3、稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值．
知識(shí)點(diǎn)三 均值不等式
如果a，b都是正數(shù)，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．我們把這個(gè)不等式稱為均值不等式．
均值不等式也稱為基本不等式，其實(shí)質(zhì)是：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．
知識(shí)點(diǎn)四 均值不等式與最大(小)值
當(dāng)x，y均為正數(shù)時(shí)，下面的命題均成立：
(1)若x＋y＝s(s為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy取得最大值(簡記：和定積有最大值)．
(2)若xy＝p(p為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y取得最小值2(簡記：積定和有最小值)．
【新知拓展】
1．由均值不等式變形得到的常見的結(jié)論
(1)ab≤
4、2≤(a，b∈R)；
(2)≤≤ (a，b均為正實(shí)數(shù))；
(3)＋≥2(a，b同號(hào))；
(4)(a＋b)≥4(a，b同號(hào))；
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
2．利用均值不等式證明不等式時(shí)應(yīng)注意的問題
(1)注意均值不等式成立的條件；
(2)多次使用均值不等式，要注意等號(hào)能否成立；
(3)對(duì)不能直接使用均值不等式證明的可重新組合，形成均值不等式模型，再使用．
3．利用均值不等式的解題技巧與易錯(cuò)點(diǎn)
(1)利用均值不等式求最值常用構(gòu)造定值的技巧
①加項(xiàng)變換；
②拆項(xiàng)變換；
③統(tǒng)一換元；
④平方后再用均值不等式．
(2)易錯(cuò)點(diǎn)
①易忘“正
5、”，忽略了各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)；
②易忘“定”，用均值不等式時(shí)，和或積為定值；
③易忘“等”，用均值不等式要驗(yàn)證等號(hào)是否可以取到；
④易忘“同”，多次使用均值不等式時(shí)，等號(hào)成立的條件應(yīng)相同．
1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)≥對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都成立．( )
(2)若a>0，b>0，且a≠b，則a＋b>2.( )
(3)當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)y＝x＋≥2，所以函數(shù)y的最小值是2.( )
(4)式子x＋的最小值為2.( )
(5)若x∈R，則x2＋2＋的最小值為2.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2．做一做(請(qǐng)把正確的答
6、案寫在橫線上)
(1)不等式m2＋1≥2m等號(hào)成立的條件是________．
(2)＋≥2成立的條件是________．
(3)x＞1，則x＋的最小值為________．
(4)若a>0，b>0，且a＋b＝2，則＋的最小值為________．
答案 (1)m＝1 (2)a與b同號(hào) (3)3 (4)2
題型一 對(duì)均值不等式的理解
例1 給出下面三個(gè)推導(dǎo)過程：
①因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；
②因?yàn)閍∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；
③因?yàn)閤，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2.
其中正確的推導(dǎo)過程為( )
A．①② B．②③
7、
C．② D．①③
[解析] 從均值不等式成立的條件考慮．
①因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合均值不等式成立的條件，故正確；
②因?yàn)閍∈R，a≠0不符合均值不等式成立的條件，所以＋a≥2＝4是錯(cuò)誤的；
③由xy<0得，均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過程中將＋看成一個(gè)整體提出負(fù)號(hào)后，，均變?yōu)檎龜?shù)，符合均值不等式成立的條件，故正確．
[答案] D
金版點(diǎn)睛
均值不等式≥(a≥0，b≥0)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)不等式成立的條件：a，b都是非負(fù)實(shí)數(shù)．
(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：
①當(dāng)a＝b時(shí)，≥的等號(hào)成立，
即a＝b?＝；
②僅當(dāng)a＝b時(shí)，≥的等號(hào)成立，
即＝?
8、a＝b.
