《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題5 解析幾何 第12講 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)教學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題5 解析幾何 第12講 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)教學(xué)案 理（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第12講　圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 題型1　圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程 (對應(yīng)學(xué)生用書第40頁) ■核心知識儲備………………………………………………………………………· 圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)雙曲線||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)拋物線：|PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M. ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題1】　(考查圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解)設(shè)雙曲線與橢圓＋＝1相交且有共同的焦點(diǎn)，其中一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4

2、)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 [思路分析]　依據(jù)已知條件，得出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線過點(diǎn)(，4)，利用定義法、待定系數(shù)法或共焦點(diǎn)曲線系方程求解即可． [解析]　法一：(定義法)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,3)，(0，－3)． 根據(jù)雙曲線的定義知，2a＝|－|＝4， 解得a＝2，又b2＝c2－a2＝5， 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.故選A. 法二：(待定系數(shù)法)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,3)，(0，－3)． 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)， 則a2＋b2＝9.① 又點(diǎn)(，4)在雙曲線上，所

3、以－＝1.② 由①②解得a2＝4，b2＝5.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.故選A. 法三：(共焦點(diǎn)的曲線系方程)設(shè)雙曲線的方程為＋＝1(27＜λ＜36)，由于雙曲線過點(diǎn)(，4)，故＋＝1，解得λ＝32或λ＝0(舍去)．故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.故選A. [答案]　A 【典題2】　(考圓錐曲線定義的應(yīng)用)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與拋物線C的一個交點(diǎn)，若＝4，則|QF|＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804086】 A.　　　B．3　　　C. 　　　D．2 [解析]　如圖所示，因?yàn)椋?，所以＝，過點(diǎn)Q作QM⊥l垂足為M，則MQ∥x軸，

4、 所以＝＝，所以|MQ|＝3，由拋物線定義知|QF|＝|QM|＝3. [答案]　B 【典題3】　(考查圓錐曲線的軌跡問題)(2017·福建泉州二模)在△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，|BC|＝3，△ABC的周長為6＋3，若點(diǎn)T在線段AO上，且|AT|＝2|TO|，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)T的軌跡E的方程． [解]　以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.依題意，得B，C.由|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3，得|AB|＋|AC|＝6，故|AB|＋|AC|＝6＞|BC|，所以A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓(除去長軸端點(diǎn))．所以點(diǎn)A的軌

5、跡方程為＋＝1(x≠±3)．設(shè)A(x0，y0)，T(x，y)，依題意＝，所以(x，y)＝(x0，y0)，即代入A的軌跡方程＋＝1(x≠±3)，得＋＝1(x≠±1)，所以點(diǎn)T的軌跡E的方程為x2＋2y2＝1(x≠±1)． [類題通法] 1.求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計算” (1)定型，就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)計算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn＞0).

6、2.轉(zhuǎn)化法 利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離. ■對點(diǎn)即時訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，它的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△AOB的面積為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝－1 D　[因?yàn)閑＝＝2，所以c＝2a，b＝a，雙曲線的漸近線方程為y＝±x.又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，聯(lián)立雙曲線的漸近線方程和拋物線的準(zhǔn)線方程得A，B，在△AOB中，|AB|＝p，點(diǎn)O到AB的距離為，所

7、以·p·＝，所以p＝2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，故選D.] 2．設(shè)橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足·＝9，則||·||的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804087】 A．8 B．10 C．12 D．15 D　[因?yàn)镻是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，所以|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝4.因?yàn)椤ぃ?，所以||·||cos∠F1PF2＝9.因?yàn)閨|2＝||2＋||2－2||·||·cos∠F1PF2＝(||＋||)2－2||·||－2||·||cos∠F1PF2，所以64－2||·||－18＝16.所以||·||＝15.

