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1、
一元二次不等式
一、考點(diǎn)突破
知識點(diǎn)
課標(biāo)要求
題型
說明
一元二次不等式
1. 掌握簡單的一元二次不等式的解法。
2. 掌握一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)、方程的關(guān)系。
選擇題
填空題
一元二次不等式是解不等式的基礎(chǔ),要認(rèn)真掌握。并注意體會不等式、函數(shù)、方程間的相互轉(zhuǎn)化思想。
二、重難點(diǎn)提示
重點(diǎn):理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系;理解一元二次不等式的恒成立問題;從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型。
難點(diǎn):理解二次函數(shù)圖象、一元二次方程的根與一元二次不等式解集之間的關(guān)系。
考點(diǎn)一:一元二次不等式及其解集
(1)概念
形如或(
2、其中)的不等式叫做一元二次不等式。
(2)與二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c
(a>0)的圖象
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2且x1<x2
有兩個(gè)相等的
實(shí)數(shù)根x1,x2
沒有實(shí)數(shù)根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x|x>x2或x<x1}
{x|x≠-}
R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
?
?
考點(diǎn)二:一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的一般步驟是:
(1)對不等式變形,使一端為零且二
3、次項(xiàng)系數(shù)大于零;
(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式;
(3)當(dāng)時(shí),求出相應(yīng)的一元二次方程的根;
(4)根據(jù)一元二次不等式解的結(jié)構(gòu),寫出其解。
【核心歸納】
其中對的解的結(jié)構(gòu)可記為“”的解為“大于大根或小于小根”,“”的解為“大于小根且小于大根”,總結(jié)為“大于0取兩邊,小于0去中間”。
【隨堂練習(xí)】若不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|-3<x<4},求不等式bx2+2ax-c-3b<0的解集。
思路分析:由不等式的解集→方程的解→利用韋達(dá)定理求a、b、c關(guān)系→解所求不等式
答案:∵ax2+bx+c>0的解集為{x|-3<x<4},
∴a<0且-3和4是方程ax2+bx+c=0的
4、兩根。
由韋達(dá)定理,得
即
∵不等式bx2+2ax-c-3b<0,
∴-ax2+2ax+15a<0,即x2-2x -15<0。
故所求的不等式的解集為{x|-3<x<5}。
技巧點(diǎn)撥:
1. 一元二次不等式解集的區(qū)間端點(diǎn)值就是相應(yīng)方程的實(shí)根,也是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn),三者之間的相互轉(zhuǎn)化是本題求解的關(guān)鍵。
2. 由一元二次不等式解集的情況,還可判斷出二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),解題時(shí)也要注意到。
例題1 (一元二次不等式的基本解法)
解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;(2) 2x2-4x+7<0;
(3)-6x2-x+2≥0;(4)-4x2≥1-4x。
思路分析
5、:化一邊為0→二次項(xiàng)系數(shù)化為正→求對應(yīng)方程的根→二次函數(shù)圖象與解集
答案:(1)∵Δ=(-3)2-4×2×(-2)=25>0,
∴方程2x2-3x-2=0的兩根是-,2,
∴原不等式的解集為;
(2)∵Δ=(-4)2-4×2×7<0,
∴不等式2x2-4x+7<0的解集為;
(3)原不等式可化為6x2+x-2≤0,
∵Δ=12-4×6×(-2)>0,
∴方程6x2+x-2=0的兩根是-,,
∴原不等式的解集為;
(4)原不等式可化為4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0,
∴原不等式的解集是;
技巧點(diǎn)撥:
1. 本題給出了解一元二次不等式的各種常見類型,要認(rèn)真體會
6、。
2. 一元二次不等式的解集一定要寫成集合或區(qū)間的形式,尤其要注意“>”與“≥”,“<”與“≤”符號的區(qū)分。
例題2 (含參數(shù)的一元二次不等式的解法)
解關(guān)于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0(a∈R)。
思路分析:當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集→a<0時(shí),不等式的解集→a>0時(shí)不等式的解集
答案:若a=0,原不等式可化為-x+1<0,
即x>1;
若a<0,原不等式可化為(x-)(x-1)>0,
即x<或x>1;
若a>0,原不等式可化為(x-)(x-1)<0。(*)
其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定,故
