6、式為________.
答案 (1)C (2)[-1,2) (-1,1] (3)4 (4)f(x)=x+
題型一 函數(shù)的三種表示方法
例1 某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電,每臺(tái)售價(jià)3000元,試求售出臺(tái)數(shù)x(臺(tái))與收款總額y(元)之間的函數(shù)關(guān)系,分別用列表法、圖像法、解析法表示出來(lái).
[解] (1)列表法:
(2)圖像法:
(3)解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}.
金版點(diǎn)睛
函數(shù)的表示方法
(1)解析法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):一是簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系;二是可以通過解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.中學(xué)階段所研究的主要是能夠用解析式表示的函數(shù).
7、
(2)圖像法的優(yōu)點(diǎn)是能直觀形象地表示出隨自變量的變化,相應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì),有利于我們通過圖像來(lái)研究函數(shù)的某些性質(zhì).圖像法在生產(chǎn)和生活中有許多應(yīng)用,如企業(yè)生產(chǎn)圖、股市走勢(shì)圖等.
(3)列表法的優(yōu)點(diǎn)是不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,表格法在實(shí)際生產(chǎn)和生活中也有廣泛應(yīng)用,如銀行利率表、列車時(shí)刻表等.
某問答游戲的規(guī)則是:共5道選擇題,基礎(chǔ)分為50分,每答錯(cuò)一道題扣10分,答對(duì)不扣分,試分別用列表法、圖像法、解析法表示一個(gè)參與者的得分y與答錯(cuò)題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關(guān)系.
解 (1)該函數(shù)關(guān)系用列表法表示為:
x/道
0
8、
1
2
3
4
5
y/分
50
40
30
20
10
0
(2)該函數(shù)關(guān)系用圖像法表示,如圖.
(3)該函數(shù)關(guān)系用解析法表示為y=50-10x(x∈{0,1,2,3,4,5}).
題型二 作函數(shù)的圖像
例2 作出下列各函數(shù)的圖像:
(1)y=1-x,x∈Z;
(2)y=x2+2x,x∈[-2,2].
[解] (1)列表:
x
…
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
-1
-2
…
描點(diǎn)可得這個(gè)函數(shù)的圖像由一些點(diǎn)組成,這些點(diǎn)都在直線y=1-x上,
∵x∈Z,∴y∈Z,這些點(diǎn)稱為整
9、點(diǎn),如圖(1)所示.
(2)列表:
x
-2
-1
0
1
2
y
0
-1
0
3
8
描點(diǎn)、連線可得這個(gè)函數(shù)的圖像是拋物線y=x2+2x在-2≤x≤2之間的部分,如圖(2)所示.
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作函數(shù)圖像應(yīng)注意的問題
(1)作函數(shù)圖像主要有三步:列表、描點(diǎn)、連線.作圖像時(shí)一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域,再在定義域內(nèi)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,最后列表畫出圖像.
(2)函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線,也可能是一群孤立的點(diǎn),畫圖時(shí)要注意關(guān)鍵點(diǎn),如圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn),二次函數(shù)的頂點(diǎn)等等,還要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn).
畫出下列函數(shù)的圖像:
10、
(1)y=x+1(x≤0);
(2)y=x2-2x(x>1或x<-1).
解 (1)y=x+1(x≤0)表示一條射線,圖像如圖(1).
(2)y=x2-2x=(x-1)2-1,(x>1或x<-1)是拋物線y=x2-2x去掉-1≤x≤1之間的部分后剩余的曲線,如圖(2).
題型三 函數(shù)解析式的求法
例3 (1)已知f(x)是一次函數(shù),且f[f(x)]=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式.
[解] (1)設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),
則f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4.
∴解得k=3,b=1或
11、k=-3,b=-2.
∴f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
(2)解法一(配湊法):
∵f(+1)=x+2=(+1)2-1(+1≥1),
∴f(x)=x2-1(x≥1).
解法二(換元法):
令+1=t(t≥1),則x=(t-1)2(t≥1),
∴f(t)=(t-1)2+2=t2-1(t≥1).
∴f(x)=x2-1(x≥1).
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求函數(shù)解析式的五種常用方法
(1)待定系數(shù)法:已知函數(shù)f(x)的函數(shù)類型,求f(x)的解析式時(shí),根據(jù)類型設(shè)出其解析式,確定其系數(shù)即可.
(2)換元法:即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一個(gè)含t的解析式,即為函數(shù)解析
12、式,注意:換元后新元的范圍.
(3)配湊法:已知f[g(x)]的解析式,要求f(x)時(shí),可從f[g(x)]的解析式中拼湊出“g(x)”,即用g(x)來(lái)表示f(x),再將解析式兩邊的g(x)用x代替即可.
