《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布教學(xué)案 理（含解析）北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布教學(xué)案 理（含解析）北師大版（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六節(jié)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 [考綱傳真]　1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.2.會(huì)求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡單實(shí)際問題.3.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義． 1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)． (1)均值 EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”． (2)方差 DX＝E(X－EX)2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度． 2．

2、均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝aEX＋b． (2)D(aX＋b)＝a2DX(a，b為常數(shù))． 3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 均值 方差 變量X服從兩點(diǎn)分布 EX＝p DX＝p(1－p) X～B(n，p) EX＝np DX＝np(1－p) 4.正態(tài)分布 (1)X～N(μ，σ2)，表示X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布． (2)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)： ①函數(shù)圖像關(guān)于直線x＝μ對稱； ②σ(σ＞0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”； ③p(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%； p(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%； p(μ－3σ＜X＜μ＋3σ

3、)＝99.7%. 1．均值與方差的關(guān)系：DX＝EX2－E2X. 2．超幾何分布的均值：若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則EX＝. [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的． (　　) (2)若X～N(μ，σ2)，則μ，σ2分別表示正態(tài)分布的均值和方差． (　　) (3)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量． (　　) (4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小. (　　) [答案]　(1)√

4、　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知X的分布列為 X －1 0 1 P a 設(shè)Y＝2X＋3，則EY的值為(　　) A.　　　　B．4　　　　C．－1　　　　D．1 A　[由概率分布列的性質(zhì)可知：＋＋a＝1，∴a＝. ∴EX＝－1×＋0×＋1×＝－. ∴EY＝3＋2EX＝3－＝.] 3．已知隨機(jī)變量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，則隨機(jī)變量η的均值Eη及方差Dη分別是(　　) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 B　[設(shè)隨機(jī)變量X的均值及方差分別為EX，DX，因?yàn)閄～B(10,0.6)，所以EX＝1

5、0×0.6＝6，DX＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故Eη＝E(8－X)＝8－EX＝2，Dη＝D(8－X)＝DX＝2.4，故選B．] 4．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜4)＝________. 0.6　[由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2. 又正態(tài)曲線關(guān)于x＝2對稱． 則P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2， ∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.] 5．隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2,3，C為常數(shù)，則P(0.5＜X＜2.5)＝________. 　[由P(X＝1)＋P(X＝

6、2)＋P(X＝3)＝1，得＋＋＝1，解得C＝.所以P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.] 求離散型隨機(jī)變量的均值、方差 【例1】　(1)(2017·全國卷Ⅱ改編)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝(　　) A．1.96　　　B．1.98　　　C．2　　　 D．2.02 (2)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都投球3次時(shí)投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響． ①求甲獲勝的概率； ②求投

7、籃結(jié)束時(shí)甲的投球次數(shù)ξ的分布列與期望． (1)A　[依題意，X～B(100,0.02)，所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.] (2)[解]　設(shè)Ak，Bk分別表示“甲、乙在第k次投籃投中”， 則P(Ak)＝，P(Bk)＝，其中k＝1,2,3. ①記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式知 P(C)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝P(A1)＋P()P()P(A2)＋P()P()P()P()P(A3)＝＋××＋2×2×＝＋＋＝. ②ξ的所有可能取值為1,2,3，且 P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(B1)＝＋×＝， P(ξ＝2)＝P(A2)

8、＋P(B2)＝××＋2×2＝， P(ξ＝3)＝P()＝2×2＝. 綜上知，ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 所以Eξ＝1×＋2×＋3×＝. [規(guī)律方法]　求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟 (1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值． (2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率． (3)寫出X的分布列． (4)由均值的定義求EX. (5)由方差的定義求DX. 設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分． (1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變

9、量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. [解]　(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6， 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由題意知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以Eη＝＋＋＝， Dη＝2·＋2·＋2·＝，化簡得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 均值與

10、方差在決策中的應(yīng)用 【例2】　根據(jù)某水文觀測點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某河流每年最高水位X(單位：米)的頻率分布直方圖如圖： 將河流最高水位落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每年河流最高水位相互獨(dú)立． (1)求在未來三年里，至多有一年河流最高水位X∈[27,31)的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)； (2)該河流對沿河A企業(yè)影響如下：當(dāng)X∈[23,27)時(shí)，不會(huì)造成影響；當(dāng)X∈[27,31)時(shí)，損失10 000元；當(dāng)X∈[31,35]時(shí)，損失60 000元．為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對方案： 方案一：防御35米的最高水位，每年需要工程費(fèi)用3 800元； 方案二：防御31米的最高水位，每年需要工程

11、費(fèi)用2 000元； 方案三：不采取措施． 試比較上述三種方案，哪種方案好，并請說明理由． [解]　(1)由題意得P(27≤X＜31)＝0.25＝. 設(shè)在未來3年里，河流最高水位x∈[27,31)發(fā)生的年數(shù)為Y，則Y～N. 設(shè)事件“在未來三年里，至多有一年河流最高水位X∈[27,31)”為事件A， 則P(A)＝P(Y＝0)＋P(Y＝1)＝C3＋C2×＝. 所以在未來三年里，至多有一年河流最高水位X∈[27,31)的概率為. (2)方案二好，理由如下： 由題意得P(23≤X＜27)＝0.74， P(31≤X≤35)＝0.01， 用X1，X2，X3分別表示方案一、方案二、方案三

