2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第1課時(shí) 函數(shù)的概念學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)
《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第1課時(shí) 函數(shù)的概念學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第1課時(shí) 函數(shù)的概念學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)(10頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1課時(shí) 函數(shù)的概念 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn):1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上,用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概念,體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域. 教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)的概念;符號(hào)“y=f(x)”的含義;函數(shù)的定義域和值域的求法. 教學(xué)難點(diǎn):符號(hào)“y=f(x)”的含義及已知函數(shù)解析式求函數(shù)定義域的方法. 【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨(dú)具內(nèi)容) 夏天,大家都喜歡吃西瓜,而西瓜的價(jià)格往往與西瓜的重量相關(guān).某人到一個(gè)水果店去買西瓜,價(jià)格表上寫的是:6斤以下,每斤0.4元;6斤以上9斤以下,每斤0.5元;9斤
2、以上,每斤0.6元.此人挑了一個(gè)西瓜,稱重后店主說5元1角,1角就不要了,給5元吧.可這位聰明的顧客馬上說,你不僅沒少要,反而多收了我的錢.當(dāng)顧客講出理由,店主只好承認(rèn)了錯(cuò)誤,照實(shí)收了錢. 同學(xué)們,你知道顧客是怎么曉得店主坑人的嗎? 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一 函數(shù)的概念 (1)函數(shù)的傳統(tǒng)定義 在一個(gè)變化過程中,如果有兩個(gè)變量x與y,并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng),那么就稱y是x的函數(shù). (2)函數(shù)的近代定義 一般地,給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集A與B,以及對(duì)應(yīng)關(guān)系f,如果對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與x對(duì)應(yīng),則稱f為定義在集合A上的一個(gè)函
3、數(shù),記作y=f(x),x∈A. 知識(shí)點(diǎn)二 函數(shù)的定義域和值域 在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x稱為自變量,y稱為因變量,自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為這個(gè)函數(shù)的定義域,所有函數(shù)值組成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}稱為函數(shù)的值域. 知識(shí)點(diǎn)三 確定函數(shù)的兩個(gè)要素 (1)定義域; (2)對(duì)應(yīng)關(guān)系. 知識(shí)點(diǎn)四 兩個(gè)函數(shù)相同的條件 (1)定義域相同; (2)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同. 知識(shí)點(diǎn)五 求函數(shù)定義域常用的依據(jù) (1)分式中分母不能為零; (2)二次根式中的被開方數(shù)要大于等于零. 【新知拓展】 對(duì)函數(shù)概念的理解 (1)A,B都是非空實(shí)數(shù)集,因此定義域或值域?yàn)榭占暮瘮?shù)不
4、存在,如y=就不是函數(shù). (2)集合A就是定義域,因?yàn)榻o定A中的每一個(gè)x值都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng). (3)集合B不一定是函數(shù)的值域,即B中的元素可以沒有與之對(duì)應(yīng)者,若將函數(shù)的值域記為C,容易得到C?B. (4)符號(hào)“y=f(x)”表示“x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值”,f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系. (5)“f(x)”是一個(gè)整體,不可分開,也不能理解成“f·x”. (6)f(a)(a∈A)與f(x)的區(qū)別與聯(lián)系:f(a)表示當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值,是值域內(nèi)的一個(gè)數(shù)值,是常量;f(x)表示自變量為x的函數(shù),表示的是變量.例如,f(x)=2x表示函數(shù);當(dāng)x=3時(shí),f(3)=6,是一個(gè)常量. (7)函數(shù)的概念中強(qiáng)調(diào)“三性
5、”:任意性、存在性、唯一性,這是因?yàn)楹瘮?shù)定義中明確要求是對(duì)于非空實(shí)數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)數(shù)x,在非空實(shí)數(shù)集B中都有(存在性)唯一確定(唯一性)的實(shí)數(shù)y和它對(duì)應(yīng),這“三性”只要有一個(gè)不滿足,便不能構(gòu)成函數(shù). 1.判一判(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)值域中的每一個(gè)實(shí)數(shù)都有定義域中的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng).( ) (2)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合.( ) (3)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后,函數(shù)值域也就確定了.( ) (4)若函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素,則值域也只有一個(gè)元素.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
