《2019-2020學年高中數(shù)學 第2章 函數(shù) 3 函數(shù)的單調性學案 北師大版必修1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019-2020學年高中數(shù)學 第2章 函數(shù) 3 函數(shù)的單調性學案 北師大版必修1(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、§3 函數(shù)的單調性
學 習 目 標
核 心 素 養(yǎng)
1.理解函數(shù)單調性的概念及其幾何意義.(難點)
2.掌握用定義證明函數(shù)單調性的步驟.(重點)
3.會求函數(shù)的單調區(qū)間,理解函數(shù)單調性的簡單應用.(難點)
1.通過學習函數(shù)單調性的概念及幾何意義,提升數(shù)學抽象素養(yǎng).
2.通過函數(shù)單調性的證明,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
1.函數(shù)在區(qū)間上增加(減少)的定義
閱讀教材P36~P37第二自然段結束,完成下列問題.
在函數(shù)f(x)定義域內的一個區(qū)間A上,如果對于任意兩個數(shù)x1,x2∈A,當x1
2、1)>f(x2)
f(x)在區(qū)間A上是減少的(遞減的)
思考1:對于函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,1],由于f(-1)>f(0),所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上是遞減的,這個結論正確嗎?
[提示] 不正確.在函數(shù)遞增的定義中,要求對于任意x1,x2∈A,當x1
3、的圖像是上升的;如果函數(shù)是減少的,那么它的圖像是下降的.
(2)函數(shù)的單調性
如果函數(shù)y=f(x)在定義域的某個子集上是增加的或減少的,那么就稱函數(shù)y=f(x)在這個子集上具有單調性.
(3)單調函數(shù)
如果函數(shù)y=f(x)在整個定義域內是增加的或是減少的,我們分別稱這個函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù),統(tǒng)稱為單調函數(shù).
思考2:函數(shù)y=的單調區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞),還是(-∞,0)和(0,+∞)?
[提示] 函數(shù)y=的單調區(qū)間是(-∞,0)和(0,+∞).
3.函數(shù)最大值、最小值的概念
閱讀教材P38第二自然段及左側“思考”~P39“練習”以上內容,完成下列問題.
前提
設函
4、數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果存在實數(shù)M滿足
條件
①對于任意x∈D,都有f(x)≤M;
②存在x0∈D,使得f(x0)=M
①對任意x∈D都有f(x)≥M;
②存在x0∈D,使得f(x0)=M
結論
M為最大值
M為最小值
思考3:(1)任何函數(shù)都有最大值或最小值嗎?
(2)當x∈R時,f(x)=x2≥-1,-1是函數(shù)f(x)=x2,x∈R的最小值嗎?
(3)函數(shù)f(x)的最大(小)值的幾何意義分別是什么?
[提示] (1)不一定,如函數(shù)y=2x,x∈R就無最大值和最小值.
(2)不是,雖然f(x)≥-1,但是不存在x0∈R,使f(x0)=-1.根據(jù)最小值的定義可
5、知-1不是函數(shù)f(x)的最小值.
(3)函數(shù)f(x)的最大(小)值的幾何意義分別是函數(shù)f(x)的圖像上最高(低)點的縱坐標.
1.若y=(2k-1)x+b是R上的減函數(shù),則有( )
A.k> B.k>-
C.k< D.k<-
C [由y=(2k-1)x+b是R上的減函數(shù),
所以2k-1<0得k<,故選C.]
2.函數(shù)f(x)在[-2,2]上的圖像如圖所示,則此函數(shù)的最小值、最大值分別是( )
A.f(-2),0 B.0,2
C.f(-2),2 D.f(2),2
C [由最大(小)值的幾何意義,可知f(x)max=f(1)=2,f(
6、x)min=f(-2).]
3.函數(shù)f(x)=x2-1,x∈R的最小值是________.
-1 [f(x)=x2-1≥-1,又f(0)=-1,所以f(x)的最小值是-1.]
4.已知函數(shù)f(x)在R中是增函數(shù),則當x1
7、0,1),且x10,x1x2-1<0,x1x2>0,
所以,f(x2)-f(x1)<0,
于是f(x2)
8、判斷:根據(jù)f(x1)-f(x2)的符號及定義判斷函數(shù)的單調性.
1.對于例1中的函數(shù),證明其在區(qū)間(1,+∞)內是增函數(shù).
[證明] 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1x1>1,得
x2-x1>0,x1x2-1>0,x1x2>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,
于是f(x2)>f(x1),
根據(jù)增函數(shù)的定義知,f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍
【例2】 已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+1在區(qū)間(-∞,4]上單調遞減,求實數(shù)a的取值范圍.
[思路探究] 求出
9、f(x)的單調遞減區(qū)間,利用集合之間的關系求解.
[解] ∵f(x)=[x+(a-1)]2-(a-1)2+1.
∴f(x)的單調遞減區(qū)間是(-∞,1-a].
又f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調遞減,
則(-∞,4]?(-∞,1-a],
∴1-a≥4,解得a≤-3.
1.(變條件)設函數(shù)f(x)=(1-2a)x+1是R上的增函數(shù),則有( )
A.a(chǎn)< B.a(chǎn)>
C.a(chǎn)<- D.a(chǎn)>-
A [依題意,1-2a>0,解得a<.]
