《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第三講 正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第三講 正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案 理（27頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三講　正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 考點(diǎn)一　正態(tài)分布 1．正態(tài)曲線的性質(zhì) (1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，且在x＝μ處達(dá)到峰值． (2)曲線與x軸之間的面積為1. (3)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散． 2．正態(tài)分布X～N(μ，σ2)的三個(gè)常用數(shù)據(jù) (1)P(μ－σ

2、取的一個(gè)零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.0026，故X～B(16,0.0026)． 因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408. X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝16×0.0026＝0.0416. (2)(ⅰ)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小．因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的

3、生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的． (ⅱ)由＝9.97，s≈0.212，得μ的估計(jì)值為＝9.97，σ的估計(jì)值為＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ×(16×9.97－9.22)＝10.02， 因此μ的估計(jì)值為10.02. ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134， 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為 ×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估計(jì)值為≈0.09

4、. 正態(tài)分布應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn) (1)利用P(μ－σ

5、≥μ2)P(X≤σ1)，故B錯(cuò)； 當(dāng)t為任意正數(shù)時(shí)，由題圖可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)， ∴P(X≥t)≤P(Y≥t)， 故C正確，D錯(cuò)． [答案]　C 2．某校組織了“2017年第15屆希望杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽(第一試)”，已知此次選拔賽的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(72,121)(單位：分)，此次考生共有500人，估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?2分到83分之間的人數(shù)約為(參數(shù)數(shù)據(jù)：P(μ－σ

6、．170 C．340 D．477 [解析]　因?yàn)閄～N(72,121)，所以μ＝72，σ＝11，又P(μ－σ

7、，縱坐標(biāo)表示，頻率＝組距×. (2)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1. 3．方差公式 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2018·安徽皖南八校聯(lián)考)某校為了解1000名高一新生的健康狀況，用系統(tǒng)抽樣法(按等距的規(guī)則)抽取40名同學(xué)進(jìn)行檢查，將學(xué)生從1～1000進(jìn)行編號(hào)，現(xiàn)已知第18組抽取的號(hào)碼為443，則第一組用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取的號(hào)碼為(　　) A．16 B．17 C．18 D．19 [解析]　第一組用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取的號(hào)碼為443－(18－1)×＝18.故選C. [答案]　C 2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的

8、新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是(　　) A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半 [解析]　設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a，由題圖可知： 種植 收入 第三產(chǎn)業(yè) 收入 養(yǎng)殖 收入 其他 收入 建設(shè)前 經(jīng)濟(jì)收入 0.6a 0.06a 0.3a 0.04a

9、 建設(shè)后 經(jīng)濟(jì)收入 0.74a 0.56a 0.6a 0.1a 根據(jù)上表可知B、C、D結(jié)論均正確，結(jié)論A不正確，故選A. [答案]　A 3．(2018·山東臨沂一模)傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，在剛剛過去的新春假期中，央視科教頻道以詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽為主的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火爆熒屏，如圖的莖葉圖是兩位選手在個(gè)人追逐賽中的比賽得分，則下列說法正確的是(　　) A．甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù) B．甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù) C．甲的方差大于乙的方差 D．甲的平均數(shù)等于乙的中位數(shù) [解析]　由莖葉圖，知：甲＝(59＋45＋32＋38＋24＋26＋11＋12＋14)＝29， 乙＝(51＋

10、43＋30＋34＋20＋25＋27＋28＋12)＝30， s＝[302＋162＋32＋92＋(－5)2＋(－3)2＋(－18)2＋(－17)2＋(－15)2]≈235.3， s＝[212＋132＋02＋42＋(－10)2＋(－5)2＋(－3)2＋(－2)2＋(－18)2]≈120.9， 甲的中位數(shù)為：26，乙的中位數(shù)為：28， ∴甲的方差大于乙的方差．故選C. [答案]　C 4．(2018·正定中學(xué)抽測(cè))從某中學(xué)高一年級(jí)中隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的成績(jī)(單位：分)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，則這100名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為________，中位數(shù)為________．

11、[解析]　由圖可知，平均數(shù)＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125. 中位數(shù)在120～130之間，設(shè)為x，則0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x－120)＝0.5，解得x＝124. [答案]　125　124 [快速審題]　(1)看到系統(tǒng)抽樣，想到分段間隔． (2)看到分層抽樣，想到抽樣比． (3)看到頻率分布直方圖，想到頻數(shù)與頻率的區(qū)別以及計(jì)算方法和頻率分布直方圖中橫軸與豎軸中的數(shù)據(jù)的意義． (4)看到方差，想到方差的含義及方差的計(jì)算公式． 統(tǒng)計(jì)問題應(yīng)關(guān)注的3點(diǎn) (1)分層抽樣的關(guān)鍵是確定抽樣比例，系統(tǒng)抽樣

