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2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案 理 新人教A版

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2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案 理 新人教A版_第1頁
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查指數(shù)函數(shù)的求值、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì);2.討論與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì);3.將指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、抽象函數(shù)相結(jié)合,綜合考查指數(shù)函數(shù)知識的應(yīng)用. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.重視指數(shù)的運算,熟練的運算能力是高考得分的保證;2.掌握兩種情況下指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),在解題中要善于分析,靈活使用;3.對有關(guān)的復(fù)合函數(shù)要搞清函數(shù)的結(jié)構(gòu). 1. 根式的性質(zhì) (1)()n=a. (2)當(dāng)n為奇數(shù)時=a. 當(dāng)n為偶數(shù)時= 2. 有理數(shù)指數(shù)冪 (1)冪的有關(guān)概念 ①正整數(shù)指數(shù)冪:an=a·a

2、·…· (n∈N*). ②零指數(shù)冪:a0=1(a≠0). ③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:a-p=(a≠0,p∈N*). ④正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a=(a>0,m、n∈N*,且n>1). ⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a-== (a>0,m、n∈N*,且n>1). ⑥0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義. (2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 3. 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) y=ax a>1 0

3、+∞) 性質(zhì) (3)過定點(0,1) (4)當(dāng)x>0時,y>1; x<0時,00時,01 (6)在(-∞,+∞)上是增函數(shù) (7)在(-∞,+∞)上是減函數(shù) 數(shù)a按:01進(jìn)行分類討論. [難點正本 疑點清源] 1. 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實質(zhì)是相同的,通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義把根式的運算轉(zhuǎn)化為冪 的運算,從而可以簡化計算過程. 2. 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是底數(shù)a的大小決定的,因此解題時通常對底數(shù)a按:01 進(jìn)行分類討論. 3. 比較指數(shù)式的大小方法:利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、利用中間值. 1. 化

4、簡[(-2)6]-(-1)0的值為________. 答案 7 解析 [(-2)6]-(-1)0=(26)-1=23-1=7. 2. 若函數(shù)y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上為減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是__________. 答案 (-,-1)∪(1,) 解析 由y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上為減函數(shù),得00,且a≠1)的定義域和值域都是[0,2],則實數(shù)a=________. 答案  解析 當(dāng)a>1時,x∈[0,2],y∈[0,a2-1]. 因定義域和值域一致,故

5、a2-1=2,即a=. 當(dāng)00,且a≠1)的圖象可能是 (  ) 答案 D 解析 當(dāng)a>1時,y=ax-為增函數(shù),且在y軸上的截距為0<1-<1,排除A,B. 當(dāng)00,且a≠1),f(2)=4, (  ) A.f

6、(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2) C.f(1)>f(2) D.f(-2)>f(2) 答案 A 解析 ∵f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),f(2)=4, ∴a-2=4,∴a=, ∴f(x)=-|x|=2|x|,∴f(-2)>f(-1),故選A. 題型一 指數(shù)冪的運算 例1 (1)計算:(124+22)-27+16-2×(8-)-1; (2)已知x+x-=3,求的值. 思維啟迪:(1)本題是求指數(shù)冪的值,按指數(shù)冪的運算律運算即可; (2)注意x2+x-

7、2、x+x-與x+x-之間的關(guān)系. 解 (1)(124+22)-27+16-2×(8-)-1 =(11+)2×-33×+24×-2×8-×(-1) =11+-3+23-2×23× =11+-+8-8=11. (2)∵x+x-=3,∴(x+x-)2=9, ∴x+2+x-1=9,∴x+x-1=7, ∴(x+x-1)2=49,∴x2+x-2=47, 又∵x+x+-=(x+x-)·(x-1+x-1) =3×(7-1)=18, ∴=3. 探究提高 根式運算或根式與指數(shù)式混合運算時,將根式化為指數(shù)式計算較為方便,對 于計算的結(jié)果,不強求統(tǒng)一用什么形式來表示,如果有特殊要求,要根據(jù)要