8、故選D.] ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見專題限時集訓(xùn)T1、T2、T8、T9、T10、T11、T13) 題型2　圓錐曲線的幾何性質(zhì) (對應(yīng)學(xué)生用書第41頁) ■核心知識儲備………………………………………………………………………· 1．橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系 (1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝； (2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝. 2．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x. 注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系． ■典題試解尋法…………………………………………………………

9、……………· 【典題1】　(考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì))已知雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為(　　) A.　 B． C. D． [思路分析]?。?(a＞b＞0) 雙曲線的方程―→雙曲線的漸近線橢圓的離心率． [解析]　設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則由題意可知雙曲線的方程為－＝1，其漸近線方程為y＝±x.因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形，所以由橢圓的對稱性可知，漸近線的方程為y＝±x，即b＝c，所以a＝＝c，故橢圓的離心率e＝，

10、故選C. [答案]　C 【典題2】　(考查拋物線的幾何性質(zhì))已知拋物線C1：y＝x2(p＞0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：－y2＝1的右焦點(diǎn)的連線交C1于點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804088】 A. B． C. D． [思路分析]　先由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得出直線方程，再對拋物線方程求導(dǎo)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，代入即可求得過點(diǎn)M的切線方程的斜率，結(jié)合C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線以及點(diǎn)M在拋物線上可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程，求解即可． [解析]　由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的右

11、焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，所以上述兩點(diǎn)連線的方程為＋＝1. 易知雙曲線的漸近線方程為 y＝±x.對函數(shù)y＝x2求導(dǎo)，得y′＝x.設(shè)M(x0，y0)，則x0＝，即x0＝p，代入拋物線方程得y0＝p，即M.由于點(diǎn)M在直線＋＝1上，所以p＋×＝1，解得p＝＝.故選C. [答案]　C [類題通法] 確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式.建立關(guān)于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等. 提醒：求橢圓、雙曲線的離心率，常利用方程思想及整體代入法，

12、該思想及方法利用待定系數(shù)法求方程時經(jīng)常用到. ■對點(diǎn)即時訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，A，B為橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則橢圓的離心率e的取值范圍是(　　) A. B． C. D． D　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2， 則 即 所以(x1－x2)＝(x－x)， 所以＝x1＋x2. 又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，所以－2a＜x1＋x2＜2a，則＜2a，即＜，所以e2＞.又0＜e＜1，所以＜e＜1.] 2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分

13、別為F1，F(xiàn)2，傾斜角為的直線l過F2且與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，且△F1MN是等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為________． y＝±x　[由題意知，F(xiàn)2(c,0)，c＝，設(shè)M(c，yM)，由－＝1得y＝b2×＝，|yM|＝.因?yàn)椤鱂1MN是等邊三角形，所以2c＝|yM|，即＝＝， 即c2－a2－ac＝0， 得＝，c2＝3a2， 又a2＋b2＝c2， 所以b2＝2a2， 雙曲線的漸近線方程為y＝±x， 故雙曲線的漸近線方程為y＝±x.] ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見專題限時集訓(xùn)T3、T4、T5、T6、T7、T12、T14)

14、 三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果 (對應(yīng)學(xué)生用書第42頁) 1．(2017·全國Ⅲ卷)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　) A.－＝1　　　　　B.－＝1 C.－＝1 D．－＝1 B　[由y＝x可得＝.① 由橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(3,0)，(－3,0)， 可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程為－＝1. 故選B.] 2．(2016·全國Ⅰ卷)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D

15、．(0，) A　[若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則 又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴ ∴－13m2且n<－m2，此時n不存在．故選A.] 3．(2016·全國Ⅰ卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804089】 A．2 B．4 C．6 D．8 B　[設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程

16、為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點(diǎn)A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.] 4．(2015·全國Ⅰ卷)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn)，若·＜0，則y0的取值范圍是(　　) A. B． C. D． A　[由題意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)． ∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0， 即x－3＋y<0. ∵點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－

17、0<.故選A.] 5．(2017·全國Ⅲ卷)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B． C. D． A　[由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)， 半徑為a. 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝， ∴e＝＝＝＝＝. 故選A.] 6．(2017·全國Ⅱ卷)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________. 6　[如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.] 9