12、主要是確定分段間隔，應(yīng)用等差數(shù)列計(jì)算個(gè)體號(hào)碼數(shù)． (2)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)為最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，中位數(shù)為垂直橫軸且平分直方圖面積的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，平均數(shù)為每個(gè)小矩形的面積乘以相應(yīng)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積的和． (3)計(jì)算方差首先要計(jì)算平均數(shù)，然后再按照方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．方差是描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)，方差大說明波動(dòng)大． 考點(diǎn)三　統(tǒng)計(jì)案例 1．線性回歸方程 方程＝x＋稱為線性回歸方程，其中＝，＝－；(，)稱為樣本中心點(diǎn)． 2．獨(dú)立性檢驗(yàn) K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)．角度1：線性回歸分析 【例1】　(2018·全國(guó)卷Ⅱ)

13、下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖． [解]　(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為＝99＋17.5×9＝256.5(億元)． (2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． 理由如下 ： (ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相

14、對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． (ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． (答出其中任意一種或其他合理理由均可)角度2：獨(dú)立性檢驗(yàn) 【例2】　(20

15、18·全國(guó)卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖： [解題指導(dǎo)]　→→ → [解]　(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： (ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．

16、(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的

17、區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可)． (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)由于K2＝＝10>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． (1)求回歸直線方程的關(guān)鍵 ①正確理解計(jì)算，的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，其中線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)(，)． ②在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定

18、兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值． (2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵 根據(jù)2×2列聯(lián)表準(zhǔn)確計(jì)算K2，若2×2列聯(lián)表沒有列出來(lái)，要先列出此表．K2的觀測(cè)值k越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．[角度1]某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長(zhǎng)，該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表： 年份x 2011 2012 2013 2014 2015 儲(chǔ)蓄存款y/千億元 5 6 7 8 10 為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，令t＝x－2010，z＝y(tǒng)－

19、5得到下表： 時(shí)間代號(hào)t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)求z關(guān)于t的線性回歸方程； (2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程； (3)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2020年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少？ (附：對(duì)于線性回歸方程＝x＋，其中＝，＝－) [解]　(1)令z關(guān)于t的線性回歸方程為＝t＋， ∵＝3，＝2.2，izi＝45，＝55， ＝＝1.2，＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4， ∴＝1.2t－1.4. (2)將t＝x－2010，z＝y(tǒng)－5，代入＝1.2t－1.4， 得－5＝1.2(x－2010)－1.4，即＝1.2x－2

20、408.4. (3)∵＝1.2×2020－2408.4＝15.6(千億元)， ∴預(yù)測(cè)到2020年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)15.6千億元． 2．[角度2]某市調(diào)研考試后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計(jì) 甲班 10 乙班 30 合計(jì) 110 (1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表； (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)是否優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)系

21、”． 參考公式與臨界值表：K2＝. P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 [解]　(1) 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計(jì) 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合計(jì) 30 80 110 (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到 K2＝≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)是否優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)系”. 1．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1

22、月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖： 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn) [解析]　折線圖呈現(xiàn)出的是一個(gè)逐漸上升的趨勢(shì)，但是并不是每個(gè)月都在增加，故A說法錯(cuò)誤；折線圖中按照年份進(jìn)行劃分，可以看出每年的游客量都在逐年增加，故B說法正確；折線圖中每年的高峰出現(xiàn)在每年的7,8月，故C說法正確；每年的1月至6月相對(duì)于7月至12月的波動(dòng)性更小，變化的幅度較小，說明變化比較

23、平穩(wěn)，故D說法正確． [答案]　A 2．(2017·山東卷)為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為＝x＋，已知i＝225，i＝1600，＝4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為(　　) A．160 B．163 C．166 D．170 [解析]　由題意可得＝22.5，＝160，∴＝160－4×22.5＝70，即＝4x＋70.當(dāng)x＝24時(shí)，＝4×24＋70＝166，故選C. [答案]　C 3．(2018·江蘇卷)已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖

24、葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為________． [解析]　5位裁判打出的分?jǐn)?shù)分別為89,89,90,91,91，則這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為×(89＋89＋90＋91＋91)＝90. [答案]　90 4．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計(jì)A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有9

25、9%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)． 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2＝. [解]　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”． 由題意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034

26、＋0.040)×5＝0.62， 故P(B)的估計(jì)值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P(C)的估計(jì)值為0.66. 因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62×0.66＝0.4092. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． (3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面

