《2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第5節(jié) n次獨立重復(fù)試驗與二項分布教學案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第5節(jié) n次獨立重復(fù)試驗與二項分布教學案 理（含解析）新人教A版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五節(jié)　n次獨立重復(fù)試驗與二項分布 [考綱傳真]　1.了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念.2.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單問題． 1．條件概率 條件概率的定義 條件概率的性質(zhì) 設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 2.事件的相互獨立性 (1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立． (2)性質(zhì)：①若事件A與B相互獨立

2、，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)． ②如果事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也相互獨立． 3．獨立重復(fù)試驗與二項分布 (1)獨立重復(fù)試驗 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次試驗結(jié)果，則 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． (2)二項分布 在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率． [基礎(chǔ)自測]

3、 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)相互獨立事件就是互斥事件．(　　) (2)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．(　　) (3)公式P(AB)＝P(A)P(B)對任意兩個事件都成立．(　　) (4)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．設(shè)隨機變量X～B，則P(X＝3)等于(　　) A.　　B.　　C.　　D. A　[∵X～B，∴

4、P(X＝3)＝C6＝.故選A.] 3．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，則P(A)等于(　　) A. B. C. D. C　[由P(AB)＝P(A)P(B|A)，得＝P(A)， ∴P(A)＝.] 4．某人射擊，一次擊中目標的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標的概率為________． 　[P＝C0.620.4＋C0.63＝.] 5．天氣預(yù)報，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為________． 0．38　[設(shè)甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地

5、降雨為A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.] 條件概率 1．從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝(　　) A.　　B.　　C.　　D. B　[法一：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.由條件概率計算公式，得P(B|A)＝＝＝. 法二：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4個． 事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2,4)一種情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率P(

6、B|A)＝＝.] 2．某校組織由5名學生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學生A和B都不是第一個出場，B不是最后一個出場”的前提下，學生C第一個出場的概率為(　　) A. B. C. D. A　[因為“A和B都不是第一個出場，B不是最后一個出場”的安排方法中，另外3人中任何一個第一個出場的概率相等，故“C第一個出場”的概率是.] 3．(2019·運城模擬)有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為________． 0．72　[設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長為幼苗”為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼

7、苗)．出芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，根據(jù)條件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.] [規(guī)律方法]　(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，這是求條件概率的通法. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝. 相互獨立事件的概率 【例1】　某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．規(guī)定一名運動員出線記1

8、分，未出線記0分．假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨立的． (1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率； (2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列． [解]　(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D， 則P(D)＝1－P( )＝1－××＝. (2)由題意可得，ξ的所有可能取值為0,1,2,3， 則P(ξ＝0)＝P( )＝××＝； P(ξ＝1)＝P( )＋P( )＋P( )＝××＋××＋××＝； P(ξ＝2)＝P(AB)

9、＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝； P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P [規(guī)律方法]　1.求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，先將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，再求概率. 2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法： (1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解. (2)直接計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算. 設(shè)某人有5發(fā)子彈，他向某一目標射擊時，每發(fā)子彈命中目標的概率為.若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子

10、彈打完． (1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率； (2)求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列． [解]　記“第k發(fā)子彈命中目標”為事件Ak(k＝1,2,3,4,5)，則A1，A2，A3，A4，A5相互獨立，且P(Ak)＝，P()＝. (1)法一：他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為 P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝×＋×＝. 法二：由獨立重復(fù)試驗的概率計算公式知，他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P＝C××＝. (2)X的所有可能取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P( )＝×＋×＝， P(X＝3)＝P(A1 )＋P(A2A3)＝×2＋×2＝，

11、P(X＝4)＝P(A1A3A4)＋P(A2 )＝3×＋3×＝， P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 綜上，X的分布列為 X 2 3 4 5 P 獨立重復(fù)試驗與二項分布 【例2】　(2019·佛山模擬)某企業(yè)對新擴建的廠區(qū)進行綠化，移栽了銀杏、垂柳兩種大樹各2株．假定銀杏移栽的成活率為，垂柳移栽的成活率為，且各株大樹是否成活互不影響． (1)求兩種大樹各成活1株的概率； (2)設(shè)ξ為兩種大樹成活的株數(shù)之和，求隨機變量ξ的分布列． [解]　(1)記“銀杏大樹成活1株”為事件A，“垂柳大樹成活1株”為事件B，則“兩種大樹各

12、成活1株”為事件AB. 由題可知P(A)＝C··＝，P(B)＝C··＝， 由于事件A與B相互獨立， 所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝. (2)由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4. P(ξ＝0)＝2·2＝； P(ξ＝1)＝C···2＋C···2＝； P(ξ＝2)＝＋2·2＋2·2＝； P(ξ＝3)＝C···2＋C···2＝； P(ξ＝4)＝2·2＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P [規(guī)律方法]　獨立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略 (1)在求n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定

13、好n和k的值，再準確利用公式求概率. (2)在根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，求得概率. 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖． (1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量； (2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列； (3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)

14、量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列． [解]　(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)． (2)重量超過505的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0,1,2， X服從超幾何分布． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 P (3)根據(jù)樣本估計總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為＝. 從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨立重復(fù)試驗，質(zhì)量超過50

15、5克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B， P(X＝k)＝C2－kk， 所以P(Y＝0)＝C·2＝， P(Y＝1)＝C··＝， P(Y＝2)＝C·2＝. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P 1．(2015·全國卷Ⅰ)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(　　) A．0.648 　　 B．0.432 C．0.36 　　 D．0.312 A　[3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A.] 2．(2014·全國卷Ⅱ)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　) A．0.8 　　 B．0.75 C．0.6 　　 D．0.45 A　[已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P＝＝0.8.] - 8 -