《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第53講 曲線(xiàn)與方程學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第53講 曲線(xiàn)與方程學(xué)案（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第53講　曲線(xiàn)與方程 考綱要求 考情分析 命題趨勢(shì) 　　了解方程的曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 2017·全國(guó)卷Ⅱ，20 2016·全國(guó)卷Ⅰ，20(1) 2016·全國(guó)卷Ⅲ，20(2) 求滿(mǎn)足條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡及軌跡方程，用直接法和定義法較為普遍. 分值：3～5分 1．曲線(xiàn)與方程 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1)曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都是__這個(gè)方程__的解； (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是__曲線(xiàn)上__的點(diǎn)． 那么，這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程，這條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)． 曲線(xiàn)可以看作是符合

2、某條件的點(diǎn)的集合，也可看作是適合某種條件的點(diǎn)的軌跡，因此，此類(lèi)問(wèn)題也叫軌跡問(wèn)題． 2．求曲線(xiàn)方程的基本步驟 1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)． (1)f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線(xiàn)f(x，y)＝0上的充要條件．(　√　) (2)方程x2＋xy＝x表示的曲線(xiàn)是一個(gè)點(diǎn)和一條直線(xiàn)．(　×　) (3)到兩條互相垂直的直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2＝y(tǒng)2.(　 ×　) (4)方程y＝與x＝y(tǒng)2表示同一曲線(xiàn)．(　×　) 解析 (1)正確．由f(x0，y0)＝0可知點(diǎn)P(x0，y0)在曲線(xiàn)f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲線(xiàn)f(x，y)＝0上時(shí)，有f(

3、x0，y0)＝0.所以f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲線(xiàn)f(x，y)＝0上的充要條件． (2)錯(cuò)誤．方程變?yōu)閤(x＋y－1)＝0，所以x＝0或x＋y－1＝0，故方程表示直線(xiàn)x＝0或直線(xiàn)x＋y－1＝0. (3)錯(cuò)誤．當(dāng)以?xún)蓷l互相垂直的直線(xiàn)為x軸，y軸時(shí)，是x2＝y(tǒng)2，否則不正確． (4)錯(cuò)誤．因?yàn)榉匠蘺＝表示的曲線(xiàn)只是方程x＝y(tǒng)2表示曲線(xiàn)的一部分，故其不正確． 2．和點(diǎn)O(0,0)，A(c,0)距離的平方和為常數(shù)c(c≠0)的點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0__. 解析 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意知 ()2＋()2＝c， 即x2＋y2＋(x－c)

4、2＋y2＝c，即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0. 3．MA和MB分別是動(dòng)點(diǎn)M(x，y)與兩定點(diǎn)A(－1,0)和B(1,0)的連線(xiàn)，則使∠AMB為直角的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是__x2＋y2＝1(x≠±1)__. 解析 點(diǎn)M在以A，B為直徑的圓上，但不能是A，B兩點(diǎn)． 4．平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)_y2＝8x(x≠0)__． 解析 ＝，＝，由⊥，得·＝0. 即2x＋·＝0.∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為y2＝8x(x≠0)． 5．圓的方程為x2＋y2＝4，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)且以圓的切線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，則拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的軌跡方程是__＋

5、＝1(y≠0) __. 解析 設(shè)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為F，過(guò)A，B，O作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)AA1，BB1，OO1，則＋＝2＝4，由拋物線(xiàn)定義得＋＝＋，∴＋＝4，故F點(diǎn)的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn))． 一　定義法求軌跡方程 應(yīng)用定義法求曲線(xiàn)方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線(xiàn)定義判斷是何種曲線(xiàn)，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解． 【例1】 已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C，求C的方程． 解析 由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓

6、心為N(1,0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以＋＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2＝.由橢圓的定義可知，曲線(xiàn)C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)． 二　直接法求軌跡方程 直接法求軌跡方程的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略 (1)題中給出等量關(guān)系，求軌跡方程．直接代入即可得出方程． (2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程．可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程． 【例2】 (2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知拋物線(xiàn)C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線(xiàn)l1，l2

7、分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線(xiàn)于P，Q兩點(diǎn)． (1)若F在線(xiàn)段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ； (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程． 解析 由題知F.設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0，且 A，B，P，Q， R. 記過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線(xiàn)為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)由于F在線(xiàn)段AB上，故1＋ab＝0. 記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則 k1＝＝＝＝＝－b＝k2. 所以AR∥FQ. (2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)， 則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|， S△PQF＝. 由

8、題設(shè)可得|b－a|＝，解得x1＝1. 設(shè)滿(mǎn)足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y)． 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)． 而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)． 當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合，故所求軌跡方程為y2＝x－1. 三　相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程 相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的基本步驟 (1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)， (2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式 (3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線(xiàn)方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 【例3】 (2018·安徽合肥高三調(diào)研)已知M為橢圓C：＋＝1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)，垂足為

