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1、2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 第1講 空間幾何體教案 自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引 真題感悟 1．(xx·遼寧)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________． 解析　將三視圖還原為直觀圖后求解． 根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)圓柱，所以S＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38. 答案　38 2．(xx·遼寧)已知正三棱錐P-ABC，點(diǎn)P、A、B、C都在半徑為的球面上，若PA、PB、PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為________． 解析　先求出△ABC的中心，再求出高，建立方程求解． 如圖，設(shè)PA＝a， 則AB＝a，PM＝a. 設(shè)球的

2、半徑為R， 所以2＋2＝R2， 將R＝代入上式， 解得a＝2，所以d＝－＝. 答案　 考題分析 高考考查本部分內(nèi)容時(shí)一般把三視圖與空間幾何體的表面積與體積相結(jié)合，題型以小題為主，解答此類題目需仔細(xì)觀察圖形，從中獲知線面的位置關(guān)系與數(shù)量大小，然后依據(jù)公式計(jì)算． 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 高頻考點(diǎn)突破 考點(diǎn)一： 空間幾何體與三視圖 【例1】已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為 [審題導(dǎo)引]　條件中的俯視圖與側(cè)視圖給出了邊長(zhǎng)，故可根據(jù)三視圖的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行選擇． [規(guī)范解答]　空間幾何體的正

3、視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，故正視圖的高一定是2，正視圖和俯視圖“長(zhǎng)對(duì)正”，故正視圖的底面邊長(zhǎng)為2，根據(jù)側(cè)視圖中的直角說明這個(gè)空間幾何體最前面的面垂直于底面，這個(gè)面遮住了后面的一個(gè)側(cè)棱，綜合以上可知，這個(gè)空間幾何體的正視圖可能是C. [答案]　C 【規(guī)律總結(jié)】 解決三視圖問題的技巧 空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，正視圖和俯視圖的“長(zhǎng)對(duì)正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”．也就是說正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖中的長(zhǎng)就是空間幾何體的最大長(zhǎng)度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度．在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被

4、遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”．在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的“虛線”． 【變式訓(xùn)練】 1．(xx·豐臺(tái)二模)一個(gè)正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，其俯視圖如圖所示，則該正四棱錐的正視圖的面積為 A.　　　　B.　　　　C．2　　　　D．4 解析　正四棱錐的直觀圖如圖所示，BH＝，SB＝2， ∴SH＝，其正視圖為底面邊長(zhǎng)為2，高為的等腰三角形， ∴正四棱錐的正視圖的面積為S＝×2×＝. 答案　A 考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積與體積 【例2】　(1)一個(gè)幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為 A．4 m3

5、 B.m3 C．3m3 D. m3 (2)(xx·豐臺(tái)一模)若正四棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是 A．4 B．4＋4 C．8 D．4＋4 [審題導(dǎo)引]　(1)把三視圖還原為幾何體，畫出其直觀圖，然后分別計(jì)算各個(gè)部分的體積，最后整合得到結(jié)果； (2)作出幾何體的直觀圖，根據(jù)正視圖中的幾何體的數(shù)量可得直觀圖的數(shù)量，可求其表面積． [規(guī)范解答]　(1)這個(gè)空間幾何體的直觀圖如圖所示，把右半部分割補(bǔ)到上方的后面以后，實(shí)際上就是三個(gè)正方體，故其體積是3 m3.故選C. (2)正四棱錐的直觀圖如圖所示， 由正視圖與俯視圖可知SH＝3，

6、AH＝，AB＝2， ∴△SAB的高SE＝＝， ∴所求的表面積為 S＝4××2×＋2×2 ＝4＋4. [答案]　(1)C　(2)B 【規(guī)律總結(jié)】 組合體的表面積和體積的計(jì)算方法 實(shí)際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺(tái)、球，而是由柱、錐、臺(tái)、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體的表面積或體積的基本方法就是“分解”，將組合體分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺(tái)、球或其一個(gè)部分，分別計(jì)算其體積，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個(gè)組合體的表面積或體積轉(zhuǎn)化為這些“部分的表面積或體積”的和或差． [易錯(cuò)提示]　空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個(gè)空間幾何體中“

