(biāo)系中作出三個(gè)函數(shù)y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝

12、13－x的圖象如圖： 由圖可知，在實(shí)數(shù)集R上，min{x2＋1，x＋3,13－x}為y＝x＋3上A點(diǎn)下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段BC，與直線y＝13－x點(diǎn)C下方的部分的組合圖．顯然，在區(qū)間[0，＋∞)上，在C點(diǎn)時(shí)，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值． 解方程組得點(diǎn)C(5,8)．所以f(x)max＝8.] (2)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 [解析]　B　[根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為

13、(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m. 因?yàn)椤螦PB＝90°，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m. 要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離． 因?yàn)閨OC|＝＝5， 所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值為6.] 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解最值問(wèn)題 (1)對(duì)于幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，應(yīng)分析各個(gè)變量的變化過(guò)程，找出其中的相互關(guān)系求解． (2)應(yīng)用幾何意義法解決問(wèn)題需要熟悉常見(jiàn)的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式——可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；④根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離． [活學(xué)活用3] (

14、2019·南昌三模)若x，y滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_______． 解析： 畫(huà)出可行域，如圖所示，z＝表示可行域內(nèi)的點(diǎn)和定點(diǎn)F(6,6)連線的斜率，顯然直線AF的斜率最大，kAF＝＝3， 即的最大值是3. 答案：3 第2講　分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想 [一]分類(lèi)討論思想 分類(lèi)討論的思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略，對(duì)問(wèn)題實(shí)行分類(lèi)與整合，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問(wèn)題(或綜合性問(wèn)題)分解為小問(wèn)題(或基礎(chǔ)性問(wèn)題)，優(yōu)化解題思路，降低問(wèn)題難度． 　　　由概念、性質(zhì)、

15、運(yùn)算引起的分類(lèi)討論 [例1]　(1)(2020·山師附中模擬)已知函數(shù)f(x)＝若f(2－a)＝1，則f(a)等于(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 [解析]　A　[①當(dāng)2－a≥2，即a≤0時(shí)，22－a－2－1＝1，解得a＝－1， 則f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2； ②當(dāng)2－a＜2即a＞0時(shí)，－log2[3－(2－a)]＝1， 解得a＝－，舍去． 所以f(a)＝－2.故選A.] (2)(2020·阜陽(yáng)模擬)等比數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18，則{an}的前9項(xiàng)和S9＝____________.

16、 [解析]　由題意得q2＝＝9，q＝±3， ①當(dāng)q＝3時(shí)，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6，S9＝2＋6＋18＝26； ②當(dāng)q＝－3時(shí)，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6，S9＝2－6＋18＝14， 所以S9＝14或26. [答案]　14或26 數(shù)學(xué)概念運(yùn)算公式中常見(jiàn)的分類(lèi) (1)由二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，直線的傾斜角、向量的夾角的范圍等引起分類(lèi)討論； (2)由除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，不等式兩邊同乘以(或除以)同一個(gè)數(shù)(或式)時(shí)的不等號(hào)等引起分類(lèi)討論； (3)由數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)成立的條件等引起分類(lèi)討論． [活學(xué)活用1] 已知函數(shù)

17、f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝________. 解析：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋b在[－1,0]上為增函數(shù)，由題意得無(wú)解．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋b在[－1,0]上為減函數(shù)，由題意得解得所以a＋b＝－. 答案：－ 　　　由圖形位置或形狀引起的分類(lèi)討論 [例2]　(2019·泉州三模)若雙曲線＋＝1的漸近線方程為y＝±x，則m的值為(　　) A．－1 B. C. D．－1或 [解析]　B　[根據(jù)題意可分以下兩種情況討論： ①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，則有解得m＜1， 此時(shí)漸近線方程為y＝± x， 由題意＝，解得

18、m＝. ②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，則有解得m＞3， 此時(shí)漸近線方程為y＝± x， 由題意＝，解得：m＝；與m＞3矛盾(舍去)． 結(jié)合以上可知m＝.故選B.] 圖形位置或形狀的變化中常見(jiàn)的分類(lèi) 圓錐曲線形狀不確定時(shí)，常按橢圓、雙曲線來(lái)分類(lèi)討論，求圓錐曲線的方程時(shí)，常按焦點(diǎn)的位置不同來(lái)分類(lèi)討論；相關(guān)計(jì)算中，涉及圖形問(wèn)題時(shí)，也常按圖形的位置不同、大小差異等來(lái)分類(lèi)討論． [活學(xué)活用2] 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面積為，則a的值為_(kāi)_________． 解析：由三角形面積公式，得×3×1·sin A＝， 故sin A＝.因?yàn)閟i

19、n2A＋cos2A＝1， 所以cos A＝±＝± ＝±. ①當(dāng)cos A＝時(shí)，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝8， 所以a＝2. ②當(dāng)cos A＝－時(shí)，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝12， 所以a＝2. 綜上所述，a＝2或2. 答案：2或2 　　　由變量或參數(shù)引起的分類(lèi)討論 [例3]　(2019·濰坊三模節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的單調(diào)區(qū)間． [解析]　由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a. 下面分兩種情況：

