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2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第02講 函數(shù)概念與表示教案

上傳人:xt****7 文檔編號:105030201 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):11 大?。?46.52KB
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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第02講 函數(shù)概念與表示教案 一.課標(biāo)要求 1.通過豐富實例,進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念; 2.在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法)表示函數(shù); 3.通過具體實例,了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用; 4.通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù),理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(?。┲导捌鋷缀我饬x;結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的含義; 5.學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性

2、質(zhì)。 二.命題走向 函數(shù)是整個高中數(shù)學(xué)的重點,其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法,函數(shù)問題在歷年的高考中都占據(jù)相當(dāng)大的比例。 從近幾年來看,對本部分內(nèi)容的考察形勢穩(wěn)中求變,向著更靈活的的方向發(fā)展,對于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn):通過具體問題(幾何問題、實際應(yīng)用題)找出變量間的函數(shù)關(guān)系,再求出函數(shù)的定義域、值域,進而研究函數(shù)性質(zhì),尋求問題的結(jié)果。 高考對函數(shù)概念與表示考察是以選擇或填空為主,以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對較小,本節(jié)知識作為工具和其他知識結(jié)合起來命題的可能性依然很大。 預(yù)測xx年高考對本節(jié)的考察是: 1.題型是1個選擇和一個填空; 2.熱點是函數(shù)概念及函數(shù)的工具

3、作用,以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)成為新的熱點。 三.要點精講 1.函數(shù)的概念: 設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作:y=f(x),x∈A。其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域。 注意:(1)“y=f(x)”是函數(shù)符號,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; (2)函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值,一個數(shù),而

4、不是f乘x。 2.構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域 (1)解決一切函數(shù)問題必須認真確定該函數(shù)的定義域,函數(shù)的定義域包含三種形式: ①自然型:指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍(如:分式函數(shù)的分母不為零,偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù),對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù),等等); ②限制型:指命題的條件或人為對自變量x的限制,這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點,往往也是難點,因為有時這種限制比較隱蔽,容易犯錯誤; ③實際型:解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時,應(yīng)認真考察自變量x的實際意義。 (2)求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題,中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。 ①配方法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化

5、為二次函數(shù));②判別式法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程);③不等式法(運用不等式的各種性質(zhì));④函數(shù)法(運用基本函數(shù)性質(zhì),或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等)。 3.兩個函數(shù)的相等: 函數(shù)的定義含有三個要素,即定義域A、值域C和對應(yīng)法則f。當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后,函數(shù)的值域也就隨之確定。因此,定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個基本條件,當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時,這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。 4.區(qū)間 (1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間; (2)無窮區(qū)間; (3)區(qū)間的數(shù)軸表示。 5.映射的概念 一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果

6、按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f:AB”。 函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng),若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”,按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系,這種的對應(yīng)就叫映射。 注意:(1)這兩個集合有先后順序,A到B的射與B到A的映射是截然不同的.其中f表示具體的對應(yīng)法則,可以用漢字?jǐn)⑹觥? (2)“都有唯一”什么意思? 包含兩層意思:一是必有一個;二是只有一個,也就是說有且只有一個的意思。 6.常用的函數(shù)表示法 (1)解析法:

7、就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系,用一個等式來表示,這個等式叫做函數(shù)的解析表達式,簡稱解析式; (2)列表法:就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系; (3)圖象法:就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系。 7.分段函數(shù) 若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間,而每個子區(qū)間的解析式不同,這種函數(shù)又稱分段函數(shù); 8.復(fù)合函數(shù) 若y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么y=f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù),u稱為中間變量,它的取值范圍是g(x)的值域。 四.典例解析 題型1:函數(shù)概念 例1.(1)設(shè)函數(shù) (2)(xx上海理,1)設(shè)函數(shù)f(x)=,則滿足f(x)=的x值為

