2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 第五章 數(shù)列學(xué)案
《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 第五章 數(shù)列學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 第五章 數(shù)列學(xué)案(42頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第五章 數(shù) 列 第1課時(shí) 數(shù)列的概念及其簡(jiǎn)單表示法 理解數(shù)列的概念,認(rèn)識(shí)數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型,探索并掌握數(shù)列的幾種簡(jiǎn)單表示法(列表、圖象、通項(xiàng)公式);了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù);發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律,寫(xiě)出其通項(xiàng)公式. ① 了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).② 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).③ 會(huì)利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式. 1. (必修5P34習(xí)題3改編)已知數(shù)列{an}滿足an=4an-1+3,且a1=0,則a 5=________. 答案:255 解析:a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=4×3+3=15,a
2、4=4a3+3=4×15+3=63,a5=4a4+3=4×63+3=255. 2. (必修5P34習(xí)題2改編)數(shù)列-1,,-,,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是________. 答案:an=(-1)n 解析:-1=-,數(shù)列1,4,9,16,…對(duì)應(yīng)通項(xiàng)n2,數(shù)列1,3,5,7,…對(duì)應(yīng)通項(xiàng)2n-1,數(shù)列-1,1,-1,1,…對(duì)應(yīng)通項(xiàng)(-1)n,故an=(-1)n. 3. (必修5P48習(xí)題9改編)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+3n,則=________. 答案:2 解析:∵ 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+3n, ∴ a1+a2+a3=S3=32+3×3=18, a4+a5+a6=S6
3、-S3=36, ∴ =2. 4. (必修5P34習(xí)題9改編)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-8n+5,則這個(gè)數(shù)列的最小項(xiàng)是________. 答案: -11 解析:由an=(n-4)2-11,可知n=4時(shí),an取最小值為-11. 5. (必修5P34習(xí)題5改編)已知數(shù)列,,2,,,…,則4是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng). 答案:11 解析:易知該數(shù)列的通項(xiàng)為,則有=4,得n=11,則4是這個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng). 1. 數(shù)列的定義 按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),通常也叫做首項(xiàng). 2. 數(shù)列的分
4、類 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列. 項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列. 3. 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看成是以正整數(shù)或其子集為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.反過(guò)來(lái),對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意義,那么可以得到一個(gè)數(shù)列{f(n)}. 4. 數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式an=f(n)(n=1,2,3,…)來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.通項(xiàng)公式可以看成數(shù)列的函數(shù)解析式. 5. 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系是an=[備課
5、札記](méi) , 1 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)) , 1) 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值,寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式: (1) -1,7,-13,19,…; (2) ,,,,,…; (3) 1,0,-,0,,0,-,0,…; (4) 1,2,3,4,…. 解:(1) 偶數(shù)項(xiàng)為正,奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),故通項(xiàng)公式必含有因式(-1)n,觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值,后一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6,故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n(6n-5). (2) 這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列,其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列,而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一項(xiàng)
6、都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積.故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=. (3)將數(shù)列改寫(xiě)為,,-,,,,-,,…,則an=. (4) 觀察不難發(fā)現(xiàn)1=1+,2=2+=2+,3=3+=3+,…,一般地,an=n+.則an=n+. 變式訓(xùn)練 (1) 數(shù)列-,,-,,…的一個(gè)通項(xiàng)公式an=__________; (2) 該數(shù)列,,,,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______. 答案:(1) (-1)n (2) 解析:(1) 這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n. (2) 各項(xiàng)的分子為22,32,42,52,…,分母比分