8、求寫出結(jié)果.但結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又有負(fù)指數(shù). 計算下列各式的值: (1)-+(0.002)--10(-2)-1+(-)0; (2)-(-1)0-; (3) (a>0,b>0). 解 (1)原式=-+--+1 =+500-10(+2)+1 =+10-10-20+1=-. (2)原式=-2-1- =(-2)-1-(-2)=-1. (3)原式==a+-1+b1+-2-=ab-1. 題型二 指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)的應(yīng)用 例2 (1)函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論 正確的是

9、 (  ) A.a(chǎn)>1,b<0 B.a(chǎn)>1,b>0 C.00 D.0

10、]∪[4,+∞). ∵≥0,∴f(x)=3≥30=1, ∴函數(shù)f(x)的值域是[1,+∞). 令u==,x∈(-∞,1]∪[4,+∞), ∴當(dāng)x∈(-∞,1]時,u是減函數(shù), 當(dāng)x∈[4,+∞)時,u是增函數(shù). 而3>1,∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可知f(x)=3在(-∞,1]上是減函數(shù),在[4, +∞)上是增函數(shù). 探究提高 (1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究,往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象,通過平移、對稱變換得到其圖象. (2)對復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行討論時,要搞清復(fù)合而成的兩個函數(shù),然后對其中的參數(shù)進(jìn)行討論. (1)函數(shù)y=的圖象大致為

11、 (  ) 答案 A 解析 y==1+,當(dāng)x>0時,e2x-1>0,且隨著x的增大而增大,故y=1 +>1且隨著x的增大而減小,即函數(shù)y在(0,+∞)上恒大于1且單調(diào)遞減.又函 數(shù)y是奇函數(shù),故只有A正確. (2)若函數(shù)f(x)=e-(x-μ)2 (e是自然對數(shù)的底數(shù))的最大值是m,且f(x)是偶函數(shù),則m +μ=________. 答案 1 解析 由于f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x), 即e-(-x-μ)2=e-(x-μ)2,∴(x+μ)2=(x-μ)2,∴μ=0, ∴f(x)=e-x2.又y=ex是R上的增函數(shù),而-x2≤0,

12、 ∴f(x)的最大值為e0=1=m,∴m+μ=1. 題型三 指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用 例3 (1)k為何值時,方程|3x-1|=k無解?有一解?有兩解? (2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x-. ①若f(x)=,求x的值; ②若2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍. 思維啟迪:方程的解的問題可轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點問題;恒成立可以通過分離參數(shù)求最 值或值域來解決. 解 (1)函數(shù)y=|3x-1|的圖象是由函數(shù)y=3x的圖象向下平移一個單位后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的,函數(shù)圖象如圖所示. 當(dāng)k<0時,直線y=k與函數(shù)y=

13、|3x-1|的圖象無交點,即方程 無解;當(dāng)k=0或k≥1時,直線y=k與函數(shù)y=|3x-1|的圖象 有唯一的交點,所以方程有一解; 當(dāng)00,∴x=1. ②當(dāng)t∈[1,2]時,2t+m≥0, 即m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-1

14、7,-5], 故m的取值范圍是[-5,+∞). 探究提高 對指數(shù)函數(shù)的圖象進(jìn)行變換是利用圖象的前提,方程f(x)=g(x)解的個數(shù)即為函數(shù)y=f(x)和y=g(x)圖象交點的個數(shù);復(fù)合函數(shù)問題的關(guān)鍵是通過換元得到兩個新的函數(shù),搞清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu). 已知f(x)=(ax-a-x) (a>0且a≠1). (1)判斷f(x)的奇偶性; (2)討論f(x)的單調(diào)性; (3)當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)≥b恒成立,求b的取值范圍. 解 (1)因為函數(shù)的定義域為R,所以關(guān)于原點對稱. 又因為f(-x)=(a-x-ax)=-f(x), 所以f(x)為奇函數(shù). (2)當(dāng)a>1時,a2-

15、1>0,y=ax為增函數(shù),y=a-x為減函數(shù),從而y=ax-a-x為增函數(shù), 所以f(x)為增函數(shù), 當(dāng)00,且a≠1時,f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增. (3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù), 所以在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù), 所以f(-1)≤f(x)≤f(1), 所以f(x)min=f(-1)=(a-1-a) =·=-1, 所以要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,則只需b≤-1, 故b的取值范圍是(-∞,-1].       3.利