20、①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＝3x2－a≥0恒成立． 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)． ②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表： x － f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，. 幾種常見(jiàn)的由參數(shù)變化引起的分類(lèi)與整合 1．含有參數(shù)的不等式的求解． 2．含有參數(shù)的方程的求解． 3．對(duì)于解析式系數(shù)含參數(shù)的函數(shù)，求最值或單調(diào)性問(wèn)題． 4．二元二次方程表示曲線類(lèi)型的判定等． 5．直線與圓錐曲

21、線位置關(guān)系的分類(lèi)． [活學(xué)活用3] 函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0,2]上有最大值f(2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________． 解析：當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝4x－3在x∈[0,2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3＝a2－3－，其對(duì)稱軸為x＝－. 當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0,2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 當(dāng)a＜0時(shí)，只有當(dāng)－≥2，即－1≤a＜0時(shí)，f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0,2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 綜上，當(dāng)a≥－1時(shí)，函數(shù)

22、f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0,2]上有最大值f(2)． 答案：[－1，＋∞) [二]轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種方法．一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題． 　　　特殊與一般的轉(zhuǎn)化 [例1]　(2019·長(zhǎng)沙三模)(1)過(guò)拋物線y＝ax2(a＞0)的焦點(diǎn)F，作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)．若線段PF與FQ的長(zhǎng)度分別為p，q，則＋等于(　　) A．2a B. C．4a D. [解析]　C　

23、[拋物線y＝ax2(a＞0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2＝y(tǒng)(a＞0)，焦點(diǎn)F. 過(guò)焦點(diǎn)F作直線垂直于y軸， 則|PF|＝|QF|＝， ∴＋＝4a.] (2)(2017·浙江)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________． [解析]　由題意，不妨設(shè)b＝(2,0)，a＝(cos θ，sin θ)， 則a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ)． 令y＝|a＋b|＋|a－b| ＝＋ ＝＋， 令y＝＋， 則y2＝10＋2∈[16,20]． 由此可得(|a＋b|＋|a－b|)m

24、ax＝＝2， (|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4， 即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2. [答案]　4　2 (1)一般問(wèn)題特殊化，使問(wèn)題處理變得直接、簡(jiǎn)單．特殊問(wèn)題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問(wèn)題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問(wèn)題的效果． (2)對(duì)于某些選擇題、填空題，如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案． [活學(xué)活用1] 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則＝________. 解析：顯然△ABC為等邊三角形時(shí)符合題設(shè)條件， 所以＝＝＝. 答案

25、： 　　　正與反的轉(zhuǎn)化 [例2]　(2019·吉林三模)若對(duì)于任意t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2－2x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． [解析]　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2， 若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)， 則①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立， 或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．(正反轉(zhuǎn)化) 由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x， 當(dāng)x∈(t,3)時(shí)恒成立，∴m＋4≥－3t恒成立， 則m＋4≥－1，即m≥－5； 由②得3x2＋(m＋4)x－2≤0，即m＋4≤－3x， 當(dāng)x∈(

26、t,3)時(shí)恒成立， 則m＋4≤－9，即m≤－. ∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為 [答案]　 (1)本題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則． (2)題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)很少，從反面考慮較簡(jiǎn)單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問(wèn)題中． [活學(xué)活用2] 由命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題，得m的取值范圍是(－∞，a)，則實(shí)數(shù)a的取值是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，2) C．1 D．2 解析：C　[命題“存在x0∈R，

27、使e|x0－1|－m≤0”是假命題，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m＞0”是真命題，可得m的取值范圍是(－∞，1)，而(－∞，a)與(－∞，1)為同一區(qū)間，故a＝1.] 　　　主與次的相互轉(zhuǎn)化 [例3]　(2019·西安三模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．對(duì)滿足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)(x)＜0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)_______． [解析]　由題意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5， 對(duì)φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1. 對(duì)－1≤a≤1，恒有g(shù)(x)＜0，即φ(a)＜

28、0， ∴即 解得－＜x＜1. 故當(dāng)x∈時(shí)，對(duì)滿足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)(x)＜0. [答案]　 (1)本題是把關(guān)于x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為在[－1,1]內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)小于0恒成立的問(wèn)題． (2)在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù))，將其看作是“主元”，而把其它變?cè)醋魇浅Ａ?，從而達(dá)到減少變?cè)?jiǎn)化運(yùn)算的目的． [活學(xué)活用3] 對(duì)于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)p，使不等式x2＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范圍是________． 解析：設(shè)f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3， 則當(dāng)x＝1時(shí)，f(p)＝0.所以x≠1. f(p)在0≤p≤4上恒為正，等價(jià)于即 解得x＞3或x＜－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) - 13 -