8、 。 解:(1)這是分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)式的變換問題,需要反復(fù)進行數(shù)值代換, = = (2)當(dāng)x∈(-∞,1,值域應(yīng)為[,+∞], 當(dāng)x∈(1,+∞)時值域應(yīng)為(0,+∞), ∴y=,y∈(0,+∞), ∴此時x∈(1,+∞), ∴l(xiāng)og81x=,x=81=3。 點評:討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧(賦值、變量代換、換元等等),這都是函數(shù)學(xué)習(xí)的常用基本功。 變式題:(xx山東 文2)設(shè)( ) A.0   B.1 C.2 D.3 解:選項為C。 例2.(

9、xx安徽 文理15) (1)函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件,若則__ ________; (2)函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件,若則__________。 解:(1)由得, 所以,則。 (2)由得,所以,則。 點評:通過對抽象函數(shù)的限制條件,變量換元得到函數(shù)解析式,考察學(xué)生的邏輯思維能力。 題型二:判斷兩個函數(shù)是否相同 例3.試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)? (1)f(x)=,g(x)=; (2)f(x)=,g(x)= (3)f(x)=,g(x)=()2n-1(n∈N*); (4)f(x)=,g(x)=; (5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。 解:(

10、1)由于f(x)==|x|,g(x)==x,故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同,所以它們不是同一函數(shù); (2)由于函數(shù)f(x)=的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),而g(x)=的定義域為R,所以它們不是同一函數(shù); (3)由于當(dāng)n∈N*時,2n±1為奇數(shù), ∴f(x)==x,g(x)=()2n-1=x,它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同,所以它們是同一函數(shù); (4)由于函數(shù)f(x)=的定義域為{x|x≥0},而g(x)=的定義域為{x|x≤-1或x≥0},它們的定義域不同,所以它們不是同一函數(shù); (5)函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同,所以它們是同一函數(shù)。 點評:對于兩個函數(shù)y=f(

11、x)和y=g(x),當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對應(yīng)法則都相同時,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函數(shù)若兩個函數(shù)表示同一函數(shù),則它們的圖象完全相同,反之亦然。 (1)第(5)小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù),原因是對函數(shù)的概念理解不透要知道,在函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則f不變的條件下,自變量變換字母,以至變換成其他字母的表達式,這對于函數(shù)本身并無影響,比如f(x)=x2+1,f(t)=t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1都可視為同一函數(shù)。(2)對于兩個函數(shù)來講,只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同,則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù)。 題型三:函數(shù)定義域問題 例4.求下述函數(shù)的定義域: (1

12、); (2) 解:(1),解得函數(shù)定義域為. (2) ,(先對a進行分類討論,然后對k進行分類討論), ①當(dāng)a=0時,函數(shù)定義域為; ②當(dāng)時,得, 1)當(dāng)時,函數(shù)定義域為, 2)當(dāng)時,函數(shù)定義域為, 3)當(dāng)時,函數(shù)定義域為; ③當(dāng)時,得, 1)當(dāng)時,函數(shù)定義域為, 2)當(dāng)時,函數(shù)定義域為, 3)當(dāng)時,函數(shù)定義域為。 點評:在這里只需要根據(jù)解析式有意義,列出不等式,但第(2)小題的解析式中含有參數(shù),要對參數(shù)的取值進行討論,考察學(xué)生分類討論的能力。 例5.已知函數(shù)定義域為(0,2),求下列函數(shù)的定義域: (1) ;(2)。 解:(1)由0<x<2, 得

13、 點評:本例不給出f(x)的解析式,即由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義,用好換元法;求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系,求其定義域,后面還會涉及到。 變式題:已知函數(shù)f(x)=的定義域是R,則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.a(chǎn)> B.-12<a≤0 C.-12<a<0 D.a(chǎn)≤ 解:由a=0或可得-12<a≤0,答案B。 題型四:函數(shù)值域問題 例5.求下列函數(shù)的值域: (1);(2);(3); (4);(5);(6); (7);(8);(9)。 解:(1)(配方法), ∴的值域為。 改題:求

