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2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第一講 直線與圓學(xué)案 理

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1、 第一講 直線與圓 考點一 直線的方程 1.兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù),則要考慮斜率是否存在. 2.兩個距離公式 (1)兩平行直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0間的距離d=. (2)點(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式d=. [對點訓(xùn)練] 1.(2018·東北三校聯(lián)考)過點(5,2),且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是(  ) A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0或

2、2x-5y=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y-1=0或2x-5y=0 [解析] 當直線過原點時,由題意可得直線方程為2x-5y=0;當直線不經(jīng)過原點時,可設(shè)出其截距式為+=1,再由過點(5,2)即可解出2x+y-12=0,故選B. [答案] B 2.直線l過點(2,2),且點(5,1)到直線l的距離為,則直線l的方程是(  ) A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0 C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0 [解析] 由已知,設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,所以=,解得k=3,所以直線l的方程為3x-y-4=0.故選C. [

3、答案] C 3.(2018·湖北孝感五校聯(lián)考)已知直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線,若點A,B的坐標分別是(-4,2),(3,1),則點C的坐標為(  ) A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(2,-4) [解析] 設(shè)A(-4,2)關(guān)于直線y=2x的對稱點為A′(x,y),則解得即A′(4,-2),∴直線A′C即BC所在直線的方程為y-1=(x-3),即3x+y-10=0.又知點C在直線y=2x上,聯(lián)立解得則C(2,4),故選C. [答案] C 4.(2018·湖南東部十校聯(lián)考)經(jīng)過兩條直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交點,并且

4、垂直于直線3x+4y-7=0的直線方程為________________________. [解析] 解法一:由方程組解得 即交點為, ∵所求直線與直線3x+4y-7=0垂直, ∴所求直線的斜率為k=. 由點斜式得所求直線方程為y-=, 即4x-3y+9=0. 解法二:由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x-3y+m=0, 由方程組可解得交點為, 代入4x-3y+m=0得m=9, 故所求直線方程為4x-3y+9=0. 解法三:由題意可設(shè)所求直線的方程為(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0, 即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0,① 又因為所求直線與直線3x+4

5、y-7=0垂直, 所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0 所以λ=2,代入①式得所求直線方程為4x-3y+9=0. [答案] 4x-3y+9=0 [快速審題] 看到直線方程的求解,想到直線方程的五種形式,想到每種形式的適用條件.  求直線方程的兩種方法 (1)直接法:選用恰當?shù)闹本€方程的形式,由題設(shè)條件直接求出方程中系數(shù),寫出結(jié)果. (2)待定系數(shù)法:先由直線滿足的一個條件設(shè)出直線方程,使方程中含有待定系數(shù),再由題設(shè)條件構(gòu)建方程,求出待定系數(shù). 考點二 圓的方程 1.圓的標準方程 當圓心為(a,b),半徑為r時,其標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,特別地,當圓心

6、在原點時,方程為x2+y2=r2. 2.圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以為圓心,為半徑的圓. [對點訓(xùn)練] 1.(2018·福建漳州模擬)圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為(  ) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1 [解析] ∵點P(x,y)關(guān)于直線y=x對稱的點為P′(y,x), ∴(1,2)關(guān)于直線y=x對稱的點為(2,1), ∴圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線y=x對稱的圓的方

7、程為(x-2)2+(y-1)2=1,故選A. [答案] A 2.(2018·廣東珠海四校聯(lián)考)已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的標準方程為(  ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 [解析] 由題意設(shè)圓心坐標為(a,-a),則有=,即|a|=|a-2|,解得a=1.故圓心坐標為(1,-1),半徑r==,所以圓C的標準方程為(x-1)2+(y+1)2=2.故選B. [答案] B 3.(2018·重慶一模)若P(2,1)為

8、圓(x-1)2+y2=25的弦AB的中點,則直線AB的方程為(  ) A.x-y-1=0 B.2x-y-3=0 C.x+y-3=0 D.2x+y-5=0 [解析] 圓心C的坐標為(1,0),所以直線PC的斜率為kPC==1,所以直線AB的斜率為-1,故直線AB的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0,故選C. [答案] C 4.[原創(chuàng)題]在平面直角坐標系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為_______________________________________________

9、. [解析] 解法一:由題意得:半徑等于==≤≤,當且僅當m=1時取等號,所以半徑最大為r=,所求圓為(x-1)2+y2=2. 解法二:直線mx-y-2m-1=0過定點(2,-1),當切點為(2,-1)時圓的半徑最大,此時半徑r==,故所求圓的方程為(x-1)2+y2=2. [答案] (x-1)2+y2=2 [快速審題] 看到圓的方程,想到圓心與半徑,看到含參數(shù)的直線方程,想到直線是否過定點.  求圓的方程的兩種方法 (1)幾何法:通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,從而求得圓的基本量和方程. (2)代數(shù)法:用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù),從而求得圓