7、子大1,因此該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=. , 2 由an與Sn關(guān)系求an) , 2) 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求通項(xiàng)an. (1) Sn=3n-1; (2) Sn=2n+1. 解:(1) 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2·3n-1. 當(dāng)n=1時(shí),an=2符合上式. ∴ an=2·3n-1. (2) 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=21+1=3; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-2n-1=2n-1.當(dāng)n=1時(shí),an=3不符合上式. 綜上有 an= 變式訓(xùn)練 (1) 已知
8、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+1,則an=__________; (2) 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+,則{an}的通項(xiàng)公式an=__________. 答案:(1) (2) (-2)n-1 解析:(1) 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3+1=4, 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n+1-3n-1-1=2·3n-1. ∵ a1=4不適合上等式,∴ an= (2) 由Sn=an+得,當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=an-1+, 兩式相減,得an=an-an-1, ∴ 當(dāng)n≥2時(shí),an=-2an-1,即=-2. 又n=1時(shí),S1=a1=a1+,a1=1, ∴ an=(-2)n
9、-1. , 3 由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式) , 3) (1) 設(shè)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,則通項(xiàng)公式an=________; (2) a1=1,an=an-1+(n≥2,n∈N*),通項(xiàng)公式an=________; (3) 在數(shù)列{an}中,a1=1,前n項(xiàng)和Sn=an,則{an}的通項(xiàng)公式為an=________. 答案:(1) +1 (2) 2-(n∈N*) (3) 解析:(1) 由題意得,當(dāng)n≥2時(shí),an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+(2+3+…+n) =2+=+1. 又a1=
10、+1=2,符合上式, 因此an=+1. (2) 由an=an-1+(n≥2),得an-an-1=-(n≥2).則a2-a1=-,a3-a2=-,…,an-an-1=-.將上述n-1個(gè)式子累加,得an=2-.當(dāng)n=1時(shí),a1=1也滿足,故an=2-(n∈N*). (3) 由題設(shè)知,a1=1. 當(dāng)n>1時(shí),an=Sn-Sn-1=an-an-1, ∴ =, ∴ =,…,=,=,=3. 以上n-1個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘,得到=. ∵ a1=1,∴ an=. (1) 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),則an=________. (2) 已知數(shù)列
11、{an}滿足a1=1,an=·an-1(n≥2),則an=________. 答案:(1) an= (2) 解析:(1) 由a1=1,an-an-1=3n-1(n≥2),得a1=1,a2-a1=31,a3-a2=32,…,an-1-an-2=3n-2,an-an-1=3n-1,以上等式兩邊分別相加得an=1+3+32+…+3n-1=.當(dāng)n=1時(shí),a1=1也適合,∴ an=. (2) an=·an-1 (n≥2),an-1=·an-2,…,a2=a1.以上(n-1)個(gè)式子相乘得an=a1···…·==.當(dāng)n=1時(shí)也滿足此等式,∴ an=. 1. (2017·太原模擬)已知數(shù)列{an
12、}滿足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),則an=________. 答案: 解析:由an-an+1=nanan+1得-=n,則由累加法得-=1+2+…+(n-1)=.因?yàn)閍1=1,所以=+1=,所以an=. 2. 設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常數(shù).若對(duì)于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列,則k的值為_(kāi)_______. 答案:0或1 解析:∵ Sn=kn2+n,n∈N*,∴ 數(shù)列{an}是首項(xiàng)為k+1,公差為2k的等差數(shù)列, an=2kn+1-k.又對(duì)于任意的m∈N*都有a=ama4m, a=a1a4,(3k+
13、1)2=(k+1)(7k+1),解得k=0或1.又k=0時(shí),an=1,顯然對(duì)于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列;k=1時(shí),an=2n,am=2m,a2m=4m,a4m=8m,顯然對(duì)于任意的m∈N*,am,a2m,a4m也成等比數(shù)列.綜上所述,k=0或1. 3. 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),則a10等于________. 答案:32 解析:∵ an+1an=2n,∴ an+1an+2=2n+1,兩式相除得=2.又a1a2=2,a1=1,∴ a2=2,則···=24,即a10=25=32. 4. 對(duì)于數(shù)列{an},定義數(shù)列{bn}滿足:bn=
14、an+1-an(n∈N*),且bn+1-bn=1(n∈N*),a3=1,a4=-1,則a1=________. 答案:8 解析:b3=a4-a3=-1-1=-2,由b3-b2=1,得b2=-3,而b2=a3-a2=-3,得a2=4.又b2-b1=1,則b1=-4,而b1=a2-a1=4-a1=-4,則a1=8. 5. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+,則{an}的通項(xiàng)公式an=__________. 答案: 解析:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=a1+,∴ a1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=an-an-1,∴ =-.∴ 數(shù)列{an}為首項(xiàng)a1=1,公比q=-的等比數(shù)列,故an
15、=(-)n-1.
1. 若an=n2+λn+3(其中λ為實(shí)常數(shù)),n∈N*,且數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________.
答案:(-3,∞)
解析:(解法1:函數(shù)觀點(diǎn))因?yàn)閧an}為單調(diào)遞增數(shù)列, 所以an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)+3>n2+λn+3,化簡(jiǎn)為λ>-2n-1對(duì)一切n∈N*都成立,所以λ>-3.
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(-3,+∞).
