《2020版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第1節(jié) 不等式的性質與一元二次不等式教學案 理（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第1節(jié) 不等式的性質與一元二次不等式教學案 理（含解析）北師大版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第一節(jié)　不等式的性質與一元二次不等式 [考綱傳真]　1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式(組)的實際背景.2.會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.4.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖． 1．兩個實數(shù)比較大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的性質 (1)對稱性：a>b?bb，b>c?a>c； (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c； a>b，c>d?a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0?a

2、c>bc； a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd； (5)乘方法則：a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)； (6)開方法則：a>b>0?>(n≥2，n∈N)； (7)倒數(shù)性質：設ab>0，則a. 3．“三個二次”的關系 判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖像 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有兩相異實根x1，x2(x10 (a>0)的解集 {x|x

3、x>x2} {x|x≠x1} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1

4、1)a＞b?ac2＞bc2. (　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0. (　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R. (　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0. (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)設A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，則A與B的大小關系為(　　) A．A≥B　　　　　 B．A＞B C．A≤B D．A＜B B　[∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－

5、4) ＝x2－6x＋9－x2＋6x－8 ＝1＞0， ∴A＞B，故選B．] 3．(教材改編)若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有(　　) A.＞ B．＜ C.＞ D．＜ B　[∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd， ∴－＞－，即＜.故選B．] 4．不等式－x2－3x＋4>0的解集為________．(用區(qū)間表示) (－4,1)　[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集為(－4,1)．] 5．(教材改編)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為，則a＋b＝________. －14　

6、[由題意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的兩個根， 則 解得 (經檢驗知滿足題意)． ∴a＋b＝－14.] 比較大小及不等式性質的應用 1．設α∈，β∈[0，π]，那么2α－的取值范圍是(　　) A.　　　　　　 B． C. D． D　[∵α∈，β∈[0，π]， ∴2α∈，∈， 即－＜2α＜π， －≤－≤0. ∴－＜2α－＜π，故選D．] 2．已知a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列選項中一定成立的是(　　) A．ab＞ac B．c(b－a)＜0 C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＞0 A　[∵c＜b＜a，且ac＜

7、0， ∴c＜0，a＞0， ∴ac＜ab， 即A選項正確．] 3．設f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________． [6,10]　[法一：(待定系數(shù)法)由題意知f(－2)＝4a－2b，設存在實數(shù)m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b， 所以解得所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)． 又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6， 所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，即f(－2)的取值范圍是[6,10]． 法二：(運用方程思想)由得 所以f(－

8、2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10， 即f(－2)的取值范圍是[6,10]．] [規(guī)律方法]　1.用同向不等式求差范圍的技巧 ??a－d＜x－y＜b－c. 這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時經常用到． 2．比較大小的三種常用方法 (1)作差法：直接作差判斷正負即可． (2)作商法：直接作商與1的大小比較，注意兩式的符號． (3)函數(shù)的單調性法：把比較的兩個數(shù)看成一個函數(shù)的兩個值，根據函數(shù)的單調性比較． 一元二次不等式的解法 【例1】　解下列不等式： (1)3＋2x－x2≥0； (2)x2－(a＋1)x＋a<0. [解

9、]　(1)原不等式化為x2－2x－3≤0， 即(x－3)(x＋1)≤0， 故所求不等式的解集為{x|－1≤x≤3}． (2)原不等式可化為(x－a)(x－1)<0， 當a>1時，原不等式的解集為(1，a)； 當a＝1時，原不等式的解集為?； 當a<1時，原不等式的解集為(a,1)． [母題探究]　將本例(2)中不等式改為ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集． [解]　若a＝0，原不等式等價于－x＋1<0，解得x>1. 若a<0，原不等式等價于(x－1)>0， 解得x<或x>1. 若a>0，原不等式等價于(x－1)<0. ①當a＝1時，＝1，(x－1)<0無解；

10、 ②當a>1時，<1，解(x－1)<0得1，解 (x－1)<0得11}；當01時，解集為. [規(guī)律方法]　1.解一元二次不等式的一般方法和步驟： (1)化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式． (2)判：計算對應方程的判別式，根據判別式判斷方程有沒有實根(無實根時，不等式解集為R或?)． (3)求：求出對應的一元二次方程的根． (4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集． 2．解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：

11、 (1)二次項中若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式． (2)判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關系． (3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式． (1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，則不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　) A．{x|20的解集是， ∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－

12、，且a<0， ∴解得 則不等式x2－bx－a≥0即為x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3. (2)將原不等式移項通分得≥0， 等價于解得x≤或x＞5. ∴原不等式的解集為.] 一元二次不等式恒成立問題 ?考法1　在R上恒成立，求參數(shù)的范圍 【例2】　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． (－2,2]　[當a－2＝0，即a＝2時，不等式即為－4<0，對一切x∈R恒成立， 當a≠2時，則有 即∴－2

13、【例3】　設函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍． [解]　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下兩種方法： 法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 當m>0時，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)， 所以g(x)max＝g(3)?7m－6<0， 所以m<，所以0

14、為x2－x＋1＝2＋>0， 又因為m(x2－x＋1)－6<0，所以m<. 因為函數(shù)y＝＝在[1,3]上的最小值為，所以只需m<即可． 所以m的取值范圍是. ?考法3　變換主元，求x的范圍 【例4】　對任意的k∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，則x的取值范圍是__________． {x|x<1或x>3}　[對任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1,1]時恒成立． 只需g(－1)>0且g(1)>0，即 解得x<1或x>3.] [規(guī)律方法]　一元二次不等式

15、恒成立問題的求解思路 (1)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈R)的不等式確定參數(shù)的范圍時，結合一元二次方程，利用判別式來求解． (2)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈[a，b])的不等式確定參數(shù)范圍時，常轉化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值． (3)形如f(x)＞0或f(x)＜0(參數(shù)m∈[a，b])的不等式確定x的范圍時，要注意變換主元，一般地，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)． (1)若不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1,5]上有解，則實數(shù)a的取值范圍是________． (2)求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a＞0(|a|≤1)恒成立的x的

16、取值范圍． (1)　[設f(x)＝x2＋ax－2，由題知Δ＝a2＋8＞0， 所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一負兩根， 于是不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)＞0，即a∈.] (2)[解]　將原不等式整理為形式上是關于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0. 令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9， 因為f(a)＞0在|a|≤1時恒成立，所以 (1)若x＝3，則f(a)＝0，不符合題意，舍去． (2)若x≠3，則由一次函數(shù)的單調性，可得即解得x＜2或x＞4. 綜上可知，使原不等式恒成立的x的取值范圍是(－∞，2)∪(4，＋∞)．

17、1．(2016·全國卷Ⅰ)設集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝(　　) A.　　　　　　 B． C. D． D　[∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}． ∵2x－3＞0，∴x＞，∴B＝. ∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩＝. 故選D．] 2.(2016·全國卷Ⅲ)設集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，則S∩T＝(　　) A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞) C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞) D　[由題意知S＝{x|x≤2或x≥3}，則S∩T＝{x|0＜x≤2或x≥3}．故選D．] - 8 -