《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 等式與不等式 2.2.1 不等式及其性質(zhì)學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 等式與不等式 2.2.1 不等式及其性質(zhì)學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.2.1 不等式及其性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案 1、掌握不等式5個(gè)性質(zhì)與5個(gè)推論. 2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式. 3、熟練靈活運(yùn)用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式. 【重點(diǎn)】 1、掌握不等式5個(gè)性質(zhì)與5個(gè)推論. 2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式. 3、熟練靈活運(yùn)用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式. 【難點(diǎn)】 1、 正確選用性質(zhì)推理和思想方法來證明不等式. 【情境與問題】 你見過下圖中的高速公路指示牌嗎？左邊的指示牌是指對(duì)應(yīng)的車道只能供小客車行駛，而且小客車的速率v1（單位：km/h，下同）應(yīng)該滿足 100≤

2、v1≤120； 右邊的指示牌是指對(duì)應(yīng)的車道可供客車和貨車行駛，而且車的速率v2應(yīng)該滿足 不等式：在現(xiàn)實(shí)世界里，量與量之間的不等關(guān)系是普遍的，不等式是刻畫不等關(guān)系的工具，我們用數(shù)學(xué)符號(hào) 連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，稱為不等式. 上述不等式符號(hào)中，要特別注意“≥”“≤”.事實(shí)上，住意給定兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，那么

3、 a≥b ? a＞b或a=b a≤b ? 5≥3，2≥2，2≤2這三個(gè)命題都是真命題嗎？ 【想一想】 怎樣理解兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的大小呢？ 我們已經(jīng)知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).一般地，如果點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則稱x為點(diǎn)P的坐標(biāo)，并記作P（x）.另外，數(shù)軸上的點(diǎn)往數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)會(huì)變大，這就是說，兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的相對(duì)位置決定了這兩個(gè)數(shù)的大小、如下圖所示的數(shù)軸中，A（a），B（b），不難看出

4、 b>1>0>a. 此外，我們也知道，一個(gè)數(shù)加上一個(gè)正數(shù)，相當(dāng)于數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向正方向移動(dòng)了一段距離；一個(gè)數(shù)減去一個(gè)正數(shù)（即加上一個(gè)負(fù)數(shù)），相當(dāng)于數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向負(fù)方向移動(dòng)了一段距離。由此可以看出，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b的大小，只要考察a-b與0的相對(duì)大小就可以了，即 a-b<0? a0? a>b. 初中的時(shí)候，我們就已經(jīng)歸納出了不等式的三個(gè)性質(zhì)： 性質(zhì)1 性質(zhì)2 性

5、質(zhì)3 【嘗試與發(fā)現(xiàn)】 你能利用前面的知識(shí)，給出性質(zhì)1的直觀理解以及這三個(gè)性質(zhì)的證明嗎？ 事實(shí)上，如下圖所示，a>b是指點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，a+c和b+c表示點(diǎn)A和點(diǎn)B在數(shù)軸上做了相同的平移，平移后得到的點(diǎn)A'和B'的相對(duì)位置，與A和B的相對(duì)位置是一樣的，因此a+c>b+c. 性質(zhì)1可以用如下方式證明：因?yàn)? （a+c）-（b+c）=a+c-b-c=a-b， 又因?yàn)閍>b，所以a-b>0，從而 （a+c）-（b+c）>0. 因此a+c>b+c. 性質(zhì)2可以用類似的方法證明：因?yàn)?

6、 ac-bc=（a-b）c， 又因?yàn)閍>b，所以a-b>0，而c>0，因此 （a-b）c>0， 因此ac-bx>0，即ac>bc. 性質(zhì)3的證明留作練習(xí). 用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空： （1）a>b是a+c>b+c的 條件； （2）如果c>0，則a>b是ac>bc的 條件； （3）如果c<0，則a>b是ac

7、 直觀上，如下圖所示，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)C的右側(cè)，因此點(diǎn)A必定在點(diǎn)C的右側(cè). 證明 因?yàn)? a-c=（a-b）+（b-c）， 又因?yàn)閍>b，所以a-b>0；且b>c，所以b-c>0，因此 （a-b）+（b-c）>0， 從而a-c>0，即a>c. 性質(zhì)4通常稱為不等關(guān)系的 ，.我們前面在判斷x2>-1等類似命題的真假時(shí)就用過不等關(guān)系的傳遞性。 性質(zhì)5 這只要利用a-b=-（b-a）就可以證明，請(qǐng)讀者自行嘗試. 另外，值得注意的是

8、，上述不等式性質(zhì)對(duì)任意滿足條件的實(shí)數(shù)都成立，因此我們可以用任意滿足條件的式子去代替其中的字母。 【典型例題】 例1 比較x2-x和x-2的大小. 例1的證明中用了配方法，這種方法經(jīng)常用于式子變形，大家應(yīng)熟練掌握. 需要注意的是，前面我們證明不等式性質(zhì)和解答例1的方法，其實(shí)質(zhì)都是通過比較兩式之差的符號(hào)來判斷兩式的大小，這種方法通常稱為作差法.在證明不等式時(shí)，當(dāng)然也可直接利用已經(jīng)證明過的不等式性質(zhì)等。從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中通常稱為綜合法.下面我們用綜合法來得出幾個(gè)常用的不等式性質(zhì)的推論. 推論1

9、 . 證明 a+b>c?a+b+（-b）>c+（-b）?a>c-b. 推論1表明，不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊.推論1通常稱為不等式的移項(xiàng)法則. 推論2 證明 根據(jù)性質(zhì)1有 a> b?a+c>b+c， b> d?b+c>b+d， 再根據(jù)性質(zhì)4可知 a+c>b+d. 我們把a(bǔ)>b和c>d（或a

10、加，所得到的不等式與原不等式同向.很明顯，推論2可以推廣為更一般的結(jié)論： 有限個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向。 推論3 證明 根據(jù)性質(zhì)2有 a>b，c>0?ac>bc， c>d，b>0?bc>bd， 再根據(jù)性質(zhì)4可知 ac>bd. 很明顯，這個(gè)推論也可以推廣為更一般的結(jié)論： 幾個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向. 推論4

11、 這個(gè)結(jié)論的證明只要多次使用推論3的結(jié)論即可. 推論5 證明 假設(shè)≤，即 <或=， 根據(jù)推論4和二次根式的性質(zhì)，得 ab矛盾，因此假設(shè)不成立，從而>. 證明推論5中不等式的方法具有什么特征？ 【嘗試與發(fā)現(xiàn)】 可以看出，推論5中證明方法的實(shí)質(zhì)是：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立。這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為

12、 ，反證法是一種間接證明的方法. 例2 （1）已知a>b，cb-d； （2）已知a>b，ab>0，求證： （3）已知a>b>0，0

13、就是不斷尋找結(jié)論成立的充分條件.的證明過程也可簡(jiǎn)寫為：因?yàn)? 例3 已知m>0，求證： 1.判斷下列命題的真假： （1）當(dāng)x=3時(shí)，x≥3； （2）當(dāng)x≥3時(shí)，x=3； （3）當(dāng)x≥3且x≤3時(shí)，x=3. 2.用“ >”或“<”填空： （1）x+5 x+2； （2）ab

14、acba-1 b-2； （6）a>b>0，cb，c<0，那么ac