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1、2022年高三數(shù)學一輪總復習 專題九 不等式(含解析)
抓住4個高考重點
重點1 不等式性質的應用
1.不等式性質的應用策略
(1)應用不等式性質時必須弄清楚前提條件;
(2)“不等式取倒數(shù)”的性質:
2.利用性質求數(shù)(式)的取值范圍的方法
應用不等式的性質求多個變量線性組合的范圍問題時,由于變量間相互制約,在“取等號”的條件上會有所不同,故解此類問題要特別小心.一般來說,可采用整體換元或待定系數(shù)法解決.
3.比較實數(shù)大小的方法
(1)作差比較法 (2)作商比較法
[高考常考角度]
角度1 下面四個條件中,使成立的充分而不必要條件是( A )
A.
2、 B. C. D.
解析:選擇項為條件,即尋找命題使且推不出,逐項驗證可選A
角度2設實數(shù)滿足則的最大值是
解析:考查不等式的基本性質,等價轉化思想。
由已知得,,,的最大值是.
重點2 一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式或的解法
2.分式不等式的解法
3.高次不等式的解法
4.含參數(shù)不等式的解法
[高考??冀嵌萞
角度1不等式的解集是( D )
A. B. C. D.
解析:或,則不等式的解集為,故選D
角度2已
3、知函數(shù),則滿足不等式的的范圍是_____________.
解析:本題以分段函數(shù)為載體,考查分段函數(shù)的單調性,以及一元二次不等式的解法由題意有
或解得或,綜合得
角度3已知函數(shù)若有則的取值范圍為( B )
A. B. C. D.
解析:由題可知,,
若有則,即,解得。
角度4 若關于的不等式的解集中的整數(shù)恰有個,則實數(shù)的取值范圍是__________
解析:原不等式可化為 ①
原不等式解集中的整數(shù)恰有個,須有,又由①得
又,所以解集中的3個整數(shù)必為,所以,解得
角度5已知函數(shù),.
(Ⅰ)討論函數(shù)的單
4、調區(qū)間;
(Ⅱ)設函數(shù)在區(qū)間內是減函數(shù),求的取值范圍.
解:(Ⅰ)由 得
當時,,有, 在上遞增
當或時,由得
由或
由
在和遞增,在遞減,
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間內是減函數(shù),則有在區(qū)間恒成立
只需
的取值范圍是
重點3 簡單的線性規(guī)劃問題
1.正確作出二元一次不等式(組)表示的區(qū)域
2.簡單的線性規(guī)劃問題的求解策略
[高考??冀嵌萞
角度1 已知滿足,則符合條件的整點可行解有___4___個.
解:畫出可行域,滿足條件的可行域中的整數(shù)點為
角度2已知是坐標原點,點,若點為平面區(qū)域,上的一個動點,則的取值范圍是
A.
5、 B. C. D.
解析:畫出可行域,,可知在點、取分別取到最小值、最大值。故選擇C。
角度3已知,滿足約束條件,
若的最小值為1,則( )
A. B. C. D.
解析:作出可行域,目標函數(shù)在處取得最小值,
于是,解得。故選B
角度4 . 已知變量滿足約束條件,則的取值范圍是( A )
A. B. C. D.
解:畫出可行域,可視為原點與區(qū)域內任一點連線的斜率,
得
角度5. 已知實數(shù)滿足線性約束條件則的取值范圍
6、是
解:畫出可行域,其中,
可以視為可行域中的動點到坐標系原點的距離的平方,
則
重點4 基本不等式
1.基本不等式,均值不等式
2.利用不等式求最值
[高考??冀嵌萞
角度1已知,則的最小值是( )
A. B. C. D.
解析:,當且僅當,即時,
等號成立,故選擇C。
角度2若對任意,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 .
解析:因為,所以(當且僅當時等號成立),
則,即的最大值為,故.
突破3個高考難點
難點1 不等式恒成立問題的求
7、解
1.恒成立問題
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上。
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上。
典例1 當時,不等式恒成立,則的取值范圍是_________
解析:設,則2,設,則原不等式恒成立,即函數(shù)在上恒成立
典例2 若不等式對滿足的所有都成立,則的取值范圍是 ___
解析:將原不等式化為,令,
則時,恒成立,只須解得
典例3 若不等式對任意的、恒成立,則正實數(shù)的最小值為( )
A. B. C. D.
解析:∴,故選擇C
難點2
8、 線性規(guī)劃中參變量問題的求解
典例
設,在約束條件下,目標函數(shù)的最大值小于,則的取值范圍為( A )
A. B. C. D.
解析:畫出可行域,可知在點取最大值,
由 解得。故選擇A
難點3 不等式的綜合運用
典例1 已知正數(shù)滿足,則的最小值為__________
解析:
令,由,當且僅當取等號,
設,則,由,而
所以函數(shù)在上遞減,故
點評:的單調性也可以由“對鉤函數(shù)”圖象獲得
規(guī)避3個易失分點
易失分點1 忽視基本不等式應用條件
典例 函數(shù)的值域是____________
9、
解析:誤解:,當且僅當即時取等號,故值域為
原因:,應當有和兩種情況.
正解:當時,,當且僅當即時取等號
當時,,當且僅當即時取等號
綜上,原函數(shù)的值域為
方法二:令或,而
故 或,原函數(shù)的值域為
易失分點2 線性規(guī)劃問題尋找最優(yōu)整點解方法不當
典例 已知,且滿足約束條件則的最小值
是( C )
A. B. C. D.
解析:畫出可行域,如圖所示,易得,且當直線過點時取最大值,此時,點,過點時取得最小值,為最小值
但都是整數(shù),最接近的整數(shù)解為,故所求的最小值為14,故選B
點評:整數(shù)解是否為,代入約束條件驗證可知.
易失分點3 平面區(qū)域不明
典例 在直角坐標系中,若不等式組表示一個三角形區(qū)域,則實數(shù)的取值范圍是____________
解析:過定點,如圖(1)所示,當這條直線的斜率為負值時,該直線與軸的交點必須在原點上方,時,可構成三角形區(qū)域;如圖(2)所示,當這條直線的斜率為正值時,所表示的是直線及其下方的半平面,此時不能構成三角形區(qū)域;當這條直線斜率為0時,構不成平面區(qū)域。因此的取值范圍是
點評:如果不加分析,會誤認為直線的斜率為正值時,
三條直線仍能夠構成三角形區(qū)域.這樣的結果是