10、的方程,一般采用待定系數(shù)法. 考點三 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1.判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法 (1)代數(shù)法:將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組,利用判別式Δ來討論位置關(guān)系:Δ>0?相交;Δ=0?相切;Δ<0?相離. (2)幾何法:把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較:dr?相離. 2.與圓的切線有關(guān)的結(jié)論 (1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2. (2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)過圓x

11、2+y2=r2外一點P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點為A,B,則過A、B兩點的直線方程為x0x+y0y=r2. [解析] (1)由題意知:圓心坐標為(0,0),半徑為2,則△AOB的邊長為2,所以△AOB的高為,即圓心到直線x-y-a=0的距離為,所以=,解得a=±. (2)當直線斜率不存在時,明顯滿足題意,此時直線l的方程為x=1.當直線斜率存在時,可設(shè)直線l的方程為y-5=k(x-1),再由圓心到直線的距離等于半徑,得=2,解得k=-,所以直線l的方程為4x+3y-19=0. 綜上,直線l的方程為x=1或4x+3y-19=0. (3)直線l的方程為y=kx+1,圓心C(

12、2,3)到直線l的距離d==, 由R2=d2+2 得1=+, 解得k=2或, 所求直線l的方程為y=2x+1或y=x+1. [答案] (1)B (2)x=1或4x+3y-19=0 (3)y=2x+1或y=x+1 [探究追問1] 在本例(3)中若把條件“|MN|=”,改為·=12,其中O為坐標原點,則|MN|=________. [解析] 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 由題意得直線l的方程為y=kx+1, 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0, 所以x1+x2=,x1x2=, ·=x1x2+y1y2=(1+k2

13、)x1x2+k(x1+x2)+1=+8, 由題設(shè)可知+8=12,解得k=1, 所以直線l的方程為y=x+1, 故圓心C在直線l上,所以|MN|=2. [答案] 2 [探究追問2] 在本例(3)中若圓C的方程不變,且過點A(0,1)且斜率為k的直線l上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的取值范圍是________. [解析] 由題意知直線l的方程為y=kx+1,要使直線l上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,只需直線l與圓C′:(x-2)2+(y-3)2=4有公共點,所以≤2,即≤2,解得k≥0. [答案] [0,+∞)

14、  直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時,要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運算量. (2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直,圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式,求切線方程主要選擇點斜式. (3)弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示,l=2(其中l(wèi)為弦長,r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離). [對點訓(xùn)練] 1.(2018·福建福州一模)已知圓O:x2+y2=4上到直線l:x+y=a的距離等于1的點至少有2個,則a的取值范圍為(  ) A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞)

15、 C.(-2,2) D.[-3,3] [解析] 由圓的方程可知圓心為O(0,0),半徑為2,因為圓上的點到直線l的距離等于1的點至少有2個,所以圓心到直線l的距離d

16、 解法二:由x2+y2-2x+10y-24=0, 得圓心坐標為(1,-5),半徑r=5. 圓心到直線x-2y+4=0的距離d==3, 設(shè)兩圓的公共弦長為l, 由r2=d2+2, 得l=2=2=2, 即兩圓的公共弦長為2. [答案] 2 1.(2016·全國卷Ⅱ)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=(  ) A.- B.- C. D.2 [解析] 由已知可得圓的標準方程為(x-1)2+(y-4)2=4,故該圓的圓心為(1,4),由點到直線的距離公式得d==1,解得a=-,故選A. [答案] A 2.(2018·全國卷Ⅲ)

17、直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是(  ) A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3] [解析] 由圓(x-2)2+y2=2可得圓心坐標為(2,0),半徑r=,△ABP的面積記為S,點P到直線AB的距離記為d,則有S=|AB|·d,易知|AB|=2,dmax=+=3,dmin=-=,所以2≤S≤6,故選A. [答案] A 3.(2018·北京卷)在平面直角坐標系中,記d為點P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離.當θ,m變化時,d的最大值為(  ) A.1 B.2

18、 C.3 D.4 [解析] 解法一:由點到直線的距離公式得d= ,cosθ-msinθ= , 令sinα=,cosα=, ∴cosθ-msinθ=sin(α-θ),∴d≤==1+, ∴當m=0時,dmax=3,故選C. 解法二:∵cos2θ+sin2θ=1,∴P點的軌跡是以原點為圓心的單位圓, 又x-my-2=0表示過點(2,0)且斜率不為0的直線, 如圖,可得點(-1,0)到直線x=2的距離即為d的最大值.故選C. [答案] C 4.(2018·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另