(4)代入法:已知y=f(x)的解析式求y=f[g(x)]的解析式時(shí),可直接用新自變量g(x)替換y=f(x)中的x.
(5)方程組法:當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個(gè)表達(dá)式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí),可構(gòu)造方程組求解.
(1)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,求該二次函數(shù)的解析式;
(2)已知函數(shù)f(x+1)=x2-3x+2,求f
13、(x);
(3)已知f(+4)=x+8,求f(x2);
(4)已知函數(shù)y=f(x),滿足2f(x)+f=2x,x∈R且x≠0,求f(x).
解 (1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為
f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由題意,得
解得故f(x)=x2+1.
(2)解法一:令x+1=t,則x=t-1,
代入,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2,
即f(t)=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.
解法二:f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1
=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.
(3)解法一:∵f(+4)=()2+8=(+4)
14、2-16,
∴f(x)=x2-16(x≥4).
∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2).
解法二:令+4=t(t≥4),則x=(t-4)2.
∴f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t2-16(t≥4),
即f(x)=x2-16(x≥4).
∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2).
(4)用代替x有2f+f(x)=,
所以有
①×2-②,得3f(x)=4x-,即f(x)=-(x≠0).
題型四 分段函數(shù)
例4 (1)已知函數(shù)f(x)=
①求f(2),f;
②若f(a)=3,求a的值;
(2)已知函數(shù)f(x)=
①畫出函數(shù)f(x)的圖像;
②求函數(shù)f
15、(x)的定義域和值域;
③利用圖像解不等式f(x)>x.
[解] (1)①f(2)=2×2=4,f=2=.
②當(dāng)a≤-1時(shí),f(a)=a+2,即a+2=3,
∴a=1(舍去).
當(dāng)-11時(shí),f(x)=1,所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,1].
③由圖像,知不
16、等式f(x)>x的解集為{x|x<0}.
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分段函數(shù)求值應(yīng)注意的問題
(1)分段函數(shù)求值,一定要注意所給自變量的值所在的范圍,然后代入相應(yīng)的解析式求得,當(dāng)不明確時(shí)要分類討論.
(2)分段函數(shù)的解析式因其特點(diǎn)可以分成兩個(gè)或兩個(gè)以上的不同解析式,所以它的圖像也由幾部分構(gòu)成,有的可以是光滑的曲線段,有的也可以是一些孤立的點(diǎn)或幾段線段,而分段函數(shù)的定義域與值域的最好的求法也是“圖像法”,分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是分別求出各段上的值域的并集.
(1)已知函數(shù)f(x)=則f=________;
(2)如圖所示,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P,沿逆時(shí)針方向
17、由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng),設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x,△ABP的面積為y.
①根據(jù)題意寫出y與x之間的函數(shù)解析式;
②作出函數(shù)的圖像,并根據(jù)圖像求y的最大值.
答案 (1) (2)見解析
解析 (1)由于≤1,所以f=-2=-,
而>1,所以f=1+2=.
所以f=.
(2)①點(diǎn)P移動(dòng),△ABP的面積隨之變化,可分點(diǎn)P落在邊BC上,CD上,DA上三種情況進(jìn)行討論,得關(guān)系式
y=
②函數(shù)的圖像如圖所示.由圖像可得ymax=8.
1.在下面四個(gè)圖中,可表示函數(shù)y=f(x)的圖像的只可能是( )
答案 D
解析 根據(jù)函數(shù)的定義,任意作出與x軸垂直的直線
18、,直線與函數(shù)圖像至多有一個(gè)交點(diǎn),因此只有D符合.
2.若f(x)=3x-4,g(x-1)=f(x),則g(x)=( )
A.3x-3 B.3x-5
C.3x-1 D.3x+4
答案 C
解析 ∵g(x-1)=3x-4=3(x-1)-1,
∴g(x)=3x-1.
3.函數(shù)y=x+的圖像是圖中的( )
答案 C
解析 ∵y=x+=畫出圖像即為C.
4.設(shè)函數(shù)f(x)=則f的值為______.
答案
解析 f=,f=f=.
5.某市“招手即?!惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定:
(1)5 km以內(nèi)(含5 km),票價(jià)2元;
(2)5 km以上,每增加5 km,票價(jià)增加1元(不足5 km的部分按5 km計(jì)算).
如果某條線路的總里程為20 km,請(qǐng)根據(jù)題意,寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式,并畫出函數(shù)的圖像.
解 設(shè)里程為x km時(shí),票價(jià)為y元.
由題意可知,自變量x的取值范圍是(0,20].由“招手即?!惫财嚻眱r(jià)的制定規(guī)則,可得函數(shù)解析式為
y=
根據(jù)這個(gè)函數(shù)的解析式,可畫出函數(shù)的圖像,如圖所示.
11