6、 2.做一做 (1)對(duì)于函數(shù)f:A→B,若a∈A,則下列說法錯(cuò)誤的是( ) A.f(a)∈B B.f(a)有且只有一個(gè) C.若f(a)=f(b),則a=b D.若a=b,則f(a)=f(b) (2)已知f(x)=x2+1,則f[f(-1)]=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (3)求下列函數(shù)的定義域: ①f(x)=; ②f(x)=+. 答案 (1)C (2)D (3)①{x|x≠-8} ② 題型一 求函數(shù)的定義域 例1 求下列函數(shù)的定義域: (1)y=2x+3;(2)y=+;(3)y=. [解] (1)函數(shù)y=2x+3的定義域
7、為R. (2)要使函數(shù)有意義,則即所以函數(shù)y=+的定義域是[-1,2)∪(2,+∞). (3)要使函數(shù)有意義,則即即x≥1,所以函數(shù)y=的定義域?yàn)閇1,+∞). 金版點(diǎn)睛 求函數(shù)定義域的步驟與方法 (1)求函數(shù)定義域的一般步驟 ①列出使函數(shù)解析式有意義的自變量的不等式(組); ②解不等式(組); ③把解集表示成集合或區(qū)間的形式. (2)列不等式(組)的依據(jù) ①分母不為零; ②偶次根式中被開方數(shù)大于或等于零; ③零指數(shù)冪的底數(shù)不為零. ④幾部分組成:若y=f(x)是由幾部分?jǐn)?shù)學(xué)式子的和、差、積、商組成的形式,定義域是使各部分都有意義的集合的交集. (3)定義域是一個(gè)集
8、合,要用集合或區(qū)間表示.若用區(qū)間表示,不同區(qū)間應(yīng)該用“∪”連接. 求下列函數(shù)的定義域: (1)y=;(2)y=+; (3)y=;(4)y=(1-2x)0. 解 (1)要使函數(shù)式有意義,即分式有意義,則x+1≠0,x≠-1.故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1}. (2)要使函數(shù)式有意義,則即所以x=1,從而函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x=1}. (3)因?yàn)楫?dāng)x2-1≠0,即x≠±1時(shí),有意義,所以函數(shù)的定義域是{x|x≠±1}. (4)∵1-2x≠0,即x≠, ∴函數(shù)的定義域?yàn)? 題型二 求函數(shù)值或求函數(shù)的值域 例2 (1)已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=
9、x2+2(x∈R). ①求f(2),g(2)的值; ②求f[g(3)]的值; (2)求下列函數(shù)的值域: ①y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}; ②y=x2-2x+3,x∈[0,3); ③y=; ④y=2x-. [解] (1)①∵f(x)=,∴f(2)==. ∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6. ②∵g(3)=32+2=11, ∴f[g(3)]=f(11)==. (2)①(觀察法)因?yàn)閤∈{1,2,3,4,5},分別代入求值,可得函數(shù)的值域?yàn)閧2,3,4,5,6}. ②(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再結(jié)合函數(shù)的圖像(如
10、圖),可得函數(shù)的值域?yàn)閇2,6). ③(分離常數(shù)法)y= ==2+, 顯然≠0,所以y≠2. 故函數(shù)的值域?yàn)?-∞,2)∪(2,+∞). ④(換元法)設(shè)t=,則x=t2+1,且t≥0, 所以y=2(t2+1)-t=22+, 由t≥0,再結(jié)合函數(shù)的圖像(如右圖),可得函數(shù)的值域?yàn)? 金版點(diǎn)睛 求函數(shù)值域的原則及常用方法 (1)原則:①先確定相應(yīng)的定義域;②再根據(jù)函數(shù)的具體形式通過運(yùn)算確定其值域. (2)常用方法 ①觀察法:對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù),其值域可通過觀察法得到. ②配方法:是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法. ③換元法:運(yùn)用新元代換,將所給函數(shù)化成值域易
11、確定的函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域.對(duì)于f(x)=ax+b+(其中a,b,c,d為常數(shù),且ac≠0)型的函數(shù)常用換元法. ④分離常數(shù)法:此方法主要是針對(duì)有理分式,即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)”類的形式,便于求值域. 求下列函數(shù)的值域: (1)y=; (2)y=x2-4x+6,x∈[1,5). 解 (1)∵y===1-,且≠0, ∴函數(shù)y=的值域?yàn)閧y|y≠1}. (2)配方,得y=(x-2)2+2. 由x∈[1,5), 結(jié)合函數(shù)的圖像可知,函數(shù)的值域?yàn)閧y|2≤y<11}. 題型三 相同函數(shù)的判斷 例3 下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是( ) A.f(x)
12、=x,g(x)=()2 B.f(x)=x2+1,g(t)=t2+1 C.f(x)=1,g(x)= D.f(x)=x,g(x)=|x| [解析] A中,由于f(x)=x的定義域?yàn)镽,g(x)=()2的定義域?yàn)閧x|x≥0},它們的定義域不相同,所以它們不是同一函數(shù). B中,函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同,所以它們是同一函數(shù). C中,由于f(x)=1的定義域?yàn)镽,g(x)=的定義域?yàn)閧x|x≠0},它們的定義域不相同,所以它們不是同一函數(shù). D中,兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,所以它們不是同一函數(shù). [答案] B 金版點(diǎn)睛 判斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)的條件 (1)判斷