下列命題中正確的是( )
A．當(dāng)a，b∈R時(shí)，＋≥2 ＝2
B．當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，(a＋b)≥4
C．當(dāng)a＞4時(shí)，a＋的最小值是6
D．當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，≥
答案 B
解析 A中，可能＜0，所以不正確；B中，因?yàn)閍＋b≥2＞0，＋≥2＞0，相乘得(a＋b)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以正確；C中，a＋≥2 ＝6中的等號(hào)不成立，所以不正確；D中，由均值不等式知，≤(a＞0，b＞0)，所以不正確．
題型二 利用均值不等式比較大小
例2 已知a＞1，則，，三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是( )
A.＜＜ B.＜＜
C.＜＜ D.＜≤
[解析] 當(dāng)a，
9、b是正數(shù)時(shí)，
≤≤≤ (a，b∈R＋)，
令b＝1，得≤≤.
又a＞1，即a≠b，故上式不能取等號(hào)，選C.
[答案] C
[題型探究] 對(duì)一切正數(shù)m，不等式n＜＋2m恒成立，求常數(shù)n的取值范圍．
解 當(dāng)m∈(0，＋∞)時(shí)，由均值不等式，得＋2m≥2＝4，且當(dāng)m＝時(shí)，等號(hào)成立，故n的取值范圍為n＜4.
金版點(diǎn)睛
利用均值不等式比較大小
在利用均值不等式比較大小時(shí)，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的使用條件，合理地拆項(xiàng)、配湊或變形．在拆項(xiàng)、配湊或變形的過程中，首先要考慮均值不等式使用的條件，其次要明確均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能．
10、
已知：a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，試比較＋，，4的大?。?
解 ∵a＞0，b＞0，a＋b≥2，∴ab≤.
∴＋＝＝≥4，
＝＝－ab≥－＝，
即≤4.
∴＋≥4≥.
題型三 利用均值不等式求代數(shù)式的最值
例3 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值；
(2)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；
(3)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值．
[解] (1)∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，＋＝1，
即x＝4，y＝12時(shí)，上式取等號(hào)．
故當(dāng)x＝4，y＝
11、12時(shí)，(x＋y)min＝16.
(2)∵2x＋y＋6＝xy，
∴y＝，x＞1，xy＝＝＝＝2＝2≥2×＝18.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)，等號(hào)成立，∴xy的最小值為18.
(3)因?yàn)?＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－2，所以(x＋y)2≤，
即x＋y≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＞0，且x2＋y2＋xy＝1，
即x＝y(tǒng)＝時(shí)，等號(hào)成立，∴x＋y的最大值為.
[結(jié)論探究] 若本例(1)中的條件不變，如何求xy的最小值？
解?。健荩剑?，
又因?yàn)椋?，所以≤1，≥6，xy≥36，
當(dāng)且僅當(dāng)y＝9x，即x＝2，y＝18時(shí)，等號(hào)成立．
所以(xy)min＝36.
金版點(diǎn)睛
12、
利用均值不等式求代數(shù)式的最值
(1)利用均值不等式求代數(shù)式的最值，要通過恒等變形以及配湊，使“和”或“積”為定值，從而求得代數(shù)式的最大值或最小值．
(2)若是求和式的最小值，通?；?或利用)積為定值；若是求積的最大值，通?；?或利用)和為定值，解答技巧都是恰當(dāng)變形，合理拆分項(xiàng)或配湊因式．
(1)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，求＋的最小值；
(2)已知x>0，y>0，且滿足＋＝1，求xy的最大值．
解 (1)∵x，y為正數(shù)，且x＋2y＝1，
∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即當(dāng)x＝－1，y＝1－時(shí)等號(hào)成立．
∴＋的最小值為3＋2.
(2)∵＋＝1，∴
13、1＝＋≥2＝.
∴≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即x＝，y＝2時(shí)等號(hào)成立．
∴xy≤3，即xy的最大值為3.
題型四 利用均值不等式求函數(shù)的最值
例4 (1)求y＝＋x(x>3)的最小值；
(2)已知03，∴x－3>0，>0，
∴y≥2＋3＝5.
當(dāng)且僅當(dāng)＝x－3，即x＝4時(shí)，y取得最小值5.
(2)∵00，
y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x)
≤2＝.
當(dāng)且僅當(dāng)3x＝1－3x，即x＝時(shí)，取等號(hào)，
∴當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取
14、得最大值.