16、用方程思想和轉(zhuǎn)化思想求參數(shù)范圍 典例:(14分)已知定義域為R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù). (1)求a,b的值; (2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍. 審題視角 (1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),要求參數(shù)值,可考慮利用奇函數(shù)的性質(zhì),構(gòu)建方 程:f(0)=0,f(1)=-f(-1). (2)可考慮將t2-2t,2t2-k直接代入解析式化簡,轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的一元二次不等式.也可 考慮先判斷f(x)的單調(diào)性,由單調(diào)性直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式. 規(guī)范解答 解 (1)因為f(x)是R上的奇函數(shù), 所以f(0)=0,即=

17、0,解得b=1, 從而有f(x)=.[4分] 又由f(1)=-f(-1)知=-, 解得a=2.[7分] (2)方法一 由(1)知f(x)=, 又由題設(shè)條件得+<0, 即(22t2-k+1+2)(-2t2-2t+1)+(2t2-2t+1+2)(-22t2-k+1)<0.[9分] 整理得23t2-2t-k>1,因底數(shù)2>1,故3t2-2t-k>0.[12分] 上式對一切t∈R均成立,從而判別式Δ=4+12k<0, 解得k<-.[14分] 方法二 由(1)知f(x)==-+, 由上式易知f(x)在R上為減函數(shù),又因為f(x)是奇函數(shù),從而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)

18、<0 等價于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因為f(x)是R上的減函數(shù), 由上式推得t2-2t>-2t2+k.[12分] 即對一切t∈R有3t2-2t-k>0, 從而Δ=4+12k<0,解得k<-.[14分] 溫馨提醒 (1)根據(jù)f(x)的奇偶性,構(gòu)建方程求參數(shù)體現(xiàn)了方程的思想;在構(gòu)建方程時,利用 了特殊值的方法,在這里要注意:有時利用兩個特殊值確定的參數(shù),并不能保證對所有 的x都成立.所以還要注意檢驗. (2)數(shù)學(xué)解題的核心是轉(zhuǎn)化,本題的關(guān)鍵是將f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立等價轉(zhuǎn)化為t2 -2t>-2t2+k恒成立.這個轉(zhuǎn)化易出錯.

19、其次,不等式t2-2t>-2t2+k恒成立,即對一切t∈R有3t2-2t-k>0,也可以這樣做:k<3t2-2t,t∈R,只要k比3t2-2t的最小值小即可,而3t2-2t的最小值為-,所以k<-. 方法與技巧 1.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題,可以先通過令x=1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較. 2.指數(shù)函數(shù)y=ax (a>0,a≠1)的性質(zhì)和a的取值有關(guān),一定要分清a>1與0

20、對可化為a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0 (≤0)的指數(shù)方程或不等式,常借助換元法解 決,但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍. (時間:60分鐘) A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 設(shè)2a=5b=m,且+=2,則m等于 (  ) A. B.10 C.20 D.100 答案 A 解析 ∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,

21、∴+=+ =logm2+logm5=logm10=2. ∴m=. 2. 函數(shù)y=-x2+2x的值域是 (  ) A.R B.(0,+∞) C.(2,+∞) D. 答案 D 解析 ∵-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, ∴-x2+2x≥,故選D. 3. 函數(shù)y=(0

22、案 D 解析 函數(shù)定義域為{x|x∈R,x≠0},且y==.當(dāng)x>0時,函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù),因為00,a≠1),滿足f(1)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (  ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 答案 B 解析 由f(1)=,得a2=,∴a= (a=-

23、舍去), 即f(x)=|2x-4|. 由于y=|2x-4|在(-∞,2]上遞減,在[2,+∞)上遞增, 所以f(x)在(-∞,2]上遞增,在[2,+∞)上遞減.故選B. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 已知a=,函數(shù)f(x)=ax,若實數(shù)m、n滿足f(m)>f(n),則m、n的大小關(guān)系為________. 答案 mf(n),∴m0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大,則a的值為__________. 答案 或 解析 當(dāng)0

