《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 基本初等函數(shù)學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 基本初等函數(shù)學(xué)案 理（18頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二講　基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 考點(diǎn)一　指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù) 1．指數(shù)與對數(shù)式的運(yùn)算公式 (1)am·an＝am＋n， (2)(am)n＝amn， (3)(ab)m＝ambm.其中，a>0，b>0. (4)loga(MN)＝logaM＋logaN， (5)loga＝logaM－logaN， (6)logaMn＝nlogaM， (7)alogaN＝N， (8)logaN＝.其中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0. 2．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的

2、圖象和性質(zhì)，分01兩種情況：當(dāng)a>1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當(dāng)0

3、＝log2e，b＝ln2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b [解析]　由已知得c＝log23，∵log23>log2e>1，b＝ln2<1，∴c>a>b，故選D. [答案]　D 3．(2018·山東濰坊一模)若函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可以是(　　) [解析]　因函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，故01或x<－1}，x>1時(shí)

4、函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可以通過函數(shù)y＝logax的圖象向右平移1個(gè)單位得到，故選D. [答案]　D 4．(2018·江西九江七校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　由題意得x2－ax－3a>0在區(qū)間(－∞，－2]上恒成立且函數(shù)y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上遞減，則≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4,4)． [答案]　[－4,4) [快速審題]　看到指數(shù)式、對數(shù)式，想到指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；看到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，想到它們的圖

5、象和性質(zhì)． 基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用技巧 (1)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值，當(dāng)?shù)讛?shù)a的值不確定時(shí)，要注意分a>1和01時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當(dāng)00和α<0兩種情況的不同． 考點(diǎn)二　函數(shù)的零點(diǎn) 1．函數(shù)的零點(diǎn)及其與方程根的關(guān)系 對于函數(shù)f(x)，使f(x)＝0的實(shí)數(shù)

6、x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 2．零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根． 角度1：確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或其存在范圍 [解析]　當(dāng)x≤0時(shí)， 由f(x)＝0，即x2＋2017x－2018＝0， 得(x－1)(x＋2018)＝0， 解得x＝1(舍去)或x＝－201

7、8； 當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)g(x)＝x－2，h(x)＝lnx，如圖，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象， 由圖可知，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在x>0時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上，函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，故選C. [答案]　C [快速審題]　看到函數(shù)的零點(diǎn)，想到求方程的根或轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)． 角度2：應(yīng)用零點(diǎn)求參數(shù)的值(范圍) [解析]　在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖，而函數(shù)y＝mx－恒過定點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)與函數(shù)y＝lnx的圖象相切的直線為l1，切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，lnx0)．因?yàn)閥＝lnx的導(dǎo)函數(shù)y′＝，所以圖中y＝lnx的切線l1的斜率為k＝，則＝，解得x0＝

8、，所以k＝.又圖中l(wèi)2的斜率為，故當(dāng)方程f(x)＝mx－恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是. [答案]　 [探究追問]　將例2中“方程f(x)＝mx－恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”改為“方程f(x)＝m恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，結(jié)果如何？ [解析]　在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖．函數(shù)y＝m恒過定點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)與函數(shù)y＝1－x2的圖象相切的直線為l1，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,1－x)，因?yàn)閥＝1－x2(x≤1)的導(dǎo)函數(shù)y′＝－2x0，所以切線l1斜率k＝－2x0，則－2x0＝，解得x0＝或x0＝2(舍)．所以直線l1的斜率為－1，結(jié)合圖可知，當(dāng)方程f(x)＝m恰有三個(gè)

9、不相等的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－1,0)． [答案]　(－1,0) (1)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法 (2)利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或范圍)的3種方法 [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1．[角度1]已知函數(shù)f(x)＝－log2x.在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞) [解析]　易知f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)．∵f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－2<0，∴選項(xiàng)中包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(2,4)． [答

10、案]　C 2．[角度2]已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． [解析]　f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝k的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如圖所示． 當(dāng)－1

11、表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問題獲解． [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x D．y＝logx [解析]　由題中表可知函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大的越來越快，分析選項(xiàng)可知B符合，故選B. [答案]　B 2．(201