12、的損失， 由題意得X1＝3 800，X2的分布列為 X2 2 000 62 000 P 0.99 0.01 所以EX2＝62 000×0.01＋2 000×0.99＝2 600. X3的分布列為 X3 0 10 000 60 000 P 0.74 0.25 0.01 所以EX3＝0×0.74＋60 000×0.01＋10 000×0.25＝3 100. 因?yàn)槿N方案中方案二的平均損失最小，所以采取方案二好． [規(guī)律方法]　利用均值、方差進(jìn)行決策的兩個(gè)方略 (1)當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷． (2)若兩隨機(jī)變量均值相

13、同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策． 某供貨商計(jì)劃將某種大型節(jié)日商品分別配送到甲、乙兩地銷售，據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩地該商品需求量(單位：件)的頻率分布表如下： 甲地需求量頻率分布表 需求量/件 4 5 6 頻率 0.5 0.3 0.2 乙地需求量頻率分布表 需求量/件 3 4 5 頻率 0.6 0.3 0.1 以兩地需求量的頻率估計(jì)需求量的概率． (1)若此供貨商計(jì)劃將10件該商品全部配送至甲、乙兩地，為保證兩地不缺貨(配送量≥需求量)的概率均大于0.7，問該商品的配送方案有哪幾種？ (2)

14、已知甲、乙兩地該商品的銷售相互獨(dú)立，該商品售出，供貨商獲利2萬元/件；未售出的，供貨商虧損1萬元/件．在(1)的前提下，若僅考慮此供貨商所獲凈利潤，試確定最佳配送方案． [解]　(1)由表格可知，甲地不缺貨的概率大于0.7時(shí)，至少需配貨5件；乙地不缺貨的概率大于0.7時(shí)，至少需配貨4件． 故共有兩種方案：方案一是甲地配5件，乙地配5件；方案二是甲地配6件，乙地配4件． (2)方案一：甲地配5件，乙地配5件時(shí)，記甲地的利潤為X1萬元，乙地的利潤為Y1萬元，則X1，Y1的分布列分別為 X1 7 10 P 0.5 0.5 Y1 4 7 10 P 0.6 0.3

15、0.1 所以選擇方案一時(shí)，此供貨商凈利潤的期望為E(X1)＋E(Y1)＝(7×0.5＋10×0.5)＋(4×0.6＋7×0.3＋10×0.1)＝8.5＋5.5＝14(萬元)． 方案二：甲地配6件，乙地配4件時(shí)，記甲地的利潤為X2萬元，乙地的利潤為Y2萬元，則X2，Y2的分布列分別為 X2 6 9 12 P 0.5 0.3 0.2 Y2 5 8 P 0.6 0.4 所以選擇方案二時(shí)，此供貨商凈利潤的期望為E(X2)＋E(Y2)＝(6×0.5＋9×0.3＋12×0.2)＋(5×0.6＋8×0.4)＝8.1＋6.2＝14.3(萬元)． 綜上，僅考慮此供貨商所獲

16、凈利潤，選擇方案二更佳． 正態(tài)分布 【例3】　(2017·全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)． (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． ①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方

17、法的合理性； ②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得＝xi＝9.97，s＝＝)≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16. 用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值σ，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)． 附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分

18、布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ

19、的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的． ②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估計(jì)值為μ＝9.97，σ的估計(jì)值為σ＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． 剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(16×9.97－9.22)＝10.02. 因此μ的估計(jì)值為10.02. x＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除

20、(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估計(jì)值為≈0.09. [規(guī)律方法]　正態(tài)分布下的概率計(jì)算常見的兩類問題 (1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1的性質(zhì)． (2)利用3σ原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè)． (1)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影

21、部分(曲線C為正態(tài)分布N(－1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%， P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%. A．1 193 　　　 B．1 355 C．2 718 　　　 D．3 413 (2)甲、乙兩廠生產(chǎn)的一批零件尺寸服從N(5,0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我們就有理由認(rèn)為生產(chǎn)中可能出現(xiàn)了異常情況．現(xiàn)從甲、乙兩廠各抽取10件零件檢測，尺寸如莖葉圖所示： 則以下判斷正確的是(　　) A．甲、乙兩廠生產(chǎn)都出現(xiàn)異常 B．甲、乙兩廠生產(chǎn)都正常 C．甲廠生產(chǎn)正常，乙廠

22、出現(xiàn)異常 D．甲廠生產(chǎn)出現(xiàn)異常，乙廠正常 (1)B　(2)D　[(1)對于正態(tài)分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正態(tài)曲線關(guān)于x＝－1對稱，故題圖中陰影部分的面積為×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]＝×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝×(95.4%－68.3%)＝0.135 5，所以點(diǎn)落入題圖中陰影部分的概率P＝＝0.135 5，投入10 000個(gè)點(diǎn)，落入陰影部分的個(gè)數(shù)約為10 000×0.135 5＝1 355. (2)由甲、乙兩廠生產(chǎn)的一批零件尺寸服從N(5,0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)，即區(qū)間(4.7,5.3)

23、，根據(jù)莖葉圖可知，甲廠生產(chǎn)的零件有1件尺寸超出上述區(qū)間，乙廠生產(chǎn)的零件尺寸均在上述區(qū)間，所以甲廠生產(chǎn)出現(xiàn)異常、乙廠生產(chǎn)正常．故選D．] 　(2018·全國卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立． (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0. (2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中

24、確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． ①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX； ②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？ [解]　(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Cp2(1－p)18.因此 f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)． 令f′(p)＝0，得p＝0.1.當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí)，f′(p)＞0；當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí)，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1. ①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y. 所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490. ②如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元． 由于EX＞400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)． - 10 -