19、一點D.若·=0,則點A的橫坐標為________. [解析] 由題意易得∠BAD=45°. 設(shè)直線DB的傾斜角為θ,則tanθ=-, ∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3, ∴kAB=-tan∠ABO=-3. ∴AB的方程為y=-3(x-5), 由得xA=3. [答案] 3 5.(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l:mx+y+3m-=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.若|AB|=2,則|CD|=________. [解析] 由題意可知直線l過定點(-3,),該定點在圓x2+y2=12上,不妨設(shè)點A(-3,),由于|AB

20、|=2,r=2,所以圓心到直線AB的距離為d==3,又由點到直線的距離公式可得d=,∴=3, 解得m=-,所以直線l的斜率k=-m=,即直線l的傾斜角為30°.如圖,過點C作CH⊥BD,垂足為H,所以|CH|=2,在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|==4. [答案] 4 1.近兩年圓的方程成為高考全國課標卷命題的熱點,需重點關(guān)注.此類試題難度中等偏下,多以選擇題或填空題形式考查. 2.直線與圓的方程偶爾單獨命題,單獨命題時有一定的深度,有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置,難度較大,對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上. 熱點課題14 與

21、圓有關(guān)的最值問題 [感悟體驗] 1.(2018·廈門模擬)已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|+|PN|的最小值為(  ) A.5-4 B.-1 C.6-2 D. [解析] 兩圓的圓心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作點C1關(guān)于x軸的對稱點C′1(2,-3),則 (|PC1|+|PC2|)min=|C′1C2|=5,所以(|PM|+ |PN|)min=5-(1+3)=5-4.故選A. [答案] A 2.(2018·寧夏銀川一中檢測)過點

22、M(1,2)的直線l與圓C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B兩點,C為圓心,當∠ACB最小時,直線l的方程是________________. [解析] 驗證得M(1,2)在圓內(nèi),當∠ACB最小時,直線l與CM垂直,又圓心為(3,4),則kCM==1,則kl=-1,故直線l的方程為y-2=-(x-1),整理得x+y-3=0. [答案] x+y-3=0 專題跟蹤訓(xùn)練(二十四) 1.(2018·合肥檢測)直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是(  ) A. B. C.∪ D.∪ [解析] 由直線方程可得該直線的斜率為-,又-1≤-<0,所以傾斜角的取值范

23、圍是.故選B. [答案] B 2.(2018·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則直線l的方程為(  ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 [解析] 由已知得,圓心為(0,3),所求直線的斜率為1,由直線方程的斜截式得,y=x+3,即x-y+3=0,故選D. [答案] D 3.(2018·河北五個一聯(lián)盟聯(lián)考)已知直線l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,則“m=2”是l1平行于l2的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件

24、 D.既不充分也不必要條件 [解析] 當m=2時,直線l1:2x-2y+1=0,直線l2:x-y-1=0,此時直線l1與l2平行,所以充分性成立;當l1∥l2時,-m(m-1)+2=0,即m2-m-2=0,∴m=2或m=-1,經(jīng)檢驗m=-1時,直線l1與直線l2重合,故l1∥l2時,m=2,故必要性成立.綜上,“m=2\”是l1平行于l2的充分必要條件.故選C. [答案] C 4.(2018·陜西西安高三質(zhì)檢)圓:x2+y2-2x-2y+1=0上的點到直線x-y=2距離的最大值是(  ) A.1+ B.2 C.1+ D.2+2 [解析] 將圓的方程化為(x-1)2+(y-1

25、)2=1,即圓心坐標為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x-y=2的距離d==,故圓上的點到直線x-y=2距離的最大值為1+d=1+,故選A. [答案] A 5.(2018·寧夏銀川質(zhì)檢)已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:x2+y2+6x-8y+16=0,則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是(  ) A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切 [解析] 易知圓C2的標準方程為(x+3)2+(y-4)2=9,則圓C1與C2的圓心的距離為=5,又兩圓半徑之和為2+3=5,所以圓C1與圓C2外切,故選B. [答案] B 6.(2018·遼寧第一次質(zhì)量監(jiān)測)已知直線l:y=k(x+)和圓C:x

26、2+(y-1)2=1,若直線l與圓C相切,則k=(  ) A.0 B. C.或0 D.或0 [解析] 因為直線l與圓C相切,所以圓心C到直線l的距離d==1,即|-1+k|=,解得k=0或k=,故選D. [答案] D 7.(2018·長春二檢)圓(x-2)2+y2=4關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程是(  ) A.(x-)2+(y-1)2=4 B.(x-)2+(y-)2=4 C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-)2=4 [解析] 解法一:圓與圓關(guān)于直線對稱,則圓的半徑相同,只需圓心關(guān)于直線對稱即可. 設(shè)所求圓的圓心坐標為(a,b),則 解得所以圓(x-2