13、兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同.定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一函數(shù),即使定義域與值域都相同,也不一定是同一函數(shù). (2)函數(shù)是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.另外,在化簡(jiǎn)解析式時(shí),必須是等價(jià)變形. 下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相同? (1)y=()2;(2)y=;(3)y=;(4)y=. 解 (1)y=()2=x(x≥0),y≥0,與函數(shù)y=x定義域不同且值域不同,所以不相同. (2)y==x(x∈R),y∈R,與函數(shù)y=x對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,定義域和值域也都相同,所以相同. (3)y==
14、|x|=y(tǒng)≥0;與函數(shù)y=x值域不同,且當(dāng)x<0時(shí),它的對(duì)應(yīng)關(guān)系與函數(shù)y=x不相同,所以不相同. (4)y=的定義域?yàn)閧x|x≠0},與函數(shù)y=x的定義域不相同,所以不相同. 題型四 求抽象函數(shù)的定義域 例4 (1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,1],求函數(shù)f(2x-1)的定義域; (2)已知函數(shù)f(x-1)的定義域?yàn)?1,4],求函數(shù)f(x)的定義域. [解] (1)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,1], ∴函數(shù)f(2x-1)中自變量x的取值應(yīng)滿足-1≤2x-1≤1,即0≤x≤1. ∴函數(shù)f(2x-1)的定義域?yàn)閇0,1]. (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x-1)的定義域?yàn)?1
15、,4],即x∈(1,4],
∴0 16、,應(yīng)將左、右兩端統(tǒng)一,也可以用“換元法”,將較難配湊的式子化簡(jiǎn).
(2)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等式a≤g(x)≤b解出即得.若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],則函數(shù)g(x)在x∈[a,b]時(shí)的值域即為所求函數(shù)f(x)的定義域.
若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-3,5],求函數(shù)φ(x)=f(-x)+f(x)的定義域.
解 由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-3,5],得
即
解得-3≤x≤3.
所以函數(shù)φ(x)的定義域?yàn)閇-3,3].
1.函數(shù)f(x)=+(x-2)0的定義域?yàn)? )
A.[1,+∞) 17、 B.[1,2)∪(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(1,2)∪(2,+∞)
答案 D
解析 由題意,知解得x>1,且x≠2.
所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,2)∪(2,+∞).
2.如果函數(shù)y=x2-2x的定義域?yàn)閧0,1,2,3},那么其值域?yàn)? )
A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3}
C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
答案 A
解析 當(dāng)x取0,1,2,3時(shí),y的值分別為0,-1,0,3,則其值域?yàn)閧-1,0,3}.故選A.
3.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是( )
A.y=2x+1與y=2m+1
B.y=與y=2 18、x+1
C.y=1與y=x0
D.y=與y=()2
答案 A
解析 B中兩函數(shù)解析式不同,值域不同.C,D中的兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同不表示同一函數(shù),A中的兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同,表示同一函數(shù).故選A.
4.已知集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤4},則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系,能夠構(gòu)成以A為定義域,B為值域的函數(shù)的是________(填寫滿足條件的所有函數(shù)的序號(hào)).
①y=2x;②y=x2;③y=|4-2x|;④y=x+5;⑤y=(x-2)2.
答案?、佗冖邰?
解析 判斷能否構(gòu)成以A為定義域,B為值域的函數(shù),就是看是否符合函數(shù)的定義.對(duì)于①y=2x,當(dāng)定義域?yàn)锳={x 19、|0≤x≤2}時(shí),顯然其值域?yàn)锽={y|0≤y≤4},故①滿足條件;顯然②③⑤同樣也滿足條件;對(duì)于④y=x+5,若其定義域?yàn)锳={x|0≤x≤2},則其值域?yàn)閧y|5≤y≤7},因此④不滿足條件.故填①②③⑤.
5.已知函數(shù)f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f,f(a+1);
(2)若f(x)=5,求x.
解 (1)f(2)=22+2-1=5,
f=+-1=,
f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.
(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,
∴x=2或x=-3.
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