24、=,∴a=或a=0(舍去). 當(dāng)a>1時,a2-a=,∴a=或a=0(舍去). 綜上所述,a=或. 7. (xx·洛陽調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ax+b (a>0且a≠1)的圖象如圖所 示,則a+b的值是________. 答案?。? 解析 ∵,∴, ∴a+b=-2. 三、解答題(共25分) 8. (12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2|x+1|-|x-1|,求使f(x)≥2的x的取值范圍. 解 y=2x是增函數(shù),f(x)≥2等價于 |x+1|-|x-1|≥.① (1)當(dāng)x≥1時,|x+1|-|x-1|=2,∴①式恒成立. (2)當(dāng)-1

25、 ①式化為2x≥,即≤x<1. (3)當(dāng)x≤-1時,|x+1|-|x-1|=-2,①式無解. 綜上,x的取值范圍是. 9. (13分)設(shè)a>0且a≠1,函數(shù)y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,求a的值. 解 令t=ax (a>0且a≠1), 則原函數(shù)化為y=(t+1)2-2 (t>0). ①當(dāng)00,所以a=. ②當(dāng)a>1時,x∈[-1,1],t=ax∈, 此時f(t)在上是增函數(shù). 所以f(t)

26、max=f(a)=(a+1)2-2=14, 解得a=3(a=-5舍去). 綜上得a=或3. B組 專項能力提升 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 設(shè)函數(shù)f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,則F(x)的值域為 (  ) A.(-∞,1] B.[2,+∞) C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 答案 C 解析 當(dāng)x>0時,F(xiàn)(x)=+x≥2; 當(dāng)x≤0時,F(xiàn)(x)=ex+x,根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性,F(xiàn)(x)是單調(diào)遞增函數(shù), F(x)≤F(0)=1,所

27、以F(x)的值域為(-∞,1]∪[2,+∞). 2. (xx·山東)設(shè)函數(shù)f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0).若y=f(x)的圖象與y=g(x) 的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x1,y1),B(x2,y2),則下列判斷正確的是 (  ) A.當(dāng)a<0時,x1+x2<0,y1+y2>0 B.當(dāng)a<0時,x1+x2>0,y1+y2<0 C.當(dāng)a>0時,x1+x2<0,y1+y2<0 D.當(dāng)a>0時,x1+x2>0,y1+y2>0 答案 B 解析 由題意知函數(shù)f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0)的圖象有且僅有兩個公共點A(x1,y1),

28、B(x2,y2),等價于方程=ax2+bx(a,b∈R,a≠0)有兩個不同的根x1,x2, 即方程ax3+bx2-1=0有兩個不同非零實根x1,x2, 因而可設(shè)ax3+bx2-1=a(x-x1)2(x-x2), 即ax3+bx2-1=a(x3-2x1x2+xx-x2x2+2x1x2x-x2x), ∴b=a(-2x1-x2),x+2x1x2=0,-ax2x=-1, ∴x1+2x2=0,ax2>0, 當(dāng)a>0時,x2>0, ∴x1+x2=-x2<0,x1<0, ∴y1+y2=+=>0. 當(dāng)a<0時,x2<0, ∴x1+x2=-x2>0,x1>0, ∴y1+y2=+=<0.

29、3. (xx·上饒質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)=-,[x]表示不超過x的最大整數(shù),則函數(shù)y=[f(x)] 的值域是 (  ) A.{0,1} B.{0,-1} C.{-1,1} D.{1,1} 答案 B 解析 f(x)=-=-. ∵1+2x>1,∴f(x)的值域是. ∴y=[f(x)]的值域是{0,-1}. 二、填空題(每小題4分,共12分) 4.

30、 函數(shù)f(x)=ax2+2x-3+m (a>1)恒過點(1,10),則m=______. 答案 9 解析 f(x)=ax2+2x-3+m在x2+2x-3=0時過定點(1,1+m)或(-3,1+m),∴1+m =10,解得m=9. 5. 若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是________. 答案 (1,+∞) 解析 令ax-x-a=0即ax=x+a,若01,y=ax與y=x+a的圖象如圖所示. 6. 關(guān)于x的方程x=有負(fù)數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍為__________.

31、 答案  解析 由題意,得x<0,所以01,ex1-ex2<0,∴ex1+x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

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