《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案 文 北師大版（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 [考綱傳真]　1.了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第11頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念 圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)． 圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)． 2．判斷函數(shù)的奇偶性 判斷函數(shù)的奇偶性，一般都按照定義嚴(yán)格進(jìn)行，一般步驟是 (1)考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． (2)考察表達(dá)式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)： 若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)； 若f

2、(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)； 若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)； 若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，既非奇非偶函數(shù)． 3．函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在非零實(shí)數(shù)T，對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x＋T)＝f(x)，就把f(x)稱為周期函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． [知識(shí)拓展] 1．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論 (1)如果函數(shù)f(

3、x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性． (3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函數(shù)周期性常用結(jié)論 對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a＞0)． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)偶函數(shù)圖像不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)

4、的圖像一定過(guò)原點(diǎn)．(　　) (2)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(　　) (3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱．(　　) (4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(　　) A．－　　　　　　　　 B． C． D．－ B　[依題意b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴b＝0且a＝，則

5、a＋b＝.] 3．(2015·廣東高考)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(　　) A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x D　[A項(xiàng)，定義域?yàn)镽，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，為奇函數(shù)，故不符合題意； B項(xiàng)，定義域?yàn)镽，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，為偶函數(shù)，故不符合題意； C項(xiàng)，定義域?yàn)镽，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，為偶函數(shù)，故不符合題意； D項(xiàng)，定義域?yàn)镽，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因?yàn)閒(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(

6、x)，故為非奇非偶函數(shù)．] 4．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________. 12　[法一：令x＞0，則－x＜0. ∴f(－x)＝－2x3＋x2. ∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)． ∴f(2)＝2×23－22＝12. 法二：f(2)＝－f(－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.] 5．(教材改編)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且在區(qū)間[a，b](a＜b＜0)上的值域

7、為[－3,4]，則在區(qū)間[－b，－a]上(　　) A．有最大值4 B．有最小值－4 C．有最大值－3 D．有最小值－3 B　[法一：根據(jù)題意作出y＝f(x)的簡(jiǎn)圖，由圖知，選B． 法二：當(dāng)x∈[－b，－a]時(shí)，－x∈[a，b]， 由題意得f(b)≤f(－x)≤f(a)， 即－3≤－f(x)≤4， ∴－4≤f(x)≤3， 即在區(qū)間[－b，－a]上f(x)min＝－4， f(x)max＝3，故選B．] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第12頁(yè)) 函數(shù)奇偶性的判斷 　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1)； (2)f(x)＝lg(－2x)；

8、 (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090021】 [解]　(1)由≥0可得函數(shù)的定義域?yàn)?－1,1]． ∵函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴函數(shù)為非奇非偶函數(shù)． (2)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝lg(＋2x)＝lg ＝－lg(－2x)＝－f(x)． 故原函數(shù)為奇函數(shù)． (3)由得x2＝3，∴x＝±， 即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－，}， 從而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． (4)易知函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)x

9、＞0時(shí)，f(x)＝x2＋x， 則當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0， 故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0， 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)． [規(guī)律方法]　1.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 2．判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有對(duì)各段上的x都滿足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性；也可以利用函數(shù)的圖像進(jìn)行判斷． [變式訓(xùn)練1]　(1)(2018·商丘模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(e＋x)＋ln(e－x)，則f(x)是 (　　) A．奇函數(shù)，且在(0，e)上是增加的

10、 B．奇函數(shù)，且在(0，e)上是減少的 C．偶函數(shù)，且在(0，e)上是增加的 D．偶函數(shù)，且在(0，e)上是減少的 (2)(2014·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090022】 A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) (1)D　(2)C　[(1)f(x)的定義域?yàn)?－e，e)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． f(－x)＝ln(e－x)＋ln(e＋x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函

11、數(shù)． 又f(x)＝ln(e2－x2)，所以f(x)在(0，e)上是減少的． (2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(huán)(x)， ∴h(x)是奇函數(shù)，A錯(cuò)． B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò)． C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|·g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，C正確． D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，

12、則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，D錯(cuò)．] 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 　(1)(2015·全國(guó)卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________. (2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則f(x)＝________. (1)1　(2)　[(1)∵f(x)為偶函數(shù)， ∴f(－x)－f(x)＝0恒成立， ∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立， ∴xln a＝0恒成立，∴l(xiāng)n a＝0，即a＝1. (2)∵f(x)是定義在

13、R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0. 又當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)， 即f(x)＝－x2－4x(x＜0)， ∴f(x)＝] [規(guī)律方法]　1.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，一般采用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值． 2．已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方程(組)，從而可得f(x)的值或解析式． [變式訓(xùn)練2]　(1)設(shè)f(x)為定義在

14、R上的奇函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝(　　) A．－3　　　　 B．－1 C．1 D．3 (2)(2018·青島模擬)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________. (1)A　(2)－　[(1)因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. (2)f(－x)＝ln(e－3x＋1)－ax＝ln－ax＝ln(1＋e3x)－3x－ax，依題意得，對(duì)任意x∈R，都有f(－x)＝f

15、(x)，即ln(1＋e3x)－3x－ax＝ln(1＋e3x)＋ax， 化簡(jiǎn)得2ax＋3x＝0(x∈R)，因此2a＋3＝0，解得a＝－.] 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 　(1)(2017·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3,0]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. (2)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________. (1)6　(2)1 009　[(1)∵f(x＋4)＝f(x－2)，

16、 ∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)． 又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， ∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6. (2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期T＝2. 又當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1. ∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝

17、1 009.] [母題探究1]　若將本例(2)中“f(x＋2)＝f(x)”改為“f(x＋1)＝－f(x)”，則結(jié)論如何？ [解]　∵f(x＋1)＝－f(x)， ∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)． 故函數(shù)f(x)的周期為2. 由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009. [母題探究2]　若將本例(2)中“f(x＋2)＝f(x)”改為“f(x＋1)＝”，則結(jié)論如何？ [解]　∵f(x＋1)＝， ∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝f(x)． 故函數(shù)f(x)的周期為2. 由本例可知，f(0)＋f(1

18、)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009. [規(guī)律方法]　1.判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)． 2．在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用． [變式訓(xùn)練3]　(2017·長(zhǎng)沙模擬(一))已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝則下列函數(shù)值為1的是(　　) A．f(2.5) B．f(f(2.5)) C．f(f(1.5)) D．f(2) D　[由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，從而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故選D．] 7