《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修4（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、§1　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.(重點(diǎn)) 2.會利用這兩個公式求三角函數(shù)式的值，化簡三角函數(shù)式或證明三角恒等式．(難點(diǎn)) 1.通過學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2.通過運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡或證明三角恒等式，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng). 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 (1)關(guān)系式 ①平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝__1__； ②商數(shù)關(guān)系：＝tan__α. (2)文字?jǐn)⑹? 同一個角 α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 α的正切． (3)變形形式

2、 ①1＝sin2α＋cos2α； ②sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α； ③sin α＝± ；cos α＝± ； ④sin α＝cos αtan α； ⑤(sin α±cos α)2＝1±2sin_αcos__α. 思考：sin230°＋cos245°等于1嗎？ 有意義嗎？ [提示]　不等于1，分母為0，無意義． 1．已知sin α＝－，α是第三象限角，則tan α等于(　　) A．　　　　B．－　　　　C．　　　　D．－ C　[因為sin α＝－，且α是第三象限角．所以cos α＝－＝－. 所以tan α＝＝.] 2．已知3sin α＋cos

3、 α＝0，則tan α＝________. －　[因為3sin α＋cos α＝0， 所以cos α＝－3sin α， 所以tan α＝＝＝－.] 3．已知sin θ＝，cos θ＝，則m＝________. 0或8　[由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8.] 4.cos2x＝(　　) A．tan x B．sin x C．cos x D． D　[原式＝cos2x ＝·cos2x＝.] 利用同角基本關(guān)系式求值 【例1】　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． [解]　∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那

4、么 sin α＝＝ ＝， tan α＝＝＝－. 如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－＝－，tan α＝. 已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值時，要注意公式的合理選擇，一般是先選用平方關(guān)系， 再用商數(shù)關(guān)系.另外也要注意“1”的代換，如“1＝sin2α＋cos2α”.本題沒有指出α是第幾象限的角，則必須由cos α的值推斷出α所在的象限，再分類求解. 1．已知tan α＝且α為第三象限角，求sin α，cos α的值． [解]　由tan α＝＝， 得sin α＝cos α.① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得cos2α＋cos2α＝

5、1， 即cos2α＝， 又α是第三象限角， ∴cos α＝－，sin α＝－. 利用sin α±cos α，sin α，cos α之間的關(guān)系求值 【例2】　已知0<α<π，sin α＋cos α＝，求tan α的值． [解]　由sin α＋cos α＝，① 得sin α·cos α＝－<0， 又0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0，則sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝ ＝ ＝ ＝，② 由①②解得sin α＝，cos α＝－， ∴tan α＝＝－. sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三個式

6、子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，利用此關(guān)系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值時，要注意判斷它們的符號． 2．sin αcos α＝，且<α<，則cos α－sin α的值為(　　) A．　 B．－ C． D．－ B　[∵(cos α－sin α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝±. 又<α<，sin α>cos α， ∴cos α－sin α＝－.] 利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡、證明 [探究

7、問題] 1．平方關(guān)系對任意α∈R均成立，對嗎？商數(shù)關(guān)系呢？ [提示]　平方關(guān)系中對任意α∈R均成立，而商數(shù)關(guān)系中α≠kπ＋(k∈Z)． 2．證明三角恒等式常用哪些技巧？ [提示]　切弦互化，整體代換，“1”的代換． 3．證明三角恒等式應(yīng)遵循什么樣的原則？ [提示]　由繁到簡． 【例3】　(1)化簡tan α·，其中α是第二象限角； (2)求證：＝. [思路探究]　(1)先確定sin α，cos α的符號，結(jié)合平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系化簡． (2)逆用平方關(guān)系結(jié)合tan α＝化簡． [解]　(1)因為α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0. 故tan α·＝ta

8、n α· ＝tan α ＝·＝·＝－1. (2)證明：左邊＝ ＝ ＝ ＝＝右邊． 所以原式成立． 1．將例3(1)變?yōu)椤啊?，試對該式進(jìn)行化簡． [解]　原式＝ ＝ ＝＝＝1. 2．將例3(2)變?yōu)樵囎C“＝”． [證明]　左邊＝＝ ＝＝＝右邊，所以等式成立． 1．化簡過程中常用的方法有： (1)化切為弦，即把非正弦、余弦函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)．從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡的目的． (2)對于含有根號的，常把根號下化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的． (3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)

9、次數(shù)，達(dá)到化簡的目的． 2．證明三角恒等式常用的方法有： (1)從一邊開始，證得它等于另一邊； (2)證明左右兩邊都等于同一個式子； (3)變更論證，即通過化除為乘、左右相減等，轉(zhuǎn)化成證明與其等價的等式． 1．“同角”有兩層含義：一是“角相同”；二是“任意性”，即關(guān)系式恒成立，與角的表達(dá)形式無關(guān)．如：sin23α＋cos23α＝1等． 2．已知角α的一個三角函數(shù)值，求α的其他兩個三角函數(shù)值時，要特別注意角所在的象限，以確定三角函數(shù)值的符號． 3．計算、化簡或證明三角函數(shù)式時常用的技巧： (1)“1”的代換．為了解題的需要，有時可以將1用“sin2α＋cos2α”代替．

10、 (2)切化弦．利用商數(shù)關(guān)系把切函數(shù)化為弦函數(shù)． (3)整體代換．將計算式適當(dāng)變形使條件可以整體代入，或?qū)l件適當(dāng)變形找出與算式之間的關(guān)系. 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)對任意角α，＝tan .(　　) (3)利用平方關(guān)系求sin α或cos α?xí)r，會得到正負(fù)兩個值．(　　) (4)若sin α＝，則cos α＝.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．若sin α＝，且α是第二象限角，則tan α的值等于(　　) A．－ B． C．± D．± A　[α為第二象限角，sin α＝

11、，cos α＝－，tan α＝－.] 3．已知角A是三角形的一個內(nèi)角，sin A＋cos A＝，則這個三角形是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 B　[∵sin A＋cos A＝， ∴1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－<0， 又∵A∈(0，π)，sin A>0， ∴cos A<0，A為鈍角．故選B.] 4．已知＝，求下列各式的值． (1)； (2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ. [解]　由已知＝， ∴＝，解得tan θ＝2. (1)原式＝＝＝1. (2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ ＝ ＝ ＝－. - 8 -