《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第4節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教學(xué)案 理（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第4節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教學(xué)案 理（含解析）北師大版（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 [考綱傳真]　1.理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解兩個具體復(fù)數(shù)相加、減的幾何意義． 1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)復(fù)數(shù)的模：向量的

2、模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．復(fù)數(shù)的幾何意義 復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)平面向量＝(a，b)． 3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算 (1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)

3、合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． 3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若a∈C，則a2≥0. (　　) (2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)． (　　) (3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部為bi.

4、(　　) (4)方程x2＋x＋1＝0沒有解． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則|z|等于(　　) A．1　　　　B．　　　　C.　　　　D．2 A　[＝i，則z＝＝i， ∴|z|＝1.] 3．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[∵＝＝＝i－1， ∴該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)(－1,1)位于第二象限．] 4．(教材改編)在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　) A．1－2i B

5、．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i D　[∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故選D．] 5．(教材改編)已知(1＋2i)＝4＋3i，則z＝________. 2＋i　[由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i. ∴z＝2＋i.] 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 1．(2019·福州四校聯(lián)考)如果復(fù)數(shù)z＝，則(　　) A．z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i　　　　B．z的實(shí)部為1 C．|z|＝2 D．z的實(shí)部為－1 D　[∵z＝＝＝＝－1－i，∴z的實(shí)部為－1，故選D．] 2．(2019·江西九校聯(lián)考)設(shè)(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則＝(　　

6、) A．1　　　　B． C.　　　　D． D　[由x＋2xi＝x＋yi，x，y∈R，則y＝2x，＝|2＋i|＝，故選D．] 3．如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)m等于(　　) A．－1 B．0 C．0或1 D．0或－1 D　[＝＝，因?yàn)榇藦?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以解得m＝－1或0，故選 D．] [規(guī)律方法]　解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng) (1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可． (2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部． 復(fù)數(shù)的代

7、數(shù)運(yùn)算 【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅱ)＝(　　) A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i (2)(2019·山西八校聯(lián)考)已知a，b∈R，i為虛數(shù)單位，若3－4i3＝，則a＋b等于(　　) A．－9　　　　B．5 C．13　　　　D．9 (3)已知復(fù)數(shù)z滿足：(z－i)(1＋2i)＝i3(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部等于(　　) A．－　　　B．－ C.　　　D． (1)D　(2)A　(3)C　[(1)＝＝－＋i，故選D． (2)由3－4i3＝得，3＋4i＝，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，則解得故

8、a＋b＝－9，故選A. (3)z＝＋i＝＋i＝＋i＝－＋i，故選C.] [規(guī)律方法]　復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式運(yùn)算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式． (1)(2019·湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z滿足(z－i)·(1＋i)＝2－i，則·z＝(　　) A．1 B． C. D． (2)(2019·皖南八校聯(lián)考)設(shè)i是虛數(shù)單位，且i2 019＝，則實(shí)數(shù)k＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 (1)B　(2)C　[(1)由已知，得z＝＋i＝＋i＝－i＋i＝－i， 則·z＝|z|2＝2＋2＝，故選B． (

9、2)因?yàn)閕2 019＝i504×4＋3＝i3＝－i，所以－i＝， 可得k＋i＝i－k， ∴k＝0，故選C.] 復(fù)數(shù)的幾何意義 【例2】　(1)(2018·北京高考)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z＝所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱的點(diǎn)為A，則A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　) A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i (3)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞)

10、 D．(－1，＋∞) (1)D　(2)B　(3)B　[(1)＝＋，其共軛復(fù)數(shù)為－，對應(yīng)點(diǎn)位于第四象限，故選D． (2)因?yàn)閦＝＝＝i(1－i)＝1＋i， 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，－1)，其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1－i. (3)因?yàn)閺?fù)數(shù)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以解得a＜－1.] [規(guī)律方法]　對復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用 (1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?. (2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直

11、觀． (1)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)z1·z2對應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若復(fù)數(shù)z滿足|z－i|≤(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為________． (1)D　(2)2π　[(1)由已知＝(－2，－1)，＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i， 它所對應(yīng)的點(diǎn)為(1，－2)，在第四象限． (2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤得|x＋(y－1)i|≤，所以≤，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形是以點(diǎn)(0,1

12、)為圓心，以為半徑的圓及其內(nèi)部，它的面積為2π.] 1．(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0　　　　B．　　　　C．1　　　　D． C　[因?yàn)閦＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故選C.] 2．(2018·全國卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i D　[(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.] 3．(2017·全國卷Ⅲ)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝i(－2＋i)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[∵z＝i(－

13、2＋i)＝－1－2i，∴復(fù)數(shù)z＝－1－2i所對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為Z(－1，－2)，位于第三象限． 故選C.] 4．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x＋yi|＝(　　) A．1　　　　 B．　　　　 C.　　　　 D．2 B　[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi. 又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1. ∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故選 B．] 5．(2016·全國卷Ⅲ)若z＝1＋2i，則＝(　　) A．1　　　　 B．－1　　　　 C．i　　　　 D．－i C　[因?yàn)閦＝1＋2i，則＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，則＝＝i.故選C.] 6．(2016·全國卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) A　[由題意知即－3＜m＜1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－3,1)．] - 7 -