《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質 3.1.3 函數(shù)的奇偶性 第2課時 函數(shù)奇偶性的應用學案 新人教B版必修第一冊》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質 3.1.3 函數(shù)的奇偶性 第2課時 函數(shù)奇偶性的應用學案 新人教B版必修第一冊(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2課時 函數(shù)奇偶性的應用
(教師獨具內容)
課程標準:會利用函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調性等.
教學重點:函數(shù)奇偶性的應用.
教學難點:函數(shù)的奇偶性和單調性的綜合應用.
【情境導學】(教師獨具內容)
通過上節(jié)課的學習,我們知道函數(shù)的奇偶性描述了函數(shù)圖像具有的對稱性,這節(jié)課我們就來學習如何應用函數(shù)的奇偶性來解決問題.
【知識導學】
知識點一 函數(shù)奇偶性的應用
如果知道一個函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù),那么其定義域能分成關于原點對稱的兩部分,得出函數(shù)在其中一部分上的性質和圖像,就可得出這個函數(shù)在另一部分上的性質和圖像.
知識點二 偶函數(shù)的性質
如果y
2、=f(x)是偶函數(shù),那么其在x>0與x<0時的單調性相反.
知識點三 奇函數(shù)的性質
如果y=f(x)是奇函數(shù),那么其在x>0與x<0時的單調性相同.
1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)偶函數(shù)的圖像一定與y軸相交.( )
(2)奇函數(shù)的圖像一定通過原點.( )
(3)若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),且在[1,2]上單調遞增,那么該函數(shù)在[-2,-1]上也單調遞增.( )
(4)若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),且在(0,3)上單調遞減,那么該函數(shù)在(-3,0)上單調遞增.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
3、
2.做一做
(1)函數(shù)y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函數(shù),則a等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.無法確定
(2)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=x2+,則f(-1)=________.
(3)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上是減函數(shù),且最大值為8,最小值為3,那么f(x)在[-5,-2]上是________函數(shù),最大值是________,最小值是________.
答案 (1)C (2)-2 (3)減?。? -8
題型一 利用函數(shù)的奇偶性求值或求參數(shù)
例1 (1)已知函數(shù)f(x)=x3+a
4、x2+bx+c是定義在[2b-5,2b-3]上的奇函數(shù),則f的值為( )
A. B.
C.1 D.無法確定
(2)已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,則f(3)=________.
(3)已知函數(shù)f(x)=(x+a)(x+b)(a,b∈R)為R上的偶函數(shù).
①求a,b的關系式;
②求關于x的方程f(x)=0的解集.
[解析] (1)∵奇函數(shù)的定義域關于原點對稱,
∴2b-5=-(2b-3)=-2b+3.解得b=2.
∴f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),
∴f(0)=c=0,f(-1)=-f(1).
即-1+a-2=-(1
5、+a+2).∴a=0.
∴f(x)=x3+2x.
∴f=3+2×=+1=.
(2)令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,則g(x)為奇函數(shù).
∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2.
又f(-3)=-3,∴g(3)=5.
又f(3)=g(3)+2,∴f(3)=5+2=7.
(3)①因為f(x)=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)對于x∈R恒成立,
所以(-x)2-(a+b)x+ab=x2+(a+b)x+ab,
即2(a+b)x=0對于x∈R恒成立,
所以a+b=0,即b=-a.
②由①可知,f(x)=x2-a2.
當
6、a=0時,f(x)=x2=0,解得x=0;
當a≠0時,f(x)=x2-a2=0,解得x=±a.
綜上所述,當a=0時,方程f(x)=0的解集為{0};
當a≠0時,方程f(x)=0的解集為{-a,a}.
[答案] (1)B (2)7 (3)見解析
金版點睛
利用奇偶性求參數(shù)的常見類型及策略
(1)定義域含參數(shù):奇、偶函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],根據(jù)定義域關于原點對稱,利用a+b=0求參數(shù).
(2)解析式含參數(shù):根據(jù)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比較系數(shù)即可求解.
(1)設函數(shù)f(x)=若f(x)是奇函數(shù),則g(2)的值是( )
A.3
7、 B.5
C.-5 D.-3
(2)若f(x)=ax2+bx+b+1是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),則a+b的值為( )
A.- B.
C.- D.
答案 (1)A (2)B
解析 (1)∵函數(shù)f(x)=且f(x)是奇函數(shù),∴g(2)=f(2)=-f(-2)=-(-2×2+1)=3.故選A.
(2)∵f(x)=ax2+bx+b+1是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),∴a-1=-2a,f(-x)=ax2-bx+b+1=f(x)=ax2+bx+b+1.∴a=,b=0.∴a+b=.故選B.