12、8·西安四校聯(lián)考)某大型民企為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該民企2018年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(　　) A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年 [解析]　設(shè)從2018年起，過了n(n∈N*)年該民企全年投入的研發(fā)資金超過200萬元，則130×(1＋12%)n≥200，則n≥≈＝3.8，由題意取n＝4，則n＋2018＝2022.故選D. [答案]　D 3.如圖，某小

13、區(qū)有一邊長為2的正方形地塊OABC，其中陰影部分是一個(gè)游泳池，計(jì)劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路l(寬度不計(jì))，切點(diǎn)為M，并把該地塊分為兩部分．現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段OC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若池邊AE為函數(shù)y＝－x2＋2(0≤x≤)的圖象，且點(diǎn)M到邊OA的距離為t，則地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積的最大值為________． [解析]　M(t，－t2＋2)，過切點(diǎn)M的切線l：y－(－t2＋ 2)＝－2t(x－t)，即y＝－2tx＋t2＋2，令y＝2得x＝，故切線l與AB交于點(diǎn)；令y＝0，得x＝＋， 故切線l與OC交于點(diǎn)，又x＝＋在上單

14、調(diào)遞減，所以x＝＋∈，所以地塊OABC在切線l右上部分區(qū)域?yàn)橹苯翘菪危娣eS＝×2＝4－t－＝4－≤2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)等號成立，故地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積的最大值為2. [答案]　2 [快速審題]　看到實(shí)際應(yīng)用題，想到函數(shù)模型． 應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序 [解析]　 [答案]　A 2．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) [解析]　g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個(gè)零點(diǎn)

15、等價(jià)于函數(shù)f(x)＝與h(x)＝－x－a的圖象存在2個(gè)交點(diǎn)，如圖， 當(dāng)x＝0時(shí)，h(0)＝－a，由圖可知要滿足y＝f(x)與y＝h(x)的圖象存在2個(gè)交點(diǎn)，需要－a≤1，即a≥－1.故選C. [答案]　C 3．(2017·北京卷)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080，則下列各數(shù)中與最接近的是(　　) (參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 [解析]　因?yàn)閘g3≈0.48，所以3≈100.48， 所以＝≈＝＝＝1093.28≈1093.故選D. [答案]　D

16、 4．(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝cos在[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． [解析]　令f(x)＝0，得cos＝0，解得x＝＋(k∈Z)．當(dāng)k＝0時(shí)，x＝；當(dāng)k＝1時(shí)，x＝；當(dāng)k＝2時(shí)，x＝，又x∈[0，π]，所以滿足要求的零點(diǎn)有3個(gè)． [答案]　3 5．(2018·天津卷)已知a>0，函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是________． [解析]　設(shè)g(x)＝f(x)－ax＝ 方程f(x)＝ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解即函數(shù)y＝g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即y＝g(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，滿足條件的y＝g(x)的圖象有以下兩種情

17、況： 情況一： 則∴4

18、]＝3，令f(x)＝t，則f(t)＝3， 若t≤0，則2t＋1＝3，解得t＝1，不符合題意； 若t>0，則|lnt|＝3，解得t＝e3或t＝e－3， 若x≤0，則2x＋1＝e3或2x＋1＝e－3， 解得x＝(舍)或x＝； 若x>0，則|lnx|＝e3或|lnx|＝e－3， 解得x＝ee3或e－e3或ee－3或e－e－3，故一共有5個(gè)根，選C. [答案]　C 2．(2018·安徽馬鞍山一模)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[1,2] B．(1,2) C．(－2，－1) D．

19、[－2，－1] [解析]　函數(shù)f(x)＝的圖象如圖： 關(guān)于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即[f(x)＋a][f(x)－1]＝0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，易知f(x)＝1有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴f(x)＝－a必須有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由函數(shù)f(x)的圖象可知－a∈(1,2)，∴a∈(－2，－1)．故選C. [答案]　C 專題跟蹤訓(xùn)練(十一) 一、選擇題 [解析]　 [答案]　C [解析]　 根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為， 即所求交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間為，故選B. [答案]　B 3．(2018·孝感一模)若函數(shù)

20、f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. [解析]　依題意并結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知，即 解得0時(shí)，F(xiàn)(x)＝x[x＋(a－1)]， ∵函數(shù)F(x)有2個(gè)零