2.(變條件)已知函數(shù)f(x)=是R上的增函數(shù),則a的取值范圍是________.
-3≤a≤-2 [依題意,
解得-
10、3≤a≤-2.]
知函數(shù)的單調性,求參數(shù)取值范圍的方法
(1)先求出函數(shù)的單調區(qū)間,將其轉化為兩個集合之間的關系求解;
(2)當已知函數(shù)是分段函數(shù)時,不但要考慮各段上函數(shù)的單調性,而且還要考慮各段圖像之間的上下關系.
利用單調性求函數(shù)的最大(小)值
[探究問題]
1.若函數(shù)f(x)在定義域[a,b]上是增函數(shù),則f(x)的最大值與最小值分別是什么?
提示:f(x)max=f(b),f(x)min=f(a).
2.已知函數(shù)f(x)的定義域是區(qū)間(a,b),且在(a,c]上遞增,在[c,b)上遞減,則f(x)是否一定存在最大值,若存在最大值,最大值是什么?
提示:f(
11、x)一定存在最大值,最大值是f(c).
3.如何求函數(shù)f(x)=-在區(qū)間[1,3]上的最大值與最小值.
提示:由f(x)=-在區(qū)間[1,3]上單調遞增,得
f(x)max=f(3)=-=-;
f(x)min=f(1)=-=-1.
【例3】 求函數(shù)f(x)=在區(qū)間[1,3]上的最大值與最小值.
[思路探究] 先判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的單調性,再利用單調性求最值.
[解] f(x)===2+.其圖像如下:
由上圖知,f(x)在區(qū)間[1,3]上遞增,
所以,f(x)max=f(3)=2+=;
f(x)min=f(1)=2+=.
(1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)
12、間(a,b]上是增函數(shù),在區(qū)間[b,c)上是減函數(shù),則函數(shù)y=f(x),x∈(a,c)在x=b處有最大值f(b)
(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b]上是減函數(shù),在區(qū)間[b,c)上是增函數(shù),則函數(shù)y=f(x),x∈(a,c)在x=b處有最小值f(b).,(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是增(減)函數(shù),則在區(qū)間[a,b]的左、右端點處分別取得最小(大)值、最大(小)值.
2.求函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2,5]上的最值.
[解] f(x)===1+.其圖像如下:
由上圖知,f(x)在[2,5]上遞減,
所以,f(x)max=f(2)=2;f(x)min=f(5
13、)=.
1.單調函數(shù)的運算性質
若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間I上具有單調性,則:
(1)f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調性.
(2)f(x)與a·f(x),當a>0時具有相同的單調性;當a<0時具有相反的單調性.
(3)在f(x),g(x)的公共單調區(qū)間上,有如下結論:
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)-g(x)
增函數(shù)
增函數(shù)
增函數(shù)
不能確定單調性
增函數(shù)
減函數(shù)
不能確定單調性
增函數(shù)
減函數(shù)
減函數(shù)
減函數(shù)
不能確定單調性
減函數(shù)
增函數(shù)
不能確定單調性
減函數(shù)
2.對函數(shù)最值的三點說明
(1)
14、最大(小)值必須是一個函數(shù)值,是值域中的一個元素,如函數(shù)y=x2(x∈R)的最小值是0,有f(0)=0.
(2)最大(小)值定義中的“任意”是說對于定義域內的每一個值都必須滿足不等式,即對于定義域內的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是說,函數(shù)y=f(x)的圖像不能位于直線y=M的上(下)方.
(3)最大(小)值定義中的“存在”是說定義域中至少有一個實數(shù)滿足等號成立,也就是說y=f(x)的圖像與直線y=M至少有一個交點.
3.函數(shù)最值與函數(shù)值域的關系
函數(shù)的值域是一個集合,最值若存在則屬于這個集合,即最值首先是一個函數(shù)值,它是值域的一個元素.函數(shù)值域一定存在,而函數(shù)并
15、不一定有最大(小)值.
1.思考辨析
(1)在區(qū)間A上存在x1,x2,當x1<x2時,有f(x1)<f(x2),則f(x)在區(qū)間A上是增加的.( )
(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是減少的,當x1,x2∈A,且f(x1)<f(x2)時,有x1>x2.( )
(3)函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-∞,0),(0,+∞)上都是減少的,則f(x)為減函數(shù).( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2.函數(shù)y=-x+1在區(qū)間上的最大值是( )
A.- B.-1
C. D.3
C [函數(shù)y=-x+1在區(qū)間上是遞減的,所以當x=時,函數(shù)取得最大值ymax=-+1=.]
3.若函數(shù)f(x)是[-2,2]上的減函數(shù),則f(-1)______f(2)(填“>”“<”“=”).
> [∵f(x)在[-2,2]上是減函數(shù),且-1<2,
∴f(-1)>f(2).]
4.求證:函數(shù)f(x)=--1在區(qū)間(-∞,0)上是單調增函數(shù).
[證明] 設x1,x2是區(qū)間(-∞,0)內的任意兩個值,且x1<x2,則x1-x2<0,x1x2>0,
因為f(x1)-f(x2)=-
=-=,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2).
故f(x)=--1在區(qū)間(-∞,0)上是單調增函數(shù).
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