7、暴露”在外的所有面的面積，在計(jì)算時(shí)要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和．對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的，在計(jì)算時(shí)不要多算也不要少算，組合體的表面積要根據(jù)情況決定其表面積是哪些面積之和． 【變式訓(xùn)練】 2．(xx·濟(jì)南模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________． 解析　由三視圖可知該幾何體為三棱錐，其高為3， 底面積為S＝×3×1＝， ∴體積V＝××3＝. 答案　 3．某品牌香水瓶的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積為___

8、_____cm2 解析　這個(gè)空間幾何體上面是一個(gè)四棱柱、中間部分是一個(gè)圓柱、下面是一個(gè)四棱柱．上面四棱柱的面積為2×3×3＋12×1－＝30－；中間部分的面積為2π××1＝π，下面部分的面積為2×4×4＋16×2－＝64－.故其面積是94＋. 答案　94＋ 考點(diǎn)三：球與球的組合體 【例3】正四棱錐S－ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為________． [審題導(dǎo)引]　如圖所示，根據(jù)對(duì)稱性，只要在四棱錐的高線SE上找到一個(gè)點(diǎn)O使得OA＝OS，則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)就在同一個(gè)球面上． [規(guī)范解答]　如圖所示，在Rt△SEA中，SA＝，

9、AE＝1，故SE＝1.設(shè)球的半徑為r，則OA＝OS＝r，OE＝1－r.在Rt△OAE中，r2＝(1－r)2＋1，解得r＝1，即點(diǎn)O即為球心，故這個(gè)球的體積是. [答案]　 【規(guī)律總結(jié)】 巧解球與多面體的組合問題 求解球與多面體的組合問題時(shí)，其關(guān)鍵是確定球心的位置，可以根據(jù)空間幾何體的對(duì)稱性判斷球心的位置，然后通過作出輔助線或輔助平面確定球的半徑和多面體中各個(gè)幾何元素的關(guān)系，達(dá)到求解解題需要的幾何量的目的． 【變式訓(xùn)練】 4．(xx·普陀區(qū)模擬)若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此球的體積為________． 解析　設(shè)正六棱柱的上，下底面的中心分別

10、為O1，O2， 則O1O2的中點(diǎn)即為球心O， 如圖所示，AO2＝，O2O＝， ∴R＝AO＝＝， ∴V＝πR3＝π×3＝π. 答案　π 名師押題高考 【押題1】某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，則該三棱錐的體積為________． 解析　由于側(cè)視圖和俯視圖“寬相等”，故側(cè)視圖的底邊長(zhǎng)是2，由此得側(cè)視圖的高為2，此即為三棱錐的高；俯視圖的面積為6，由題設(shè)條件，此即為三棱錐的底面積．所以所求的三棱錐的體積是×6×2＝4. 答案　4 [押題依據(jù)]　幾何體的三視圖是高考的熱點(diǎn)問題，通常與幾何體的體積和表面積結(jié)合考查．本題給出幾何體的三視圖及其數(shù)量大小，要求考生據(jù)此

11、計(jì)算幾何體的體積，此類型可以說是高考的必考點(diǎn)，故押此題． 【押題2】正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且正四面體的高為4，則這個(gè)球的表面積是________． 解析　我們不妨設(shè)該正四面體的棱長(zhǎng)為a，其外接球的半徑是R，內(nèi)切球的半徑是r，則該正四面體的高h(yuǎn)＝R＋r，如圖所示，則在Rt△OO1A中，OO1＝r，OA＝R，O1A＝a， 從而有解得R＝a，r＝a. 根據(jù)R＝a，h＝a＝4?R＝3?S＝4πR2＝36π. 答案　36π [押題依據(jù)]　本題主要考查空間幾何體與球的組合體知識(shí)，這類題是高考考查球及其組合體的?？碱}型，有兩類重要組合模型，即球的內(nèi)接與球的外切．