(3)∵x>－1，∴x＋1＞0，
y＝＝
＝x＋1＋＋1≥2＋1，
當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，
即x＝－1時(shí)，函數(shù)y取得最小值2＋1.
[條件探究] 在本例(1)中把“x>3”改為“x<3”，y＝＋x的最值又如何？
解 ∵x<3，∴x－3<0，
∴y＝＋x＝－－(3－x)＋3
＝－＋3≤－2＋3
＝－2＋3＝1.
當(dāng)且僅當(dāng)＝3－x，即x＝2時(shí)，取等號(hào)．
故函數(shù)y＝＋x(x<3)有最大值1，沒有最小值．
金版點(diǎn)睛
利用均值不等式求函數(shù)的最值
(1)利用均值不等式求函數(shù)最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法
15、創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件．
(2)等號(hào)取不到時(shí)，注意利用求函數(shù)最值的其他方法．
(1)已知x<，則y＝4x－2＋的最大值為________；
(2)若x>1，則y＝的最小值為________．
答案 (1)1 (2)4
解析 (1)∵x<，∴5－4x>0.
∴y＝4x－2＋＝－＋3
≤－2＋3＝－2＋3＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，
即x＝1時(shí)，上式等號(hào)成立．
故當(dāng)x＝1時(shí)，y的最大值為1.
(2)∵x>1，∴y＝＝＝x＋1＋
＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)＝x－1，即(x－1)2＝1時(shí)，等號(hào)成立，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，y的最小值為4.
題型五 利
16、用均值不等式證明不等式
例5 已知a，b，c是不全相等的三個(gè)正數(shù)，
求證：＋＋＞3.
[證明]?。?
＝＋＋＋＋＋－3
＝＋＋－3.
∵a，b，c都是正數(shù)，
∴＋≥2 ＝2，
同理＋≥2，＋≥2，
∵a，b，c不全相等，上述三式不能同時(shí)取等號(hào)，
∴＋＋＞6，
∴＋＋＞3.
金版點(diǎn)睛
利用均值不等式證明不等式
(1)利用均值不等式證明不等式時(shí)，可依據(jù)求證式兩端的式子結(jié)構(gòu)，合理選擇均值不等式及其變形不等式來證，如a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可變形為ab≤；≥(a>0，b>0)可變形為ab≤2等．同時(shí)要從整體上把握均值不等式，如a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋b2
17、c2≥2(ab)(bc)，都是對(duì)“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的靈活應(yīng)用．
(2)在證明條件不等式時(shí)，要注意“1”的代換，另外要特別注意等號(hào)成立的條件．
已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.
求證：＋＋≥10.
證明?。?
＝＋＋
＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào)，
∴＋＋≥10.
1．a(chǎn)＞b＞0，則下列不等式中總成立的是( )
A.＜＜ B.≥≥
C.＞＞ D.<＜
答案 C
解析?。迹剑?
2．已知x＞0，y＞0，x≠y，則下列四個(gè)式子中值最小的是( )
A. B.
C. D
18、.
答案 C
解析 解法一：∵x＋y＞2，
∴＜，排除D；
∵＝＝＞＝，
∴排除B；
∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＜2(x2＋y2)，
∴＞，排除A，故選C.
解法二：取x＝1，y＝2.
則＝；＝；
＝；＝＝.
其中最小，故選C.
3．若a＞0，則代數(shù)式a＋( )
A．有最小值10
B．有最大值10
C．有最大值沒有最小值
D．既沒有最大值也沒有最小值
答案 A
解析 利用均值不等式得a＋≥2＝10，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝5時(shí)，取得最小值10.
4．已知x，y均為正數(shù)，且x＋4y＝1，則xy的最大值為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵x＞0，y＞0.
∴4xy≤2＝2＝.∴xy≤.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y，即x＝，y＝時(shí)取等號(hào)．
5．已知a>b，ab＝1，求證：a2＋b2≥2(a－b)．
證明 ∵a>b，∴a－b>0，又ab＝1，
∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝，即a－b＝時(shí)取等號(hào)．
13
2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 等式與不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)