27、積為(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為50＋≈52.35(kg)． 1.統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例在選擇或填空題中的命題熱點(diǎn)主要集中在隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體以及變量間的相關(guān)性判斷等，難度較低，常出現(xiàn)在3～4題的位置． 2．統(tǒng)計(jì)的解答題多在第18或19題的位置，多以交匯性的形式考查，交匯點(diǎn)主要有兩種：頻率分布直方圖、莖葉圖擇一與隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差、正態(tài)分布相交匯考查；頻率分布直方圖、莖葉圖擇一與線性回歸或獨(dú)立性檢驗(yàn)相

28、交匯來(lái)考查，難度中等． 熱點(diǎn)課題19　概率與統(tǒng)計(jì)的交匯問題 [感悟體驗(yàn)] (2018·河北衡水中學(xué)調(diào)研)某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個(gè)月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量(單位：萬(wàn)盒)的數(shù)據(jù)如下表所示： x(月份) 1 2 3 4 5 y(萬(wàn)盒) 4 4 5 6 6 (1)該同學(xué)為了求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋，根據(jù)表中數(shù)據(jù)已經(jīng)正確計(jì)算出＝0.6，試求出的值，并估計(jì)該廠6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)； (2)若某藥店現(xiàn)有該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的甲膠囊4盒和三月份生產(chǎn)的甲膠囊5盒，小紅同學(xué)從中隨機(jī)購(gòu)買了3盒甲膠囊，后經(jīng)了解發(fā)現(xiàn)該制藥廠今年二

29、月份生產(chǎn)的所有甲膠囊均存在質(zhì)量問題．記小紅同學(xué)所購(gòu)買的3盒甲膠囊中存在質(zhì)量問題的盒數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [解]　(1)由題可得，＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(4＋4＋5＋6＋6)＝5.∵線性回歸方程＝x＋過點(diǎn)(，)，∴＝－＝5－0.6×3＝3.2.∴該廠6月份生產(chǎn)的甲膠囊的產(chǎn)量數(shù)為＝0.6×6＋3.2＝6.8(萬(wàn)盒)． (2)由題意知，X＝0,1,2,3， P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝， 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 則E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝. 專題跟蹤訓(xùn)練(三十)

30、 一、選擇題 1．(2018·長(zhǎng)春市第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知某班級(jí)部分同學(xué)一次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示，則其中位數(shù)和眾數(shù)分別為(　　) A.95,94 B．92,86 C．99,86 D．95,91 [解析]　由題中莖葉圖可知，此組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17個(gè)，故中位數(shù)為92，出現(xiàn)次數(shù)最多的為眾數(shù)，故眾數(shù)為86，故選B. [答案]　B 2．(2018·黔東南州第一次聯(lián)考)近年呼吁高校招生改革的呼聲越來(lái)越高，在贊成高校招生改革的市民中按年齡分組，得到樣本頻率分布直方圖

31、如圖所示，其中年齡在區(qū)間[30,40)內(nèi)的有2500人，在區(qū)間[20,30)內(nèi)的有1200人，則m的值為(　　) A．0.013 B．0.13 C．0.012 D．0.12 [解析]　由題意，得年齡在區(qū)間[30,40)內(nèi)的頻率為0.025×10＝0.25，則贊成高校招生改革的市民有＝10000(人)，因?yàn)槟挲g在區(qū)間[20,30)內(nèi)的有1200人，所以m＝＝0.012. [答案]　C 3．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是(　　) A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4 C.＝－2x＋9.5 D

32、.＝－0.3x＋4.4 [解析]　變量x與y正相關(guān)，且樣本中心點(diǎn)為(3,3.5)，應(yīng)用排除法可知選項(xiàng)A符合要求．故選A. [答案]　A 4．(2018·太原模擬)某小區(qū)有1000戶，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布N(300,102)，則用電量在320度以上的戶數(shù)約為(參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝99.74%)(　　) A．17 B．23 C．34 D．46 [解析]　P(ξ>320)＝×[1－P(280<ξ<320)] ＝×(1－95.4

33、4%)＝0.0228， 0．0228×1000＝22.8≈23， ∴用電量在320度以上的戶數(shù)約為23.故選B. [答案]　B 5．(2018·廣東省百校聯(lián)盟第二次聯(lián)考)下表是我國(guó)某城市在2017年1月份至10月份期間各月最低溫度與最高溫度(單位：℃)的數(shù)據(jù)一覽表. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高溫 度/℃ 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低溫 度/℃ －12 －3 1 －2 7 17 19 23 25 10 已知該城市的各月最低溫與最高溫具有相關(guān)關(guān)系，根據(jù)該一覽表，則