(解法2:數(shù)形結(jié)合法)因?yàn)閧an}為單調(diào)遞增數(shù)列,所以a1
16、為(-3,+∞). 2. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,an+1=Sn,求a2,a3,a4的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 解:由已知得a2=,a3=,a4=.由a1=1,an+1=Sn,得an=Sn-1,n≥2, 故an+1-an=Sn-Sn-1=an,n≥2,得an+1=an,n≥2. 又a1=1,a2=,故該數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始為等比數(shù)列,故an= 3. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1) 求a1的值; (2) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 解:(1) 由題設(shè),S-(n2+n-
17、3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. 令n=1,有S-(12+1-3)S1-3×(12+1)=0, 可得S+S1-6=0,解得S1=-3或2,即a1=-3或2. 又an為正數(shù),所以a1=2. (2) 由S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*可得, (Sn+3)(Sn-n2-n)=0,則Sn=n2+n或Sn=-3. 又?jǐn)?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以Sn=n2+n,Sn-1=(n-1)2+(n-1), 所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n. 又a1=2,所以an=2n. 4. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知
18、a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*. (1) 設(shè)bn=Sn-3n,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (2) 若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范圍. 解:(1) 依題意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n, 即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n), 即bn+1=2bn.又b1=S1-3=a-3, 因此,所求通項(xiàng)公式為bn=(a-3)2n-1,n∈N*. (2) 由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*, 于是,當(dāng)n≥2時(shí), an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-
19、3)2n-2, an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2 =2n-2. 當(dāng)n≥2時(shí),an+1≥an?12+a-3≥0?a≥-9. 又a2=a1+3>a1, 綜上,所求的a的取值范圍是[-9,3)∪(3,+∞). 1. 數(shù)列中的數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂,要注意辨析數(shù)列的項(xiàng)和數(shù)集中元素的異同,數(shù)列可以看成是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集的函數(shù),因此在研究數(shù)列問(wèn)題時(shí),既要注意函數(shù)方法的普遍性,又要注意數(shù)列方法的特殊性. 2. 根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng),需要仔細(xì)觀察分析,抓住特征:分式中分子、分母的獨(dú)立特征,相鄰項(xiàng)變化的特征,拆項(xiàng)后的特征,各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征,并由
20、此進(jìn)行歸納、聯(lián)想. 3. 通項(xiàng)an與其前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是一個(gè)十分重要的考點(diǎn),運(yùn)用時(shí)不要忘記討論an=[備課札記](méi) 第2課時(shí) 等 差 數(shù) 列(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)84~85頁(yè)) 理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,能在具體的問(wèn)題情境中用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題. ① 理解等差數(shù)列的概念.② 掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.③ 理解等差中項(xiàng)的概念,掌握等差數(shù)列的性質(zhì). 1. (必修5P47習(xí)題5改編)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和
21、為Sn,若a1=2,S3=12,則a6=________. 答案:12 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意知,3×2+3d=12,得d=2,則a6=2+(6-1)×2=12. 2. (必修5P48習(xí)題7改編)在等差數(shù)列{an}中, (1) 已知a4+a14=2,則S17=________; (2) 已知S11=55,則a6=________; (3) 已知S8=100,S16=392,則S24=________. 答案:(1) 17 (2) 5 (3) 876 解析:(1) S17===17. (2) S11===55,∴ a6=5. (3) S8,S16-S8,S
22、24-S16成等差數(shù)列,∴ 100+S24-392=2×(392-100),∴ S24=876. 3. (必修5P44練習(xí)6改編)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S5=5,S9=27,則S7=________. 答案:14 解析:由S5=(a1+a5)×=2a3×=5a3=5,得a3=1.由S9=(a1+a9)×=2a5×=9a5=27,得a5=3.從而S7=(a1+a7)×=(a3+a5)×=4×=14. 4. (必修5P48習(xí)題11改編)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a1=-3,11a5=5a8,則使其前n項(xiàng)和Sn取最小值的n=________. 答案:2 解析:∵ a
23、1=-3,11a5=5a8,∴ d=2,∴ Sn=n2-4n=(n-2)2-4,∴ 當(dāng)n=2時(shí),Sn最小. 5. (必修5P43例2改編)在等差數(shù)列{an}中,已知d=,an=,Sn=-,則a1=________. 答案:-3 解析:由題意,得 由②得a1=-n+2,代入①得n2-7n-30=0,∴ n=10或n=-3(舍去),∴ a1=-3. 1. 等差數(shù)列的定義 (1) 文字語(yǔ)言:如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列. (2) 符號(hào)語(yǔ)言:an+1-an=d(n∈N*). 2. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列{
24、an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則其通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d. 推廣:an=am+(n-m)d. 3. 等差中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,則A叫a和b的等差中項(xiàng),且有A=. 4. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 (1) Sn=na1+d. (2) Sn=. 5. 等差數(shù)列的性質(zhì) (1) 等差數(shù)列{an}中,對(duì)任意的m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.特殊的,若m+n=2p,則am+an=2ap. (2) 等差數(shù)列{an}中,依次每m項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差數(shù)列. 6. 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N+)