(1)當(dāng)a=1時(shí),由(*)式可得x∈;
(2)當(dāng)a>1
7、時(shí),由(*)式可得<x<1;
(3)當(dāng)0<a<1時(shí),由(*)式可得1<x<。
綜上所述:當(dāng)a<0時(shí),解集為{x|x<或x>1};
當(dāng)a=0時(shí),解集為{x|x>1};
當(dāng)0<a<1時(shí),解集為{x|1<x<};
當(dāng)a=1時(shí),解集為?;
當(dāng)a>1時(shí),解集為{x|<x<1}。
技巧點(diǎn)撥:
1. 含參數(shù)的一元二次不等式中,若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù),則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零,然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)的情形,以便確定解集的形式。
2. 其次對方程的根比較大小,由根的大小確定參數(shù)的范圍,然后根據(jù)范圍對參數(shù)分類討論。
例題3 (恒成立問題)
若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-
8、1)<0對任何實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
思路分析:對任何實(shí)數(shù)x恒成立?不等式解集為實(shí)數(shù)集R→討論m+1的取值情況
答案:由題意可知當(dāng)m+1=0,即m=-1時(shí),
原不等式可化為2x-6<0,
解得x<3,不符合題意,應(yīng)舍去;
當(dāng)m+1≠0時(shí),由(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0對任何實(shí)數(shù)x恒成立,
則有
解得m<-。
綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-)。
技巧點(diǎn)撥:
1. 不等式ax2+bx+c>0的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a=0時(shí),b=0,c>0;
當(dāng)a≠0時(shí),
2. 不等式ax2+bx+c<0的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是
9、當(dāng)a=0時(shí),b=0,c<0;
當(dāng)a≠0時(shí),
類似地,還有f(x)≤a恒成立?[f(x)]max≤a;f(x)≥a恒成立?[f(x)]min≥a。
【綜合拓展】
綜合型不等式的解法
(1)解不等式(x+1)(2-x)(x-3)>0。
(2)設(shè)a<1,解關(guān)于x的不等式。
思路分析:(1)兩邊都乘以,再利用根軸法求解。
(2)解含參數(shù)的不等式時(shí),一般要利用轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想,在轉(zhuǎn)化時(shí)一定要注意等價(jià)性原則。
答案:(1)原不等式可化為(x+1)(x-2)(x-3)<0,且方程(x+1)(x-2)(x-3)=0的根為x1=-1,x2=2,x3=3,
則由穿針引線法(
10、如圖)可得原不等式的解集為{x|x<-1或2<x<3}。
(2)原不等式可化為
①當(dāng)a=0時(shí),化為>0,
∴-2<x<0;
②當(dāng)0<a<1時(shí),化為>0,
此時(shí)-2<-a<,∴-2<x<-a或x>。
③當(dāng)a<0時(shí),化為<0;
當(dāng)a<-時(shí),有x<-2或<x<-a;
當(dāng)a=-時(shí),有x<且x≠-2;
當(dāng)-<a<0時(shí),有x<或-2<x<-a。
綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為{x|-2<x<0};
當(dāng)0<a<1時(shí),不等式的解集為{x|-2<x<-a或x>};
當(dāng)a<-時(shí),不等式的解集為{x|x<-2或<x<-a};
當(dāng)a=-時(shí),不等式的解集為{x|x<且x≠-2};
11、當(dāng)-<a<0時(shí),不等式的解集為{x|x<或-2<x<-a}。
技巧點(diǎn)撥:
解一元高次不等式關(guān)鍵是掌握根軸法的規(guī)則。
解分式不等式的主要方法是移項(xiàng)、通分、因式分解、右邊化為0,利用實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號法則等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)求解,本題第二步含有參數(shù)的分式不等式,解含參數(shù)的不等式要注意以下基本策略:
1. 分清主變量與參變量,正確實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化;
2. 在轉(zhuǎn)化過程中,考慮參數(shù)在取值范圍內(nèi)對運(yùn)算結(jié)果是否有影響,從哪一步開始對結(jié)果有影響,就從哪一步展開對參數(shù)的討論;
3. 對不同的參數(shù)取值范圍所得的結(jié)果,不能取交集,也不能取并集(因?yàn)椴皇菍χ髯兞縳的討論),而應(yīng)按參數(shù)分類的方法依次列出。
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