《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)案 理（含解析）北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)案 理（含解析）北師大版（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)　平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 [考綱傳真]　1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件． 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1

2、＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)． ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 3．平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共線?x1y2－x2y1＝0. 1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0. 2．若G是△ABC的重心，則＋＋＝0，＝(＋)． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)

3、 (1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底． (　　) (2)在△ABC中，向量，的夾角為∠ABC. (　　) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的． (　　) (4)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則向量a－b＝(　　) A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) D　[∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)， ∴a＝，b＝ ∴a－b＝＝(－1,2)，故選

4、D．] 3．在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) B　[A項(xiàng)中e1∥e2，C項(xiàng)中e2＝2e1，D項(xiàng)中e1＝－e2，只有B項(xiàng)中e1，e2不共線，故a可以由e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)表示，故選B．] 4．設(shè)向量a＝(2,4)與向量b＝(x,6)共線，則實(shí)數(shù)x等于(　　) A．2　　　　B．3 C．4　　　　D．6 B　[由a∥b可知2×6－4x＝0，∴x＝3.故選B．] 5

5、．(教材改編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________． (1,5)　[設(shè)D(x，y)，則由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即 解得] 平面向量基本定理及其應(yīng)用 1．如果e1，e2是平面α內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是(　　) A．e1與e1＋e2　　　　　 B．e1－2e2與e1＋2e2 C．e1＋e2與e1－e2 D．e1＋3e2與6e2＋2e1 D　[選項(xiàng)A中，設(shè)e1＋e2＝λe1，則無解； 選項(xiàng)B中，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則無解；

6、 選項(xiàng)C中，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則無解； 選項(xiàng)D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量．故選D．] 2．在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A.　　　　B． C.　　　　D．1 A　[因?yàn)镸為邊BC上任意一點(diǎn)， 所以可設(shè)＝x＋y(x＋y＝1)． 因?yàn)镹為AM的中點(diǎn)， 所以＝＝x＋y＝λ＋μ. 所以λ＋μ＝(x＋y)＝.故選A.] 3．如圖，以向量＝a，＝b為鄰邊作?OADB，＝，＝，用a，b表示，，. [解]　∵＝－＝a－b， ＝＝a－b， ∴＝＋＝a＋b． ∵＝a＋b， ∴＝＋＝

7、＋ ＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b． 綜上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b． [規(guī)律方法]　平面向量基本定理應(yīng)用的實(shí)質(zhì)和一般思路 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算． (2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決． 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【例1】　(1)向量a，b滿足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，則b為(　　) A．(－3,4) B．(3,4) C．(3，－4) D．(－3，－4) (2)向量a，b

8、，c在正方形網(wǎng)格中，如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 (1)A　(2)D　[(1)∵a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)， ∴a＝(2,1)，b＝(－3,4)，故選A. (2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)． ∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)． ∴解得λ＝－2，μ＝－. ∴＝4.] [規(guī)律方法]　(1)巧借方程思想求坐標(biāo)：若已知向量兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中注意方程思想的應(yīng)用． (2)向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性

9、運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算問題． (1)已知A(1,4)，B(－3,2)，向量＝(2,4)，D為AC的中點(diǎn)，則＝(　　) A．(1,3)　　　　　　 B．(3,3) C．(－3，－3) D．(－1，－3) (2)若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，則c可用向量a，b表示為(　　) A．c＝a＋b B．c＝－a－b C．c＝a＋b D．c＝a－b (1)B　(2)A　[(1)∵D為AC的中點(diǎn)，∴＝(＋)，又＝(4,2)，＝(2,4)， ∴＝(6,6)＝(3,3)，故選B． (2)設(shè)c＝xa＋

10、yb，易知 ∴ ∴c＝a＋B．故選A.] 向量共線的坐標(biāo)表示 【例2】　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值． [解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b與a＋2b共線， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， ∴k＝－. (2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，

11、C三點(diǎn)共線，∴∥， ∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝. [規(guī)律方法]　與向量共線有關(guān)的題型與解法 (1)證三點(diǎn)共線：可先證明相關(guān)的兩向量共線，再說明兩向量有公共點(diǎn)； (2)已知向量共線，求參數(shù)：可利用向量共線的充要條件列方程(組)求解． (1)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b與3a－b平行，則實(shí)數(shù)x的值是________． (2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值是________． (1)2　(2)－　[(1)由題意得a＋b＝(3,1＋x)，3a－b＝(1,3－x)，則由a＋b與3a－b平行得3×(3－

12、x)－1×(1＋x)＝0，解得x＝2. (2)＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(－2k，－2)． ∵A，B，C三點(diǎn)共線， ∴，共線， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)， 解得k＝－.] 1．(2015·全國卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) A　[＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故選A.] 2．(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________. 　[2a＋b＝(4,2)，因?yàn)閏＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.] 3．(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________. －6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.] - 7 -