27、)2+y2=4的圓心關(guān)于直線y=x對稱的點的坐標為(1,),從而所求圓的方程為(x-1)2+(y-)2=4,故選D. 解法二:由于兩圓關(guān)于直線對稱,因此兩圓心的連線必與該直線垂直,則兩圓心連線的斜率為-,備選項中只有選項D中的圓心與已知圓的圓心連線的斜率為-,故選D. [答案] D 8.已知直線2x+(y-3)m-4=0(m∈R)恒過定點P,若點P平分圓x2+y2-2x-4y-4=0的弦MN,則弦MN所在直線的方程是(  ) A.x+y-5=0 B.x+y-3=0 C.x-y-1=0 D.x-y+1=0 [解析] 對于直線方程2x+(y-3)m-4=0(m∈R),取y=3,則必

28、有x=2,所以該直線恒過定點P(2,3). 設(shè)圓心是C,則易知C(1,2), 所以kCP==1, 由垂徑定理知CP⊥MN,所以kMN=-1. 又弦MN過點P(2,3), 故弦MN所在直線的方程為y-3=-(x-2). 即x+y-5=0. [答案] A 9.(2018·福州質(zhì)檢)過點P(1,-2)作圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則AB所在直線的方程為(  ) A.y=- B.y=- C.y=- D.y=- [解析] 圓(x-1)2+y2=1的圓心為C(1,0),半徑為1,以|PC|==2為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=1,將

29、兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y+1=0,即y=-.故選B. [答案] B 10.(2018·河南名校第二次聯(lián)考)已知m,n,a,b∈R,且滿足3m+4n=6,3a+4b=1,則的最小值為(  ) A. B. C.1 D. [解析] 此題可理解為點A(m,n)和點B(a,b)分別在直線l1:3x+4y=6與l2:3x+4y=1上,求A、B兩點距離的最小值,|AB|=,因為l1∥l2,所以|AB|min==1,故選C. [答案] C 11.(2018·四川成都二模)已知直線l的方程是y=k(x-1)-2,若點P(-3,0)在直線l上的射影為H,O為坐標原點,則|OH|的

30、最大值是(  ) A.5+ B.3+2 C.+ D.+3 [解析] 因為直線l的方程是y=k(x-1)-2,所以直線l過定點M(1,-2).則點P(-3,0)在直線l上的射影H在以PM為直徑的圓上. |PM|==2, 線段PM的中點即圓心C(-1,-1),則|OC|=. 因此,當O,C,H三點共線時,|OH|取得最大值=+. [答案] C 12.(2018·安徽蕪湖六校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.若圓C上存在點M,使|MA|=2|MO|,則圓心C的橫坐標a的取值范圍是(  ) A. B.[

31、0,1] C. D. [解析] 因為圓心在直線y=2x-4上, 所以圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 設(shè)點M(x,y),因為|MA|=2|MO|,所以=2,化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以點M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上. 由題意,點M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點,則|2-1|≤|CD|≤2+1,即1≤≤3. 由≥1得5a2-12a+8≥0,解得a∈R; 由≤3得5a2-12a≤0,解得0≤a≤. 所以點C的橫坐標a的取值范圍為.故選A. [答案] A 二、填空題 13.若點P(1,2)在以

32、坐標原點為圓心的圓上,則該圓在點P處的切線方程為__________________. [解析] 由題意,得kOP==2,則該圓在點P處的切線方程的斜率為-,所以所求切線方程為y-2=-(x-1),即x+2y-5=0. [答案] x+2y-5=0 14.若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則實數(shù)m的值為________. [解析] 因為圓C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,又因為圓C1與圓C2外切,所以+1=5,解得m=9. [答案] 9 15.(2018·衡水中學(xué)模擬)已知直線ax+y-1=0與圓C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A

33、,B兩點,且△ABC為等腰直角三角形,則實數(shù)a的值為________. [解析] 因為△ABC是等腰直角三角形,所以圓心C(1,-a)到直線ax+y-1=0的距離d=rsin45°=,即d==,所以a=±1. [答案] ±1 16.(2018·南寧測試)過動點M作圓:(x-2)2+(y-2)2=1的切線MN,其中N為切點,若|MN|=|MO|(O為坐標原點),則|MN|的最小值是________. [解析] 解法一:由題意知圓的圓心為(2,2),半徑為1.設(shè)M(x,y),則|MO|=,|MN|=.由|MN|=|MO|,得4x+4y-7=0,即y=-x,所以|MN|=|MO|=== = ,當x=時,|MN|取得最小值=. 解法二:由題意知圓的圓心為(2,2),半徑為1.設(shè)M(x,y),則|MO|=, |MN|=.由|MN|=|MO|,得4x+4y-7=0,即點M的軌跡為4x+4y-7=0,則由題意知,要使|MN|取得最小值,即|MO|取得最小值,此時|MO|的最小值就是原點到直線4x+4y-7=0的距離,即=,故|MN|的最小值為. [答案]  16

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