25、,則S偶-S奇=nd,=; 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n-1(n∈N+),則S奇-S偶=an,=. , 1 數(shù)列中的基本量的計(jì)算) , 1) (1) 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S8=4a3,a7=-2,則a9=__________; (2) 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S3=6,S4=12,則S6=__________. 答案:(1) -6 (2) 30 解析:(1) 設(shè)公差為d,則8a1+28d=4a1+8d,即a1=-5d,a7=a1+6d=-5d+6d=d=-2,所以a9=a7+2d=-6. (2) 設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,由S3
26、=6,S4=12,可得解得即S6=6a1+15d=30. 變式訓(xùn)練 (1) 已知{an}是公差不為0 的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,若a2a3=a4a5,S9=1,則a1的值是________; (2) 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a2=7,S7=-7,則a7的值為_(kāi)_______. 答案:(1) - (2) -13 解析:(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0). ∵ a2a3=a4a5,S9=1, ∴ 解得a1=-. (2) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵ a2=7,S7=-7, ∴ 解方程組可得 ∴ a7=a1+6d=11-6×4=-13. ,
27、 2 判斷或證明一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列) , 2) 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2Sn=a+n-4. (1) 求證:{an}為等差數(shù)列; (2) 求{an}的通項(xiàng)公式. (1) 證明:當(dāng)n=1時(shí),有2a1=a+1-4,即a-2a1-3=0,解得a1=3或a1=-1(舍去).當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1=a+n-5.又2Sn=a+n-4,兩式相減得2an=a-a+1,即a-2an+1=a,也即(an-1)2=a,因此an-1=an-1或an-1=-an-1. 若an-1=-an-1,則an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,這與數(shù)列{a
28、n}的各項(xiàng)均為正數(shù)相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{(lán)an}為等差數(shù)列. (2) 解:由(1)知a1=3,d=1,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3+(n-1)×1=n+2,即an=n+2. 變式訓(xùn)練 已知數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1=3an+3n+1-2n.設(shè)bn=. (1) 證明:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列; (2) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (1) 證明:∵ bn+1-bn=-=-=1, ∴ 數(shù)列{bn}為等差數(shù)列. (2) 解:∵ b1==0,∴ bn=n-1,∴ an=(n-1)·3n+2n. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿
29、足:an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=,判斷與{an}是否為等差數(shù)列,并說(shuō)明你的理由. 解:因?yàn)閍n=Sn-Sn-1(n≥2),又an+2SnSn-1=0, 所以Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n≥2), 所以-=2(n≥2). 因?yàn)镾1=a1=, 所以是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列. 所以=2+(n-1)×2=2n,故Sn=. 所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-=, 所以an+1=,而an+1-an=- ==. 所以當(dāng)n≥2時(shí),an+1-an的值不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù),故數(shù)列{an}不是一個(gè)等差數(shù)列. 綜上可知,是等差數(shù)列,{an}不是等差
30、數(shù)列. , 3 等差數(shù)列的性質(zhì)) , 3) (1) 已知{an}是等差數(shù)列,{Sn}是其前n項(xiàng)和.若a1+a=-3,S5=10,則a9的值是________; (2) 在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=________; (3) 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=________. 答案:(1) 20 (2) 10 (3) 60 解析:(1) 由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3?d=3,a9=2+3×6=20. (2) 因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以a3
31、+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即a5=5,a2+a8=2a5=10. (3) 因?yàn)镾10,S20-S10,S30-S20成等差數(shù)列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20, 所以2×20=10+S30-30,所以S30=60. 變式訓(xùn)練 (1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若2a8=6+a11,則S9的值等于__________; (2) 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=__________. 答案:(1) 54 (2) 45 解析:(1) 根據(jù)題意及等差數(shù)列
32、的性質(zhì),知2a8-a11=a5=6,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式,知S9=×9=×9=6×9=54. (2) 由{an}是等差數(shù)列,得S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列.即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45,則a7+a8+a9=45. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a5=3,S10=40,求nSn的最小值. 解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵ a5=3,S10=40, ∴ a1+4d=3,10a1+d=40,解得a1=-5,d=2. ∴ Sn=-5n+×2=n2-6n,則nSn=n2(n-6). n≤5時(shí),nSn<0;n≥6時(shí),
33、nSn≥0.可得n=4時(shí),nSn取得最小值-32. , 4 等差數(shù)列中的最值問(wèn)題) , 4) (1) 若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,當(dāng)n取何值時(shí),{an}的前n項(xiàng)和最大? (2) 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列.若<-1,且{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值,求使Sn>0時(shí)n的最大值. (3) 在等差數(shù)列{an}中,a1>0,公差d<0,a5=3a7,其前n項(xiàng)和為Sn,求Sn取得最大值時(shí)n的值. 解:(1) 由等差數(shù)列的性質(zhì),得a7+a8+a9=3a8,a8>0.又a7+a10<0,∴ a8+a9<0,∴ a9<0,∴ S8>S7,S8
34、>S9,故數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和最大. (2) ∵ <-1,且Sn有最大值,∴ a6>0,a7<0,且a6+a7<0,∴ S11==11a6>0,S12==6(a6+a7)<0,∴ 使Sn>0的n的最大值為11. (3) 在等差數(shù)列{an}中,a1>0,公差d<0. ∵ a5=3a7,∴ a1+4d=3(a1+6d),∴ a1=-7d, ∴ Sn=n(-7d)+d=(n2-15n), ∴ n=7或8時(shí),Sn取得最大值. 已知在等差數(shù)列{an}中,a1=31,Sn是它的前n項(xiàng)和,S10=S22. (1) 求Sn; (2) 這個(gè)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大,并求出這個(gè)最大值. 解:
35、(1) ∵ S10=a1+a2+…+a10,S22=a1+a2+…+a22,
S10=S22,∴ a11+a12+…+a22=0,=0,
即a11+a22=2a1+31d=0.又a1=31,∴ d=-2,
∴ Sn=na1+d=31n-n(n-1)=32n-n2.
