《2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第4節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第4節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入教學案 文（含解析）北師大版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 [考綱傳真]　1.理解復數(shù)的概念，理解復數(shù)相等的充要條件.2.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解兩個具體復數(shù)相加、減的幾何意義． 1．復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復數(shù)，其中a叫做復數(shù)z的實部，b叫做復數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位)． (2)分類： 滿足條件(a，b為實數(shù)) 復數(shù)的分類 a＋bi為實數(shù)?b＝0 a＋bi為虛數(shù)?b≠0 a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0 a＋bi為非純虛數(shù)?a≠0且b≠0 (3)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c

2、，d∈R)． (4)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)復數(shù)的模：向量的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對值，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．復數(shù)的幾何意義 復數(shù)z＝a＋bi復平面內(nèi)的點Z(a，b)平面向量＝(a，b)． 3．復數(shù)的運算 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. 1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4

3、n＋3＝0(n∈N*)． 4．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi． (　　) (2)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大?。?(　　) (3)實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù)． (　　) (4)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ 2.(教材改編)如圖所示，在復平面內(nèi)，點A

4、表示復數(shù)z，則圖中表示z的共軛復數(shù)的點是(　　) A．A　　　 B．B C．C D．D B　[共軛復數(shù)對應的點關于實軸對稱．] 3．(教材改編)設m∈R，復數(shù)z＝m2－1＋(m＋1)i表示純虛數(shù)，則m的值為(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．0 A　[由題意得，解得m＝1，故選A．] 4．復數(shù)＝(　　) A．i B．1＋i C．－i D．1－i A　[＝＝＝i.] 5．(教材改編)設x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，則復數(shù)z＝x＋yi在復平面上對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5、 D　[由題意知解得 則復數(shù)z＝4－2i在復平面上對應的點位于第四象限，故選D．] 復數(shù)的有關概念 1．(2018·全國卷Ⅰ)設z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0　　　　B．　　　　C．1　　　　D． C　[z＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.] 2．(2018·浙江高考)復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i B　[＝＝1＋i， 所以復數(shù)的共軛復數(shù)為1－i，故選B．] 3．(2017·天津高考)已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為________． －2　[∵a∈R，＝＝＝－

6、i為實數(shù)， ∴－＝0，∴a＝－2.] [規(guī)律方法]　解決復數(shù)概念問題的策略 (1)復數(shù)的分類、復數(shù)的相等、復數(shù)的模，共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部與虛部有關，所以解答與復數(shù)相關概念有關的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列出實部、虛部滿足的方程(組)即可． (2)求復數(shù)模的常規(guī)思路是利用復數(shù)的有關運算先求出復數(shù)z，然后利用復數(shù)模的定義求解． 復數(shù)的運算 ?考法1　復數(shù)的乘法運算 【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i (2)(2016·全

7、國卷Ⅰ)設(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 (3)若a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (1)D　(2)A　(3)B　[(1)(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故選D． (2)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由題意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故選A． (3)因為(2＋ai)(a－2i)＝－4i， 所以4a＋(a2－4)i＝－4i. 所以解得a＝0.故選B．] ?考法2　復數(shù)的除法運算 【例2

8、】　(1)(2018·天津高考)i是虛數(shù)單位，復數(shù)＝________. (2)(2018·江蘇高考)若復數(shù)z滿足i·z＝1＋2i，其中i是虛數(shù)單位，則z的實部為________． (1)4－i　(2)2　[(1)＝＝＝4－i. (2)z＝＝＝2－i 故z的實部為2.] ?考法3　復數(shù)的綜合運算 【例3】　(1)(2019·太原模擬)設復數(shù)z滿足＝i，則z的共軛復數(shù)為(　　) A．i B．－i C．2i D．－2i (2)(2016·全國卷Ⅲ)若z＝4＋3i，則＝(　　) A．1 B．－1 C．＋i D．－i (3)若復數(shù)z滿足 2z＋＝3－2i，其中i為虛數(shù)單位

9、，則z等于(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i (1)A　(2)D　(3)B　[(1)由＝i得1－z＝i＋zi. 即(1＋i)z＝1－i，則z＝＝－i， 因此＝i，故選A． (2)∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5， ∴＝＝－i. (3)設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，所以2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，所以解得 所以z＝1－2i，故選B．] [規(guī)律方法]　復數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略 (1)復數(shù)的乘法．復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，

10、不含i的看作另一類同類項，分別合并即可． (2)復數(shù)的除法．除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題時要注意把i的冪寫成最簡形式． (3)復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合題．先利用復數(shù)的運算法則化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合相關定義解答． (1)(2019·合肥模擬)已知i為虛數(shù)單位，則＝(　　) A．5 B．5i C．－－i D．－＋i (2)(2019·惠州模擬)已知復數(shù)z的共軛復數(shù)為，若(1－i)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則z＝(　　) A．i B．i－1 C．－i－1 D．－i (3)(2019·南昌模擬)設z的共軛復數(shù)是，若z＋＝2，z2＝

11、－2i，則z＝(　　) A．－i B．＋i C．1＋i D．1－i (1)A　(2)C　(3)D　[(1)法一：＝＝5，故選A． 法二：＝＝＝5，故選A． (2)由已知可得＝＝＝－1＋i，則z＝－1－i，故選C． (3)對四個選項逐一驗證可知，當z＝1－i時，符合題意，故選D．] 復數(shù)的幾何意義 【例4】　(1)(2018·北京高考)在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(2019·鄭州模擬)若復數(shù)(1－i)(a＋i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(

12、－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) (1)D　(2)B　[(1)＝＝＝＋i，所以的共軛復數(shù)為－i，在復平面內(nèi)對應的點為，位于第四象限，故選D． (2)復數(shù)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，其在復平面內(nèi)對應的點(a＋1,1－a)在第二象限， 故解得a＜－1，故選B．] [規(guī)律方法]　與復數(shù)幾何意義相關的問題的一般解法 第一步，進行簡單的復數(shù)運算，將復數(shù)化為標準的代數(shù)形式； 第二步，把復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復平面的點之間的關系，依據(jù)是復數(shù)a＋bi與復平面上的點(a，b)一一對應． (1)(2019·廣州模擬)設z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則復數(shù)

13、＋z2在復平面內(nèi)對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)在復平面內(nèi)與復數(shù)z＝所對應的點關于虛軸對稱的點為A，則A對應的復數(shù)為(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．2＋i (1)A　(2)C　[(1)因為z＝1＋i，所以＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2＝＋2i＝1＋i，所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(1,1)，位于第一象限，故選A． (2)依題意得，復數(shù)z＝＝i(1－2i)＝2＋i，其對應的點的坐標是(2,1)，因此點A(－2,1)對應的復數(shù)為－2＋i.] 1．(2017·全國卷Ⅰ)下列各式的運算結(jié)果

14、為純虛數(shù)的是(　　) A．i(1＋i)2　　　 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i) C　[A項，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是純虛數(shù)． B項，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)． C項，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數(shù)． D項，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù)． 故選C．] 2．(2017·全國卷Ⅲ)復平面內(nèi)表示復數(shù)z＝i(－2＋i)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴復數(shù)z＝－1－2i所對應的復平

15、面內(nèi)的點為Z(－1，－2)，位于第三象限． 故選C．] 3．(2016·全國卷Ⅰ)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝(　　) A．1　　　　B． C．　　　　D．2 B　[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi. 又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1. ∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故選B．] 4．(2015·全國卷Ⅰ)已知復數(shù)z滿足(z－1)i＝1＋i，則z＝(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i C　[∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i， ∴z＝2－i，故選C．] - 8 -