14、函數(shù),的值域。 解:(利用函數(shù)的單調(diào)性)函數(shù)在上單調(diào)增, ∴當(dāng)時,原函數(shù)有最小值為;當(dāng)時,原函數(shù)有最大值為。 ∴函數(shù),的值域為。 (2)求復(fù)合函數(shù)的值域: 設(shè)(),則原函數(shù)可化為。 又∵, ∴,故, ∴的值域為。 (3)(法一)反函數(shù)法: 的反函數(shù)為,其定義域為, ∴原函數(shù)的值域為。 (法二)分離變量法:, ∵,∴, ∴函數(shù)的值域為。 (4)換元法(代數(shù)換元法):設(shè),則, ∴原函數(shù)可化為,∴, ∴原函數(shù)值域為。 注:總結(jié)型值域, 變形:或 (5)三角換元法: ∵,∴設(shè), 則 ∵,∴,∴, ∴, ∴原函數(shù)的值域為。 (6)數(shù)形結(jié)合法:, ∴,

15、∴函數(shù)值域為。 (7)判別式法:∵恒成立,∴函數(shù)的定義域為。 由得: ① ①當(dāng)即時,①即,∴ ②當(dāng)即時,∵時方程恒有實根, ∴△, ∴且, ∴原函數(shù)的值域為。 (8), ∵,∴, ∴, 當(dāng)且僅當(dāng)時,即時等號成立。 ∴, ∴原函數(shù)的值域為。 (9)(法一)方程法:原函數(shù)可化為:, ∴(其中), ∴, ∴, ∴, ∴, ∴原函數(shù)的值域為。 點評:上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法,在現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)要求中,求值域要求不高,要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值,在后面的復(fù)習(xí)中要作詳盡的討論。 題型五:函數(shù)解析式 例6.(1)已知,求;

16、(2)已知,求; (3)已知是一次函數(shù),且滿足,求; (4)已知滿足,求。 解:(1)∵, ∴(或)。 (2)令(),則, ∴,。 (3)設(shè), 則, ∴,, ∴。 (4) ①, 把①中的換成,得 ②, ①②得, ∴。 點評:第(1)題用配湊法;第(2)題用換元法;第(3)題已知一次函數(shù),可用待定系數(shù)法;第(4)題用方程組法。 例7.(xx重慶理21)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x。 (Ⅰ)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a); (Ⅱ)設(shè)有且僅有一個實數(shù)x0,使得f(x0)= x0。求

17、函數(shù)f(x)的解析表達式。 解:(Ⅰ)因為對任意x∈R,有f(f(x)-x2 + x)=f(x)-x2 +x, 所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2。 又由f(2)=3,得f(3-22+2)-3-22+2,即f(1)=1。 若f(0)=a,則f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a。 (Ⅱ)因為對任意x∈R,有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x。 又因為有且只有一個實數(shù)x0,使得f(x0)- x0。 所以對任意x∈R,有f(x)- x2 +x= x0.。 在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0。 又因為f(x0)- x

18、0,所以x0-x=0,故x0=0或x0=1。 若x0=0,則f(x)- x2 +x=0,即f(x)= x2 –x。 但方程x2 –x=x有兩上不同實根,與題設(shè)條件矛質(zhì),故x2≠0。 若x2=1,則有f(x)- x2 +x=1,即f(x)= x2 –x+1。 易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件。 綜上,所求函數(shù)為f(x)= x2 –x+1(xR)。 點評:該題的題設(shè)條件是一個抽象函數(shù),通過應(yīng)用條件進一步縮小函數(shù)的范圍得到函數(shù)的解析式。這需要考生有很深的函數(shù)理論功底。 題型六:函數(shù)應(yīng)用 例8.(xx北京春,理文21)某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時,可全部租出。當(dāng)每

