《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第5節(jié) 空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用教學(xué)案 理（含解析）北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第5節(jié) 空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用教學(xué)案 理（含解析）北師大版（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五節(jié)　空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用 [考綱傳真]　1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理． 1．空間向量的有關(guān)概念 名稱 定義 空間向量 在空間中，具有大小和方向的量 方向向量 A、B是空間直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量 法向量 如果直線l垂直于平

2、面α，那么把直線l的方向向量n叫作平面α的法向量 共線向量 (或平行向量) 表示空間向量的有向線段所在的直線 互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一個(gè)平面的向量 2.空間向量的有關(guān)定理 (1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λB． (2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋y B． (3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c

3、}叫做空間的一個(gè)基底． 3．兩個(gè)向量的數(shù)量積 (1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律： ①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交換律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐標(biāo)表示 數(shù)量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共線 a＝λb (b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b

4、3＝0 模 |a| 夾角 〈a，b〉 (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 5.空間位置關(guān)系的向量表示 位置關(guān)系 向量表示 直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2 l1∥l2 n1∥n2?n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2＝0 直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m l∥α n⊥m?n·m＝0 l⊥α n∥m?n＝λm 平面α，β的法向量分別為n，m α∥β n∥m?n＝λm α⊥β n⊥m?n·m＝0 1．對(duì)空間任一點(diǎn)O，若＝x＋y(x＋y＝1)，則P，A，B三點(diǎn)共線． 2．對(duì)空間任一點(diǎn)O，若＝x＋y＋z(x

5、＋y＋z＝1)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面． 3．平面的法向量的確定：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為 [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)空間中任意兩非零向量a，b共面． (　　) (2)若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有＋＋＋＝0. (　　) (3)設(shè){a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量． (　　) (4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)設(shè)u＝(－2,2，

6、t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量．若α⊥β，則t＝(　　) A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 C　[∵α⊥β，則u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0， ∴t＝5.] 3．(教材改編)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a(chǎn)＋b＋c C．－a－b＋c D．a(chǎn)－b＋c A　[＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.] 4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是(　　) A

7、．(－1,1,1) B．(1，－1,1) C. D． C　[設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量， 則化簡(jiǎn)得 ∴x＝y(tǒng)＝z.故選C.] 5．(教材改編)已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，則|b|＝________. 2　[∵a⊥b，∴a·b＝0，即－8＋6＋x＝0，∴x＝2. ∴b＝(－4,2,2)，∴|b|＝＝2.] 空間向量的線性運(yùn)算 1.如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝________. 　[連接ON，設(shè)＝a，＝b，＝

8、c， 則＝－＝(＋)－＝b＋c－a， ＝＋＝＋ ＝a＋＝a＋b＋c. 又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝， 因此x＋y＋z＝＋＋＝.] 2.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)， 設(shè)用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3)＋. [解]　(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)， 所以＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋c＋B． (2)因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)， 所以＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)， 所以＝＋＝＋ ＝－a＋ ＝a＋b＋c， 又

9、＝＋＝＋ ＝＋＝c＋a， 所以＋＝＋ ＝a＋b＋c. [規(guī)律方法]　用基向量表示指定向量的方法 (1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形． (2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中． (3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來． 共線(共面)向量定理的應(yīng)用 【例1】　已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)． (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2)求證：BD∥平面EFGH. [證明]　(1)連接BG，EG，則＝＋ ＝＋ ＝＋＋ ＝＋. 所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2)因?yàn)椋剑剑?/p>

10、(－)＝. 所以EH∥BD． 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. [規(guī)律方法]　(1)證明點(diǎn)共線問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線問題，如證A，B，C三點(diǎn)共線，即證，共線， 只需證＝λ(λ≠0)即可． (2)證明點(diǎn)共面問題，可轉(zhuǎn)化為證向量共面問題． 如證P，A，B，C四點(diǎn)共面，只需證＝x＋y或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)即可． (1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是(　　) A．2，　　　　　　　 B．－， C．－3,2 D．2,2 (2)已知a＝(2，－

11、1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于________． (1)A　(2)　[(1)∵a∥b，∴設(shè)b＝xa， ∴ 解得或故選A. (2)∵a與b不共線，故存在實(shí)數(shù)x，y使得c＝xa＋yb， ∴解得 故填.] 空間向量的數(shù)量積 【例2】　如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60° . (1)求AC1的長(zhǎng)； (2)求BD1與AC夾角的余弦值． [解]　(1)設(shè)＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·

12、b＝b·c＝c·a＝. ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6， ∴||＝，即AC1的長(zhǎng)為. (2)＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1. ∴cos〈，〉＝＝. ∴AC與BD1夾角的余弦值為. [規(guī)律方法]　(1)利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系，也可以利用垂直關(guān)系，通過向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置． (2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角． (3)可以通過|a|＝，將向量的長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解． 如圖

13、，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點(diǎn)． (1)求的模； (2)求cos〈，〉的值； (3)求證：A1B⊥C1M. [解]　(1)如圖，以點(diǎn)C作為坐標(biāo)原點(diǎn)O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 由題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， 所以|| ＝ ＝. (2)由題意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， 所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， ·＝3，||＝，||＝， 所以cos〈，〉＝＝

14、. (3)證明：由題意得C1(0,0,2)， M， ＝(－1,1，－2)， ＝， 所以·＝－＋＋0＝0， 所以⊥，即A1B⊥C1M. 利用向量證明平行與垂直問題 【例3】　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角，求證： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD． [解]　(1)證明：由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐

15、標(biāo)系C-xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°. ∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4， ∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M， ∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)， ＝. (1)設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量， 由即 令y＝2，得n＝(－，2,1)． ∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0， ∴n⊥.又CM平面PAD， ∴CM∥平面PAD． (2)法一：由(1)知＝(0,4,0)，＝(2，0，－2)， 設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m＝(x0，y0，z0)， 由即

16、 令x0＝1，得m＝(1,0，)． 又∵平面PAD的一個(gè)法向量n＝(－，2,1)， ∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0， ∴平面PAB⊥平面PAD． 法二：取AP的中點(diǎn)E，連接BE， 則E(，2,1)，＝(－，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0， ∴⊥.∴BE⊥DA. 又PA∩DA＝A， ∴BE⊥平面PAD． 又∵BE平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD． [規(guī)律方法]　1.利用向量法證明平行問題的類型及方法 (1)證明線線平行：兩條直線的方向向量平行． (2)證明線面平行： ①該直線的方向向量與平面的

17、某一法向量垂直； ②證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行； ③證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示． (3)證明面面平行：兩個(gè)平面的法向量平行． 2．利用向量法證明垂直問題的類型及方法 (1)證明線線垂直：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0. (2)證明線面垂直：直線的方向向量與平面的法向量平行． (3)證明面面垂直： ①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直；②兩個(gè)平面的法向量垂直． 如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點(diǎn)． (1)求證：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在

18、一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由． [解]　以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝a. (1)證明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)， 故＝(0,1,1)，＝. 因?yàn)椤? ＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0， 因此⊥， 所以B1E⊥AD1. (2)存在滿足要求的點(diǎn)P， 假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)， 使得DP∥平面B1AE，此時(shí)＝(0，－1，z0)， 再設(shè)平面B1AE的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)． ＝(a,0,1)，＝. 因?yàn)閚⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥， 得 取x＝1，則y＝－，z＝－a， 則平面B1AE的一個(gè)法向量n＝. 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝. 所以存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE， 此時(shí)AP＝. - 11 -