(2) (解法1)由(1)知Sn=32n-n2,∴ 當(dāng)n=16時(shí),Sn有最大值,Sn的最大值是256.
(解法2)由Sn=32n-n2=n(32-n),欲使Sn有最大值,應(yīng)有1 36、n為其前n項(xiàng)和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=__________.
答案:6
解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍3+a5=0,所以6+2d+6+4d=0,解得d=-2,所以S6=6×6+×(-2)=36-30=6.
2. (2017·南京、鹽城一模)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a4+a5+a6=21,則S9=________.
答案:63
解析:由a4+a5+a6=21得a5=7,所以S9==9a5=63.
3. 已知公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若=3,則的值為_(kāi)_________.
答案:
解析:===3,則d=4a1,則= 37、==.
4. (2017·南通、泰州三調(diào))設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若公差d=2,a5=10,則S10的值是________.
答案:110
解析:∵ a5=a1+4d=a1+8=10,∴ a1=2,∴ S10=10a1+d=110.
5. (2017·南通一模)《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問(wèn)題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則該竹子最上面一節(jié)的容積為_(kāi)_______升.
答案:
解析:設(shè)最上面一節(jié)的容積為a1,由題設(shè)知
解得a1=.
1. (2017·新課標(biāo)Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3= 38、3,S4=10,則=________.
答案:
解析:設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,
由題意有解得
數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=na1+d=n×1+×1=.
裂項(xiàng)有:==2,據(jù)此,
2. 設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則an=________.
答案:an=
解析:由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1·Sn,兩邊同時(shí)除以Sn+1·Sn,得-=-1,故數(shù)列是以-1為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,則=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.則當(dāng)n=1時(shí),a1=-1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-+=,所以an=(或直接帶入an+1=S 39、nSn+1,但要注意分類討論)
3. 已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公差為2,若a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1≥tn2對(duì)n∈N*恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________.
答案:(-∞,-12]
解析:a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)=-4(a2+a4+…+a2n)=-4××n=-8n2-4n,所以-8n2-4n≥tn2,所以t≤-8-對(duì)n∈N*恒成立,t≤-12.
4. (2017·南京、鹽城二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{b 40、n},{cn}滿足(n+1)bn=an+1-,(n+2)cn=-,其中n∈N*.
(1) 若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式;
(2) 若存在實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
(1) 解:∵ 數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,∴ an=a1+2(n-1),=a1+n-1.
∴ (n+2)cn=-(a1+n-1)=n+2,解得cn=1.
(2) 證明:由(n+1)bn=an+1-,可得n(n+1)bn=nan+1-Sn,(n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2-Sn+1,兩式相減可得an+2-an+1=(n+ 41、2)bn+1-nbn,
可得(n+2)cn=-=-[an+1-(n+1)bn]
=+(n+1)bn=+(n+1)bn=(bn+bn+1),
因此cn=(bn+bn+1).
∵ bn≤λ≤cn,∴ λ≤cn=(bn+bn+1)≤λ,故bn=λ,cn=λ.
∴ (n+1)λ=an+1-,(n+2)λ=(an+1+an+2)-,
相減可得(an+2-an+1)=λ,即an+2-an+1=2λ(n≥2).
又2λ=a2-=a2-a1,則an+1-an=2λ(n≥1),∴ 數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
1. 等差數(shù)列問(wèn)題,首先應(yīng)抓住a1和d,通過(guò)列方程組來(lái)解,其他也就迎刃而解了.但若恰當(dāng) 42、地運(yùn)用性質(zhì),可以減少運(yùn)算量.
2. 等差數(shù)列的判定方法有以下幾種:① 定義法:an+1-an=d(d為常數(shù));② 等差中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2;③ 通項(xiàng)公式法:an=pn+q(p,q為常數(shù));④前n項(xiàng)和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).