34、下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．最低溫度與最高溫度為正相關(guān) B．每月最高溫度與最低溫度的平均值在前8個(gè)月逐月增加 C．月溫差(最高溫度減最低溫度)的最大值出現(xiàn)在1月 D．1月至4月的月溫差(最高溫度減最低溫度)相對(duì)于7月至10月，波動(dòng)性更大 [解析]　將最高溫度、最低溫度、溫差列表如下， 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高溫 度/℃ 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低溫 度/℃ －12 －3 1 －2 7 17 19 23 25 10 溫差 度/℃ 17 12

35、 8 13 10 7 8 7 6 11 由表格可知，最低溫度大致隨最高溫度的增大而增大，A正確；每月最高溫度與最低溫度的平均值在前8個(gè)月不是逐月增加，B錯(cuò)；月溫差的最大值出現(xiàn)在1月，C正確；1月至4月的月溫差相對(duì)于7月至10月，波動(dòng)性更大，D正確．故選B. [答案]　B 6．(2018·贛州一模)以下四個(gè)命題中是真命題的為(　　) ①?gòu)膭蛩賯鬟f的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；③在回歸直線方程＝0.2x＋12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量y平均增

36、加0.2個(gè)單位；④對(duì)分類變量X與Y，它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來(lái)說，k越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大． A．①④ B．②④ C．①③ D．②③ [解析]　 ①為系統(tǒng)抽樣，故①不正確；②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故②正確；③由0.2(x＋1)＋12－0.2x－12＝0.2知③正確；④對(duì)分類變量X與Y，它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來(lái)說，k越大，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大，故④不正確．故選D. [答案]　D 二、填空題 7．(2018·懷化二模)某校高三(1)班共有48人，學(xué)號(hào)依次為1,2,3，…，48，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為6的樣本

37、，已知學(xué)號(hào)為3,11,19,35,43的同學(xué)在樣本中，則還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為________． [解析]　根據(jù)系統(tǒng)抽樣的規(guī)則——“等距離”抽取，則抽取的號(hào)碼差相等，易知相鄰兩個(gè)學(xué)號(hào)之間的差為11－3＝8，所以在19與35之間還有27. [答案]　27 8．(2018·安徽淮北模擬)某單位員工按年齡分為A，B，C三組，其人數(shù)之比為5∶4∶1，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，已知C組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該單位員工總數(shù)為________． [解析]　∵員工按年齡分為A，B，C三組，其人數(shù)之比為5∶4∶1，∴從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則抽取的C組人數(shù)為×2

38、0＝×20＝2，設(shè)C組員工總數(shù)為m，則甲、乙二人均被抽到的概率為＝＝，即m(m－1)＝90，解得m＝10.設(shè)員工總數(shù)為x，則由＝＝，可得x＝100. [答案]　100 9．某公司為確定明年投入某產(chǎn)品的廣告支出，對(duì)近5年的年廣告支出m與年銷售額t(單位：百萬(wàn)元)進(jìn)行了初步統(tǒng)計(jì)，得到下列表格中的數(shù)據(jù)： 年廣告支出m 2 4 5 6 8 年銷售額t 30 40 p 50 70 經(jīng)測(cè)算，年廣告支出m與年銷售額t滿足線性回歸方程＝6.5m＋17.5，則p＝________. [解析]　由于回歸直線過樣本點(diǎn)的中心，＝5，＝，代入＝6.5m＋17.5，解得p＝60. [答案

39、]　60 三、解答題 10．(2018·河南新鄉(xiāng)一模)為了了解甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達(dá)標(biāo)，從兩廠各隨機(jī)選取了10個(gè)輪胎，將每個(gè)輪胎的寬度(單位：mm)記錄下來(lái)并繪制出如下的折線圖： (1)分別計(jì)算甲、乙兩廠提供的10個(gè)輪胎寬度的平均值； (2)若輪胎的寬度在[194,196]內(nèi)，則稱這個(gè)輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎．試比較甲、乙兩廠分別提供的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動(dòng)情況，判斷這兩個(gè)工廠哪個(gè)的輪胎相對(duì)更好． [解]　(1)甲廠10個(gè)輪胎寬度的平均值： 甲＝×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋1

40、93＋197)＝195(mm)， 乙廠10個(gè)輪胎寬度的平均值：乙＝×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194(mm)． (2)甲廠10個(gè)輪胎中寬度在[194,196]內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,194,196,194,196,195， 平均數(shù)：1＝×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195， 方差；s＝×[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝， 乙廠10個(gè)輪胎中寬度在[194,196]內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,196,195,194,19