9、D，點(diǎn)P滿(mǎn)足＝. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程； (2)若A，B兩點(diǎn)分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線(xiàn)PB與橢圓C交于點(diǎn)Q，直線(xiàn)QF，PA的斜率分別為kQF，kPA，求的取值范圍． 解析 (1)設(shè)P(x，y)，M(m，n)，依題意知D(m,0)，且y≠0. 由＝M，得(m－x，－y)＝(0，－n)， 則有? 又M(m，n)為橢圓C：＋＝1上的點(diǎn)， ∴＋＝1，即x2＋y2＝25， 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為x2＋y2＝25(y≠0)． (2)依題意知A(－5,0)，B(5,0)，F(xiàn)(－4,0)，設(shè)Q(x0，y0)， ∵線(xiàn)段AB為圓E的直徑，∴AP⊥BP，設(shè)直線(xiàn)P

10、B的斜率為kPB，則kPA＝－， ＝＝－kQFkPB＝－kQFkQB＝－·＝ －＝－＝＝＝， ∵點(diǎn)P不同于A，B兩點(diǎn)且直線(xiàn)QF的斜率存在， ∴－5

11、2＋y2＝100，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3,0)，M為圓C上任一點(diǎn)，線(xiàn)段AM的垂直平分線(xiàn)交CM于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為?。?　. 解析 由題可知C(3,0)，r＝10，由中垂線(xiàn)性質(zhì)知＝，故＋＝＋＝＝10，即P點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為中心，點(diǎn)A，C為焦點(diǎn)的橢圓，2a＝10，c＝3，b＝4，故點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1. 3．已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且＝4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線(xiàn)． 解析 如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系． 由＝4，得O1(－2,0)，O2

12、(2,0)．設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有＝r－1， 由動(dòng)圓M與圓O2外切，有＝r＋2， ∴－＝3， ∴點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為3的雙曲線(xiàn)的左支， ∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝， ∴點(diǎn)M的軌跡方程為－＝1. 4．如圖所示，A(m，m)和B(n，－n)兩點(diǎn)分別在射線(xiàn)OS，OT(點(diǎn)S，T分別在第一、四象限)上移動(dòng)，且·＝－，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足＝＋. (1)求mn的值； (2)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn)？ 解析 (1)∵·＝(m，m)·(n，－n)＝－2mn＝－， ∴mn＝. (2)設(shè)P(x，y)(x＞0)，由＝＋

13、， 得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，m－n)． ∴整理得x2－＝4mn，又mn＝， ∴P點(diǎn)的軌跡方程為x2－＝1(x＞0)．它表示以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為4的雙曲線(xiàn)x2－＝1的右支． 易錯(cuò)點(diǎn)　軌跡方程與實(shí)際的軌跡不對(duì)應(yīng) 錯(cuò)因分析：①要注意參數(shù)的取值影響x，y的取值范圍；②曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)要對(duì)應(yīng)． 【例1】 如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10)，分別將線(xiàn)段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，連接OBi，過(guò)Ai作x軸的垂線(xiàn)與OBi交于點(diǎn)Pi(

14、i∈N*，1≤i≤9)．求證：點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線(xiàn)上，并求P的軌跡方程． 解析 依題意，過(guò)Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線(xiàn)方程為x＝i，Bi的坐標(biāo)為(10，i)， 所以直線(xiàn)OBi的方程為y＝x. 設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x，y)，由 得y＝x2，即x2＝10y. 所以點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線(xiàn)上，且拋物線(xiàn)E的方程為x2＝10y. 由于i∈[1,9]，所以x∈[0,10]，y∈[0,10]，從而點(diǎn)P的軌跡方程為x2＝10y(x∈[0,10])． 【跟蹤訓(xùn)練1】 方程(x2＋y2－4)＝0的曲線(xiàn)形狀是(　C　) 解析 由題

15、意得x＋y＋1＝0或x2＋y2＝4(x＋y＋1≥0)表示直線(xiàn)x＋y＋1＝0和圓x2＋y2＝4在直線(xiàn)x＋y＋1＝0右上方的部分． 課時(shí)達(dá)標(biāo)　第53講 [解密考綱]求曲線(xiàn)的軌跡方程，經(jīng)常通過(guò)定義法或直接法，在解答題的第(1)問(wèn)中出現(xiàn)． 一、選擇題 1．已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|＝2|PB|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　B　) A．直線(xiàn)　　 B．圓　　 C．橢圓　　 D．雙曲線(xiàn) 解析 設(shè)P(x，y)，則 ＝2，整理得x2＋y2－4x＝0， 又D2＋E2－4F＝16>0，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓． 2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線(xiàn)C：－＝1(a>0，b>

16、0)的一條漸近線(xiàn)方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　B　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析 根據(jù)雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y＝x，可知＝，?、儆謾E圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9，?、诟鶕?jù)①②可知a2＝4，b2＝5，故選B． 3．已知點(diǎn)P是直線(xiàn)2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)，Q是線(xiàn)段PM延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是(　D　) A．2x＋y＋1＝0　　 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0　　 D．2x－y＋5＝0 解析 設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y