3. 注意設(shè)元,利用對(duì)稱性,減少運(yùn)算量.
4. 解答某些數(shù)列問(wèn)題,有時(shí)不必(有時(shí)也不可能)求出某些具體量的結(jié)果,可采用整體代換的思想.[備課札記](méi)
第3課時(shí) 等 比 數(shù) 列(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)86~87頁(yè))
理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,并能用有關(guān)知識(shí)解決 43、相應(yīng)的問(wèn)題.
① 理解等比數(shù)列的概念.② 掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.③ 理解等比中項(xiàng)的概念,掌握等比數(shù)列的性質(zhì).
1. (必修5P61習(xí)題2改編)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,a6=32,則S3=________.
答案:7
解析:q5==32,q=2,S3==7.
2. 若-1,x,y,z,-3成等比數(shù)列,則y的值為_(kāi)_______.
答案:-
解析:由等比中項(xiàng)知y2=3,∴ y=±.又∵ y與-1,-3符號(hào)相同,∴ y=-.
3. (必修5P54習(xí)題10改編)等比數(shù)列{an}中,a1>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36 44、,則a3+a5=________.
答案:6
解析:a2a4+2a3a5+a4a6=(a3+a5)2=36.又a1>0,∴ a3,a5>0,∴ a3+a5=6.
4. (必修5P61習(xí)題3改編)在等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項(xiàng)和S3=21,則公比q=________.
答案:1或-
解析:由已知得 化簡(jiǎn)得=3.整理得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.
5. (必修5P56例2改編)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=________.
答案:63
解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,易知q≠1,根據(jù)題意可得
解得q2=4 45、,=-1,所以S6==(-1)(1-43)=63.
1. 等比數(shù)列的概念
(1) 文字語(yǔ)言:如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.
(2) 符號(hào)語(yǔ)言:=q(n∈N*,q是等比數(shù)列的公比).
2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列,則第n項(xiàng)an=a1qn-1.
推廣:an=amqn-m.
3. 等比中項(xiàng)
若a,G,b成等比數(shù)列,則G為a和b的等比中項(xiàng)且G=±.
4. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
(1) 當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1.
(2) 當(dāng)q≠1時(shí),Sn==.
5. 等比數(shù)列的性質(zhì)
(1 46、) 等比數(shù)列{an}中,對(duì)任意的m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,則aman=apaq.特殊的,若m+n=2p,則aman=a.
(2) 等比數(shù)列{an}中,依次每m項(xiàng)的和(非零)仍成等比數(shù)列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比數(shù)列,其公比為qm(q≠-1).(其中Sm≠0)[備課札記](méi)
, 1 等比數(shù)列的基本運(yùn)算)
, 1) (1) 設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=________;
(2) 等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=,S6=,則a8=___ 47、_____;
(3) 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若27a3-a6=0,則=________.
答案:(1) -8 (2) 32 (3) 28
解析:(1) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q,很明顯q≠-1,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組
由②除以①可得q=-2 ,代入①可得a1=1,
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a4=a1q3=-8.
(2) 當(dāng)q=1時(shí),顯然不符合題意;當(dāng)q≠1時(shí),解得則a8=×27=32.
(3) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q,首項(xiàng)為a1,則=q3=27.
==1+=1+=1+q3=28.
變式訓(xùn)練
(1) 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8 48、=a6+2a4,則a6的值是________;
(2) 設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2a3…an的最大值為_(kāi)_______.
答案:(1) 4 (2) 64
解析:(1) 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a2=1,a8=a6+2a4得q6=q4+2q2,q4-q2-2=0,解得q2=2,則a6=a2q4=4.
(2) 因?yàn)閍1+a3=10,a2+a4=5,所以公比q==,所以a1+a1×=10?a1=8,a1a2a3…an=8n1+2+…+n-1=23n·2-=23n-=2,所以當(dāng)n=3或4時(shí),取最大值64.
, 2 等比數(shù)列的判定 49、與證明)
, 2) 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,3Sn=an-1(n∈N*).
(1) 求a1,a2;
(2) 求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(3) 求an和Sn.
(1) 解:由3S1=a1-1,得3a1=a1-1,
所以a1=-.又3S2=a2-1,即3a1+3a2=a2-1,得a2=.
(2) 證明:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,所以{an}是首項(xiàng)為-,公比為-的等比數(shù)列.
(3) 解:由(2)可得an=n,
Sn==-.
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).
(1) 求 50、證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2) 若數(shù)列{bn}滿足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
(1) 證明:依題意Sn=4an-3(n∈N*),
當(dāng)n=1時(shí),a1=4a1-3,解得a1=1.
因?yàn)镾n=4an-3,則Sn-1=4an-1-3(n≥2),
所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,
整理得an=an-1.
又a1=1≠0,所以{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.