41、5,195， 平均數(shù)：2＝×(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195， 方差：s＝×[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝， ∵兩廠標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均數(shù)相等，但乙廠的方差更小， ∴乙廠的輪胎相對(duì)更好． 11．(2018·河北石家莊二模)隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)上購(gòu)物越來(lái)越受到人們的喜愛，各大購(gòu)物網(wǎng)站為增加收入，促銷策略越來(lái)越多樣化，促銷費(fèi)用也不斷增加，下表是某購(gòu)物網(wǎng)站2017年1～8月促銷費(fèi)用x(萬(wàn)元)和產(chǎn)品銷量y(萬(wàn)件)的具體數(shù)據(jù)： 月份 1 2 3 4 5

42、6 7 8 促銷費(fèi)用x 2 3 6 10 13 21 15 18 產(chǎn)品銷量y 1 1 2 3 3.5 5 4 4.5 (1)根據(jù)數(shù)據(jù)可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于x的回歸方程＝x＋(系數(shù)精確到0.01)； (2)已知6月份該購(gòu)物網(wǎng)站為慶祝成立1周年，特制訂獎(jiǎng)勵(lì)制度：用z(單位：件)表示日銷量，若z∈[1800,2000)，則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)100元；若z∈[2000,2100)，則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)150元；若z∈[2100，＋∞)，則每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元．現(xiàn)已知該網(wǎng)站6月份日銷量z服從正態(tài)分布N(2000,10000)，請(qǐng)你計(jì)算某位員工

43、當(dāng)月獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約為多少元．(當(dāng)月獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)精確到百分位) 參考數(shù)據(jù)：xiyi＝338.5，x＝1308，其中xi，yi分別為第i個(gè)月的促銷費(fèi)用和產(chǎn)品銷量，i＝1,2,3，…，8. 參考公式：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－. ②若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ

44、＝＝≈0.22， ＝－＝3－0.22×11＝0.58， ∴y關(guān)于x的回歸方程為＝0.22x＋0.58. (2)∵該網(wǎng)站6月份日銷量z服從正態(tài)分布N(2000,10000)， ∴P(1800≤z<2000)＝＝0.47725， P(2000≤z<2100)＝＝0.34135， P(z≥2100)＝0.5－0.34135＝0.15865， ∴每位員工當(dāng)月的獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)為0.47725×100＋0.34135×150＋0.15865×200≈130.66(元)． 12．(2018·西安模擬)每年的4月23日為世界讀書日，為調(diào)查某高校學(xué)生(學(xué)生很多)的讀書情況，隨機(jī)抽取了男生、女生各2

45、0人組成的一個(gè)樣本，對(duì)他們的年閱讀量(單位：本)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，分析得到了男生年閱讀量的頻數(shù)分布表和女生年閱讀量的頻率分布直方圖． 男生年閱讀量的頻數(shù)分布表(年閱讀量均在區(qū)間[0,60)內(nèi)) 本/年 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) 頻數(shù) 3 1 8 4 2 2 女生年閱讀量的頻率分布直方圖(年閱讀量均在區(qū)間[0,60)內(nèi)) (1)根據(jù)女生年閱讀量的頻率分布直方圖估計(jì)該校女生年閱讀量的中位數(shù)． (2)若年閱讀量不小于40本為閱讀豐富，否則為閱讀不豐富，依據(jù)上述樣本研究年閱讀量與性別的關(guān)系，完成下列2

46、×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為閱讀豐富與性別有關(guān). 閱讀量 性別 豐富 不豐富 合計(jì) 男 女 合計(jì) (3)在樣本中，從年閱讀量在[50,60)的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人參加全市的征文比賽，記這2人中男生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望． 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005 k0 5.024 6.635 7.879 [解]　(1)∵前兩組頻率之和為0.1＋0.2＝0.3，前三組頻率之和為0.1＋0.2＋0.25＝0.55， ∴中位數(shù)位于第三組．設(shè)中位數(shù)為a，由題可知，＝＝，解得a＝38.∴該校女生年閱讀量的中位數(shù)約為38. (2) 閱讀量 性別 豐富 不豐富 合計(jì) 男 4 16 20 女 9 11 20 合計(jì) 13 27 40 K2＝≈2.849<6.635， ∴沒有99%的把握認(rèn)為閱讀豐富與性別有關(guān)． (3)年閱讀量在[50,60)的學(xué)生中，男生2人，女生4人． 由題意得，ξ的可能取值為0,1,2， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 27