19、輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛。租出的車每輛每月需要維護費150元,未租出的車每輛每月需要維護費50元。 (1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時,能租出多少輛車? (2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時,未租出的車輛數(shù)為: =12,所以這時租出了88輛車。 (2)設(shè)每輛車的月租金定為x元,則租賃公司的月收益為: f(x)=(100-)(x-150)-×50, 整理得:f(x)=-+162x-21000=-(x-4050)2+307050。 所以,當(dāng)x=4050時,f(x)最大

20、,其最大值為f(4050)=307050。 即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時,租賃公司的月收益最大,最大收益為307050元. 點評:根據(jù)實際問題求函數(shù)表達式,是應(yīng)用函數(shù)知識解決實際問題的基礎(chǔ),在設(shè)定或選定變量去尋求等量關(guān)系并求得函數(shù)表達式后,還要注意函數(shù)定義域常受到實際問題本身的限制。 例9.(xx湖南 理20)對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:為,要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?。設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是,用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清

21、潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度。 (Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少; (Ⅱ)若采用方案乙, 當(dāng)為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響。 解:(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z。 由題設(shè)有=0.99,解得x=19。 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。 因為當(dāng),故方案乙的用水量較少。 (II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與,類似(I)得 ,(*) 于是+ 當(dāng)為定值時

22、,, 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 此時 將代入(*)式得 故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為, 最少總用水量是。 當(dāng), 故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。 點評:本題貼近生活。要求考生讀懂題目,迅速準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型,把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并加以解決。該題典型代表高考的方向。 題型7:課標(biāo)創(chuàng)新題 例10.(1)設(shè),其中a、b、c、d是常數(shù)。 如果求; (2)若不等式對滿足的所有m都成立,求x的取值范圍。 解:(1)構(gòu)造函數(shù)則故: (2)原不等式可化為 構(gòu)造函數(shù),其圖象是一

23、條線段。 根據(jù)題意,只須: 即 解得。 點評:上面兩個題目通過重新構(gòu)造函數(shù)解決了實際問題,體現(xiàn)了函數(shù)的工具作用。 五.思維總結(jié) “函數(shù)”是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一,學(xué)習(xí)函數(shù)的概念首先要掌握函數(shù)三要素的基本內(nèi)容與方法。由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表,實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對各種式的認識與解不等式技能的熟練。 1.求函數(shù)解析式的題型有: (1)已知函數(shù)類型,求函數(shù)的解析式:待定系數(shù)法; (2)已知求或已知求:換元法、配湊法; (3)已知函數(shù)圖像,求函數(shù)解析式; (4)滿足某個等式,這個等式除外還有其他未知量,需構(gòu)造另個等式:解方程組法;

24、(5)應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等。 2.求函數(shù)定義域一般有三類問題: (1)給出函數(shù)解析式的:函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合; (2)實際問題:函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外,還應(yīng)考慮使實際問題有意義; (3)已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域: ①掌握基本初等函數(shù)(尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))的定義域; ②若已知的定義域,其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由解出。 3.求函數(shù)值域的各種方法 函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的。其類型依解析式的特點分可分三類:(1)求常見函數(shù)值域;(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的

25、值域;(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域。 ①直接法:利用常見函數(shù)的值域來求 一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R,值域為R; 反比例函數(shù)的定義域為{x|x0},值域為{y|y0}; 二次函數(shù)的定義域為R, 當(dāng)a>0時,值域為{}; 當(dāng)a<0時,值域為{}。 ②配方法:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),利用二次函數(shù)的特征來求值;常轉(zhuǎn)化為型如:的形式; ③分式轉(zhuǎn)化法(或改為“分離常數(shù)法”) ④換元法:通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù),化歸思想; ⑤三角有界法:轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù),運用三角函數(shù)有界性來求值域; ⑥基本不等式法:轉(zhuǎn)化成型如:,利用平均值不等式公式來求值域; ⑦單調(diào)性法:函數(shù)為單調(diào)函數(shù),可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。 ⑧數(shù)形結(jié)合:根據(jù)函數(shù)的幾何圖形,利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

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