21、點(diǎn)，∴1－a>0，∴a<1.故選C. [答案]　C 5．(2018·湖南十三校二模)函數(shù)f(x)＝lnx＋ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　) A. B. C．(1，e) D．(e，＋∞) [解析]　函數(shù)f(x)＝lnx＋ex在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f(x)最多只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x→0＋時(shí)，f(x)→－∞. ∴函數(shù)f(x)＝lnx＋ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選A. [答案]　A 6．(2018·河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋m與函數(shù)g(x)＝－ln－3x的圖象上至少存在一對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

22、　　) A. B. C. D．[2－ln2,2] [解析]　由已知，得方程x2＋m＝ln＋3x，∴m＝－lnx＋3x－x2在上有解． 設(shè)f(x)＝－lnx＋3x－x2， 求導(dǎo)，得f′(x)＝－＋3－2x＝－ ＝－ ∵≤x≤2， 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝1. 當(dāng)f′(x)>0時(shí)，

23、所以m的取值范圍是[2－ln2,2]，故選D. [答案]　D 二、填空題 7．(2018·河北石家莊模擬)若函數(shù)f(x)＝m＋x的零點(diǎn)是－2，則實(shí)數(shù)m＝________. [解析]　由m＋－2＝0，得m＝－9. [答案]　－9 8．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，則實(shí)數(shù)a的值為________． [解析]　f(x)的對稱軸為x＝－1.當(dāng)a>0時(shí)，f(2)＝4a＋4a＋1＝8a＋1，f(－3)＝3a＋1.∴f(2)>f(－3)，即f(x)max＝f(2)＝8a＋1＝4，∴a＝；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝a－2a＋1＝－a＋1＝4，∴a

24、＝－3.綜上所述，a＝或a＝－3 [答案]　或－3 9．某租賃公司擁有汽車100輛．當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出．當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未出租的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元，要使租賃公司的月收益最大，則每輛車的月租金應(yīng)定為________元． [解析]　設(shè)每輛車的月租金為x(x>3000)元，則租賃公司月收益為y＝·(x－150)－×50，整理得y＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050. 所以當(dāng)x＝4050時(shí)，y取最大值為307050，即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的

25、月收益最大為307050元． [答案]　4050 三、解答題 10．(2018·唐山一中期末)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性與奇偶性； (2)是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由． [解]　(1)∵f(x)＝ex－x， ∴f′(x)＝ex＋x， ∴f′(x)>0對任意x∈R都成立， ∴f(x)在R上是增函數(shù)． 又∵f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． (2)存在．由(1)知f(x)

26、在R上是增函數(shù)和奇函數(shù)，則 f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R都成立， ?f(x2－t2)≥f(t－x)對一切x∈R都成立， ?x2－t2≥t－x對一切x∈R都成立， ?t2＋t≤x2＋x＝2－對一切x∈R都成立， ?t2＋t≤(x2＋x)min＝－?t2＋t＋ ＝2≤0， 又2≥0，∴2＝0， ∴t＝－. ∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R都成立． 11．(2018·江西三校聯(lián)考)食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建甲

27、、乙兩個(gè)無公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P(單位：萬元)、種黃瓜的年收入Q(單位：萬元)與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋4，Q＝a＋120，設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)． (1)求f(50)的值； (2)試問如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？ [解]　(1)依題意f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，其中 所以20≤x≤180. 故f(50)＝－×50＋4＋250＝277.5. (2)由(1)知f(

28、x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)， 令＝t，則2≤t≤6， y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282， 因此當(dāng)t＝8時(shí)，函數(shù)取得最大值282，此時(shí)x＝128， 故投入甲大棚128萬元，乙大棚72萬元時(shí)，總收益最大，最大總收益是282萬元． 12．(2018·江西吉安一中摸底)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程[f(x)]2＋f(x)＋t＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． [解]　原問題等價(jià)于[f(x)]2＋f(x)＝－t有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 即直線y＝－t與y＝[f(x)]2＋f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)． 當(dāng)x≥0時(shí)，y＝[f(x)]2＋f(x)＝e2x＋ex為增函數(shù)，在x＝0處取得最小值2，其圖象與直線y＝－t最多只有一個(gè)交點(diǎn)． 當(dāng)x<0時(shí)，y＝[f(x)]2＋f(x)＝[lg(－x)]2＋lg(－x)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，其在(－∞，0)上先減后增，最小值為－. 所以要使函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，只需－t≥2，解得t≤－2. 18