17、)，代入2x－y＋3＝0得Q點(diǎn)的軌跡方程為2x－y＋5＝0. 4．設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)，線(xiàn)段AQ的垂直平分線(xiàn)與 CQ的連線(xiàn)交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為(　D　) A．－＝1　　 B．＋＝1 C．－＝1　　 D．＋＝1 解析 ∵M(jìn)為AQ垂直平分線(xiàn)上一點(diǎn)，則|AM|＝|MQ|， ∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5， 故M的軌跡是以定點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)的橢圓， ∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 5．設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x，y)的直線(xiàn)分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，

18、點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝2，且·＝1，則點(diǎn)P的軌跡方程是(　A　) A．x2＋3y2＝1(x>0，y>0) B．x2－3y2＝1(x>0，y>0) C．3x2－y2＝1(x>0，y>0) D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0) 解析 設(shè)A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2， 得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0，點(diǎn)Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.將a，b代入ax＋by＝1得所求的軌跡方程為x2＋3y2＝1(x>0，y>0)． 6．已知圓錐曲線(xiàn)mx2＋4y2＝4m的離心率e為方程

19、2x2－5x＋2＝0的根，則滿(mǎn)足條件的圓錐曲線(xiàn)的個(gè)數(shù)為(　B　) A．4　　 B．3　　 C．2　　 D．1 解析 ∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，∴e＝2或e＝，mx2＋4y2＝4m可化為＋＝1，當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時(shí)，有＝，∴m＝3；當(dāng)它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，有＝，∴m＝；當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)時(shí)，可化為－＝1，有＝2，∴m＝－12，∴滿(mǎn)足條件的圓錐曲線(xiàn)有3個(gè)，故選B． 二、填空題 7．已知△ABC的頂點(diǎn) A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線(xiàn)x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是__－＝1(x>3)__. 解析 如圖，|AD|＝|AE|＝8，|B

20、F|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線(xiàn)的右支，方程為－＝1(x>3)． 8．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,0)，B(2,2)，若點(diǎn)C滿(mǎn)足O＝O＋t(O－O)，其中t∈R，則點(diǎn)C的軌跡方程是__2x－y－2＝0__. 解析 設(shè) C(x，y)，則＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去參數(shù)t得點(diǎn)C的軌跡方程為y＝2x－2. 9．P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足O＝＋，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是　＋＝1　. 解析

21、 作P關(guān)于O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接F1M，F(xiàn)2M， 則四邊形F1PF2M為平行四邊形， 所以＋＝＝2＝－2. 又＝＋，所以＝－， 設(shè)Q(x，y)，則＝， 即點(diǎn)P坐標(biāo)為，又P在橢圓上， 則有＋＝1，即＋＝1. 三、解答題 10．已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線(xiàn)l1：x－y－2＝0相切． (1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AN⊥x軸于點(diǎn)N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足＝m＋(1－m)(其中m為非零常數(shù))，試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程C2. 解析 (1)依題意圓的半徑為圓心(0,0)到直線(xiàn)l1的距離＝2，故圓C1的方程為x2＋y2＝4. (2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，A(x0，y0)

22、． ∵AN⊥x軸交于點(diǎn)N，∴N(x0,0)， 由題意，得(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)， ∴即將A，代入x2＋y2＝4， 得＋＝1.即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為＋＝1. 11．(2018·河北唐山統(tǒng)考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線(xiàn)l：x＝－1的距離等于它到圓C：x2＋y2－4x＋1＝0的切線(xiàn)長(zhǎng)(P到切點(diǎn)的距離)．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)E. (1)求曲線(xiàn)E的方程； (2)過(guò)圓心C作直線(xiàn)AB：x＝my＋2交曲線(xiàn)E于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為D，過(guò)圓心C作直線(xiàn)CQ垂直于直線(xiàn)AB交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q，求的取值范圍． 解析 (1)由已知得圓的方程為(x－2)2＋y2＝3， 則圓心為C(

23、2,0)，半徑r＝. 設(shè)P(x，y)，依題意可得|x＋1|＝， 整理得y2＝6x.故曲線(xiàn)E的方程為y2＝6x. (2)又直線(xiàn)AB的方程為my＝x－2， 則直線(xiàn)CQ的方程為y＝－m(x－2)，可得Q(－1,3m)． 將my＝x－2代入y2＝6x并整理可得y2－6my－12＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝6m，y1y2＝－12， AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為， 即D(3m2＋2,3m)，|QD|＝3m2＋3. |AB|＝·＝2， 所以2＝＝∈， 故的取值范圍是. 12．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：＋y2＝1上，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)，

24、垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足＝ .　 (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)x＝－3上，且·＝1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 解析 (1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)， ＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．由＝ 得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因?yàn)镸(x0，y0)在橢圓C上，所以＋＝1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)由題意知F(－1,0)．設(shè)Q(－3，t)，P(m，n)，則 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn， ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2， 故3＋3m－tn＝0. 所以·＝0，即⊥.又過(guò)點(diǎn)F存在唯一直線(xiàn)垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 12