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1、2022年高一數(shù)學(xué) 4.7二倍角的正弦余弦正切（第三課時） 大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) (一)知識目標(biāo) 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式： (1)sin2α＝2sinαcosα (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (3)tan2α＝ (二)能力目標(biāo) (1)靈活應(yīng)用和、差、倍角公式； (2)掌握和差化積與積化和差的方法(不要求記憶). (三)德育目標(biāo) (1)培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系變化的觀點； (2)提高學(xué)生的思維能力. ●教學(xué)重點 和角化歸的二倍角公式的變形式的理解與應(yīng)用. ●教學(xué)難點 二倍角公式的變形式的靈活應(yīng)用. ●教學(xué)方法

2、 引導(dǎo)學(xué)生推得二倍角公式的變形式，從而使學(xué)生加深對二倍角公式的理解與應(yīng)用.(啟發(fā)誘導(dǎo)式) ●教具準(zhǔn)備 幻燈片三張 第一張(§4.7.3 A)： sin2＝(α為任意角) cos2＝(α為任意角) tan2＝(α≠kπ＋，k∈Z) 第二張(§4.7.3 B)： sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］； cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］； cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］； sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］. (α、β為任意角) 第三張(§4.7.3 C)：

3、sinθ＋sin＝2sin·cos； sinθ－sin＝2cos·sin； cosθ＋cos＝2cos·cos； cosθ－cos＝－2sin·sin. (θ、為任意角) ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］現(xiàn)在我們進一步探討和角、差角、倍角公式的應(yīng)用. 先看本章開始所提問題，在章頭圖中，令∠AOB＝θ，則AB＝asinθ，OA＝acosθ，所以矩形ABCD的面積 S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2 當(dāng)sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°時，a2sin2θ＝a2＝S 不難看出，這時A、D兩點與O點的距離都是a，矩形的面積最大，于

4、是問題得到 解決. Ⅱ.講授新課 ［師］再看下面的例題 ［例1］求證sin2＝ 分析：此等式中的α可作為的2倍. 證明：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α，以代替α，即得 cosα＝1－2sin2 ∴sin2＝ ［師］請同學(xué)們試證以下兩式: (1)cos2＝ (2)tan2＝ ［生］證明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中以α代替2α、以代替α，即得cosα＝2cos2－1 ∴cos2＝ (2)由tan2＝ ＝ cos2＝ 得tan2 (打出幻燈片§4.7.3 A，讓學(xué)生觀察) ［師］這是我們剛才所推證的三式，不難看

5、出這三式有兩個共同特點： (1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即半角的三角函數(shù)； (2)由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達到“降次”的目的). 這一組式子也可稱為半角公式，但不要求大家記憶，只要理解并掌握這種推證方法. 另外，在這三式中，如果知道cosα的值和角的終邊所在象限，就可以將右邊開方，從而求得sin、cos與tan. 下面，再來看一例子. ［例2］求證：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］ 分析：只要將S(α＋β)、S(α－β)公式相加，即可推證. 證明：由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①

6、 sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ② ①＋②得： sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ 即：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］ ［師］請同學(xué)們試證下面三式： (1)cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］ (2)cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］ (3)sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］ ［生］思考片刻，自證. 證明：(1)由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ① sin(α－β)＝sinαcosβ

7、－cosαsinβ ② ①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ 即：cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］ (2)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ① cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ② ①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ 即：cosαcosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］ (3)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ① cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαs

8、inβ ② ①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ 即：sinαsinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］ (打出幻燈片§4.7.3 B，讓學(xué)生對照) ［師］不難看出，這一組式子也有一共同特點，即，左式均是乘積形式，右式均為和差形式，利用這一式可將乘積形式轉(zhuǎn)化為和差形式，也可稱為積化和差公式. ［師］和差形式是否可以化為乘積的形式呢?看這一例子. ［例3］求證sinθ＋sin＝2sincos分析：θ可有＋代替， ＝－ 證明：左式＝sinθ＋sin ＝sin［＋］＋sin［－］ ＝sincos＋cossin＋sincos－co

9、ssin ＝2sincos＝右邊 ［師］請同學(xué)們再證下面三式. (1)sinθ－sin＝2cos·sin； (2)cosθ＋cos＝2cos·cos； (3)cosθ－cos＝－2sin·sin. ［生］證明：(1)令θ＝＋ ＝－ 則左邊＝sinθ－sin ＝sin［＋］－sin［－］ ＝sincos＋cossin－sincos＋cossin ＝2cossin＝右邊 (2)左邊＝cosθ＋cos ＝cos［＋］＋cos［－］ ＝coscos－sinsin＋coscos＋sinsin ＝2coscos＝右邊 (3)左邊＝cosθ－cos ＝cos［＋］－cos［

10、－］ ＝coscos－sinsin－coscos－sinsin ＝－2sinsin＝右邊. (打出幻燈片§4.7.3 C) ［師］這組式子的特點是左式為和差形式，右式為積的形式，所以這組式子也可稱為和差化積公式，只要求掌握這種推導(dǎo)方法，不要求記憶. Ⅲ.課堂練習(xí) ［生］(板演練習(xí))課本P46 1. 證明：tan＝ ∵＝ ∵ ∴原式得證. ［師］若發(fā)現(xiàn)題目中所出現(xiàn)的角有二倍關(guān)系，不妨考慮使用二倍角公式. Ⅳ.課時小結(jié) 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，要掌握推導(dǎo)積化和差、和差化積公式的方法，雖不要求記憶，但要知道它們的互化關(guān)系.另外，要注意半角公式的推導(dǎo)與正確使用.當(dāng)然，這些都是在熟練掌握二倍角公式的基礎(chǔ)上完成的. Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P47習(xí)題4.7 3. (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容 課本P48～P49 2.預(yù)習(xí)提綱 (1)怎樣利用單位圓畫正弦曲線? (2)余弦曲線與正弦曲線的關(guān)系如何? ●板書設(shè)計 §4.7.3 二倍角的正弦、余弦、正切(三) 例1 例2 例3