(2) 解:由(1)知an=,
由bn+1=an+bn(n∈N*),得bn+1-bn=.
可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(b 51、n-bn-1)
=2+=3·-1(n≥2).
當(dāng)n=1時(shí)也滿足,
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3·-1(n∈N*).
, 3 等比數(shù)列的性質(zhì))
, 3) 已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且滿足a1a9=4,則數(shù)列{log2an}的前9項(xiàng)之和為_(kāi)_______.
答案:9
解析:∵ a1a9=a=4,∴ a5=2,
∴ log2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1a2…a9)=log2a=9log2a5=9.
變式訓(xùn)練
(1) 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S10=2,S30=14,則S40=_______ 52、_;
(2) 等比數(shù)列{am}的前n項(xiàng)積為T(mén)n(n∈N*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1=128,則m=________.
答案:(1) 30 (2) 4
解析:(1) 依題意有S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30仍成等比數(shù)列,2·(14-S20)=(S20-2)2,得S20=6.所以S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30,即為2,4,8,16,所以S40=S30+16=30.
(2) 因?yàn)閧am}為等比數(shù)列,所以am-1·am+1=a.又由am-1·am+1-2am=0,得am=2.則T2m-1=a,所以22m-1=128,m=4. 53、
, 4 等比數(shù)列的應(yīng)用)
, 4) 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1) 設(shè)bn=an+1-2an,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(1) 證明: 由a1=1及Sn+1=4an+2,
得a1+a2=S2=4a1+2.
∴ a2=5,∴ b1=a2-2a1=3.
又
①-②,得an+1=4an-4an-1,
∴ an+1-2an=2(an-2an-1).
∵ bn=an+1-2an,∴ bn=2bn-1,
故{bn}是首項(xiàng)b1=3,公比為2的等比數(shù)列.
(2) 解:由( 54、1)知bn=an+1-2an=3·2n-1,
∴ -=.
故是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.
∴ =+(n-1)·=,
故an=(3n-1)·2n-2.
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2+2n,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2-bn.
(1) 求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2) 設(shè)cn=a·bn,證明:當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí),cn+1 55、≥2時(shí),Tn-1=2-bn-1,Tn=2-bn,
∴ bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn,
∴ bn=bn-1,∴ bn=21-n.
(2) 證明:(證法1)由cn=a·bn=n2·25-n,
得=.
當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí),1+≤<,即cn+1 56、__.
答案:31
解析:若等比數(shù)列的公比等于1,由a1=1,得S4=4,5S2=10,與題意不符.設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q≠1),由a1=1,S4=5S2,得=5a1(1+q),解得q=±2.∵ 數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),∴ q=2.則S5==31.
2. (2017·蘇北四市三模)在公比為q,且各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若a1=,且S5=S2+2,則q的值為_(kāi)_______.
答案:
解析:由題意可知q≠1,又S5=S2+2,即=+2,
∴ q3-2q+1=0,∴ (q-1)(q2+q-1)=0.又q>0,且q≠1,∴ q=.
3. 57、(2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公比q=3,S3+S4=,則a3=________.
答案:3
解析:∵ 等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公比q=3,S3+S4=,
∴ +=,解得a1=.則a3=×32=3.
4. (2017·南通四模)已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=4,a3=10.若{an+1-an}是等比數(shù)列,則i=________.
答案:3×2n-2n-3
解析:a2-a1=4-1=3,a3-a2=10-4=6,∵ {an+1-an}是等比數(shù)列,∴ 首項(xiàng)為3,公比為2,
∴ an+1-an=3×2n-1,
∴ an=a1+(a2- 58、a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+3+3×2+…+3×2n-2=1+3×=3×2n-1-2.
則i=3×-2n=3×2n-2n-3.
1. (2017·新課標(biāo)Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21,再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活 59、碼是________.
答案:440
解析:由題意得,數(shù)列如下:
1,
1,2,
1,2,4,
…
1,2,4,…,2k-1,
…
則該數(shù)列的前1+2+…+k=項(xiàng)和為S=1+(1+2)+…+(1+2+…+2k-1)=2k+1-k-2,
要使>100,有k≥14,此時(shí)k+2<2k+1,所以k+2是之后的等比數(shù)列1,2,…,2k+1的部分和,即k+2=1+2+…+2t-1=2t-1,
所以k=2t-3≥14,則t≥5,此時(shí)k=25-3=29,
對(duì)應(yīng)滿足的最小條件為N=+5=440.
2. 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=,其中n∈N*,λ,μ為非零常數(shù).
(1) 60、 若λ=3,μ=8,求證:{an+1}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2) 若數(shù)列{an}是公差不等于零的等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)λ,μ的值.
(1) 證明:當(dāng)λ=3,μ=8時(shí),an+1==3an+2,化為an+1+1=3(an+1),
∴ {an+1}為等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為3.