題型二 利用函數(shù)的奇偶性求解析式
例2 若f(x)是定義
8、在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=x(1-x),求當x≥0時,f(x)的解析式.
[解] ∵當x<0時,f(x)=x(1-x),
設x>0,則-x<0.
∴f(-x)=-x(1+x),
又f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=x(1+x).
當x=0時,f(0)=-f(0),即f(0)=0.
∴當x≥0時,f(x)=x(1+x).
金版點睛
利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法
注意求給定哪個區(qū)間的解析式就設這個區(qū)間上的變量x,然后把x轉化為-x為另一已知區(qū)間上的解析式中的變量,通過互化,求得所求區(qū)間上的解析式.
已知f(x)是定義在R上的奇
9、函數(shù),并且當x>0時f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式.
解 ∵當x>0時,f(x)=x3+x+1,
設x<0,∴-x>0.
∴f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.
又f(x)是奇函數(shù),∴f(0)=0,f(-x)=-f(x).
∴-f(x)=-x3-x+1,即f(x)=x3+x-1.
故f(x)=
題型三 函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用
例3 (1)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在[2,6]上是減函數(shù),試比較f(-5)與f(3)的大?。?
(2)設定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞減,若f(m)+f(m-1)>0
10、,求實數(shù)m的取值范圍.
[解] (1)因為f(x)是偶函數(shù),所以f(-5)=f(5),
因為f(x)在[2,6]上是減函數(shù),
所以f(5)0,得
f(m)>-f(m-1),即f(1-m)
11、不在同一單調區(qū)間上,需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉化到同一單調區(qū)間上,然后利用單調性比較大小.
(2)解不等式
①利用已知條件,結合函數(shù)的奇偶性,把已知不等式轉化為f(x1)f(x2)的形式;
②根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性一致,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反,脫掉不等式中的“f”轉化為簡單不等式求解.
(1)已知函數(shù)f(x)在[-5,5]上是偶函數(shù),f(x)在[0,5]上是單調函數(shù),且f(-4)
12、f(1)
(2)設函數(shù)f(x)在R上是偶函數(shù),在(-∞,0)上單調遞減,若f(a2-2a+3)>f(a2+a+1),求實數(shù)a的取值范圍.
答案 (1)D (2)見解析
解析 (1)因為函數(shù)f(x)在[-5,5]上是偶函數(shù),
所以f(-4)f(1).
(2)由題意,知f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
又a2-2a+3=(a-1)2+2>0,
a2+a+1=2+>0,
且f(a2-2a+3)>f(a2+a+1),
所以a2-2a+3>a2+a+1,即3a<2,
13、a<.
綜上,實數(shù)a的取值范圍是.
1.若函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a等于( )
A. B.
C. D.1
答案 A
解析 函數(shù)f(x)的定義域為.又f(x)為奇函數(shù),定義域應關于原點對稱,∴a=.
2.若函數(shù)f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為( )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞) D.[1,+∞)
答案 A
解析 因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以a+2=0,a=-2,即該函數(shù)f(x)=-2x2+1,所以函數(shù)在(-∞,0]上單調遞增
14、.故選A.
3.設f(x)是R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調遞增,則f(-2),f(-π),f(3)的大小順序是( )
A.f(-π)>f(3)>f(-2) B.f(-π)>f(-2)>f(3)
C.f(3)>f(-2)>f(-π) D.f(3)>f(-π)>f(-2)
答案 A
解析 ∵f(x)是R上的偶函數(shù),∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),又f(x)在[0,+∞)上單調遞增,且2<3<π,∴f(π)>f(3)>f(2),即f(-π)>f(3)>f(-2).
4.奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上是增函數(shù),在區(qū)間[3,6]上的最大值是4,最小值是-1
15、,則2f(-6)+f(-3)=________.
答案?。?
解析 ∵f(x)是奇函數(shù),且在[3,6]上是增函數(shù),
∴f(3)=-1,f(6)=4.∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×4+1=-7.
5.已知函數(shù)f(x)=x2+4x+3.
(1)若g(x)=f(x)+bx為偶函數(shù),求b的值;
(2)求函數(shù)f(x)在[-3,3]上的最大值.
解 (1)g(x)=f(x)+bx=x2+(b+4)x+3,
g(-x)=x2-(b+4)x+3,
∵g(x)=g(-x),∴b+4=0,∴b=-4.
(2)∵f(x)=x2+4x+3的圖像關于直線x=-2對稱,∴f(x)在x=-2時取得最小值-1,在x=3時取得最大值24.
7