∴ an+1=2×3n-1,可得an=2×3n-1-1.
(2) 解:設(shè)an=a1+(n-1)d=dn-d+1.
由an+1=,可得an+1(an+2)=λa+μan+4,
∴ (dn-d+3)(dn+1)=λ(dn-d+1)2+μ(dn-d+1)+4.
令n=1,2,3,解得λ=1,μ=4 61、,d=2.
經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)滿足題意,∴ λ=1,μ=4.
3. 已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn=panan+1(n∈N*),p∈R.
(1) 若a1,a2,a3成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)p的值;
(2) 若a1,a2,a3成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解:(1) 當(dāng)n=1時(shí),a1=pa1a2,a2=;當(dāng)n=2時(shí),a1+a2=pa2a3,a3==1+.
由a=a1a3得a1a3=,即p2+p-1=0,解得p=.
(2) 由2a2=a1+a3得p=,故a2=2,a3=3,所以Sn=anan+1,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=anan+1-an-1a 62、n.
因?yàn)閍n≠0,所以an+1-an-1=2,故數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)組成以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式是an=1+×2=n.同理,數(shù)列{an}的所有偶數(shù)項(xiàng)組成以2為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式是an=2+×2=n,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n.
4. 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2a+1(a是常數(shù),且a≠-1),an=2an-1+n2-4n+2(n≥2),數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=a,
bn=an+n2(n≥2).
(1) 求證:{bn}從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列;
(2) 設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,且{Sn}是等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值;
(3 63、) 當(dāng)a>0時(shí),求數(shù)列{an}的最小項(xiàng).
(1) 證明:∵ bn=an+n2,
∴ bn+1=an+1+(n+1)2=2an+(n+1)2-4(n+1)+2+(n+1)2=2an+2n2=2bn(n≥2).
由a1=2a+1,得a2=4a,b2=a2+4=4a+4.
∵ a≠-1,
∴ b2≠0,即{bn}從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列.
(2) 解:由(1)知bn=
Sn=a+=-3a-4+(2a+2)2n,當(dāng)n≥2時(shí),==2+.
∵ {Sn}是等比數(shù)列,
∴ (n≥2)是常數(shù),
∴ 3a+4=0,即a=-.
(3) 解:由(1)知當(dāng)n≥2時(shí),bn=(4a+4)2n- 64、2=(a+1)2n,
∴ an=
∴ 數(shù)列{an}為2a+1,4a,8a-1,16a,32a+7,…,
顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng).
當(dāng)a∈時(shí),最小項(xiàng)為8a-1;
當(dāng)a=時(shí),最小項(xiàng)為4a或8a-1;
當(dāng)a∈時(shí),最小項(xiàng)為4a;
當(dāng)a=時(shí),最小項(xiàng)為4a或2a+1;
當(dāng)a∈時(shí),最小項(xiàng)為2a+1.
1. 重點(diǎn)是本著化多為少的原則,解題時(shí),需抓住首項(xiàng)a1和公比q這兩個(gè)基本量.
2. 運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí),要對(duì)q=1和q≠1進(jìn)行討論.
3. 解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)思想方法:①方程的思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,q,n,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過(guò)列方程組求關(guān)鍵量a 65、1,q.②分類的思想:當(dāng)a1>0,q>1或者a1<0,0 66、
① 掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法.② 掌握數(shù)列求和的常用方法.
1. (必修5P36例2改編)在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x=________.
答案:13
解析:由an+2=an+1+an,得x=5+8=13.
2. (必修5P68復(fù)習(xí)題13(1)改編)求和:++…+=________.
答案:1-
解析:原式=++…+=1-.
3. (必修5P69本章測(cè)試12改編)等比數(shù)列1,2,4,8,…中從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為_(kāi)_______.
答案:1 008
解析:由a1=1,a2=2,得q=2,∴ S10==1 023,S4==15,∴ S10-S4=1 008.
4. (必修5P68復(fù)習(xí)題13(2)改編)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,則該數(shù)列的前________項(xiàng)之和等于9.
答案:99
解析:由題意知,an==-,所以Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1=9,解得n=99.
5. (必修5P62習(xí)題12改編)數(shù)列{an}中,an=(2n-1)3n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=________.0,0
1時(shí),等比數(shù)列{an}遞減;當(dāng)q<0時(shí),等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí),等比數(shù)列為常數(shù)列.③函數(shù)的思想:用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)理解和掌握等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.
4. 巧用性質(zhì),減少運(yùn)算量,在解題中非常重要.
第4課時(shí) 數(shù)列的求和(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)88~89頁(yè))
理解數(shù)列的通項(xiàng)公式;會(huì)由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)公式;掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式;數(shù)列求和的常用方法:分組求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法等.
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