2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.2空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.2空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.與三視圖相結(jié)合,考查幾何體的表面積、體積;2.作為解答題中的某一問,與空間線面關(guān)系相結(jié)合考查幾何體體積的計(jì)算. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.熟記公式,理解公式的意義;2.結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征,運(yùn)用公式解決一些計(jì)算問題. 1. 柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積 面積 體積 圓柱 S側(cè)=2πrh V=Sh=πr2h 圓錐 S側(cè)=πrl V=Sh=πr2h=πr2 圓臺(tái) S側(cè)=π(r1+r2)l V=(S上+S下+)h=π(r+r+r1r2)h 直棱柱 S側(cè)=C
2、h V=Sh 正棱錐 S側(cè)=Ch′ V=Sh 正棱臺(tái) S側(cè)=(C+C′)h′ V=(S上+S下+)h 球 S球面=4πR2 V=πR3 2 .幾何體的表面積 (1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和. (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形;它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和. [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 幾何體的側(cè)面積和全面積 幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和,而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和.對(duì)側(cè)面積公式的記憶,最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進(jìn)行.要特別留意根據(jù)幾何體側(cè)面展開圖的平面圖形的特點(diǎn)來求解相關(guān)問題.如直棱柱(圓柱
3、)側(cè)面展開圖是一矩形,則可用矩形面積公式求解.再如圓錐側(cè)面展開圖為扇形,此扇形的特點(diǎn)是半徑為圓錐的母線長(zhǎng),圓弧長(zhǎng)等于底面的周長(zhǎng),利用這一點(diǎn)可以求出展開圖扇形的圓心角的大?。? 2. 等積法 等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到,利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高,特別是在求三角形的高和三棱錐的高,這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高,而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值. 1. 圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是________. 答案 4πS 解析 設(shè)圓柱的底面半徑
4、為r,則r=, 又側(cè)面展開圖為正方形,∴圓柱的高h(yuǎn)=2, ∴S圓柱側(cè)=4πS. 2. 設(shè)某幾何體的三視圖如下(尺寸的長(zhǎng)度單位為m).則該幾何體的體積為________m3. 答案 4 解析 這個(gè)空間幾何體是一個(gè)三棱錐,這個(gè)三棱錐的高為2,底面是一個(gè)一條邊長(zhǎng)為4、這條邊上的高為3的等腰三角形,故其體積V=××4×3×2=4. 3. 表面積為3π的圓錐,它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則該圓錐的底面直徑為________. 答案 2 解析 設(shè)圓錐的母線為l,圓錐底面半徑為r.則πl(wèi)2+πr2=3π,πl(wèi)=2πr,∴r=1,即圓錐的底面直徑為2. 4. 一個(gè)球與一個(gè)正方體的各個(gè)面均相
5、切,正方體的邊長(zhǎng)為a,則球的表面積為________. 答案 πa2 解析 由題意知,球的半徑R=. 所以S球=4πR2=πa2. 5. 如圖所示,在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中,P是A1B1上 一點(diǎn),且PB1=A1B1,則多面體P—BB1C1C的體積為________. 答案 解析 ∵四棱錐P—BB1C1C的底面積為16,高PB1=1, ∴VP—BB1C1C=×16×1=. 題型一 空間幾何體的表面積 例1 一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 ( ) A.48 B.32+8 C.48+8 D.8
6、0 思維啟迪:先通過三視圖確定空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后再求表面積. 答案 C 解析 由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示,該幾何體的下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形;上底面是長(zhǎng)為4、寬為2的矩形;兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底面,上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,高為4;另兩個(gè)側(cè)面是矩形,寬為4,長(zhǎng)為=.所以S表=42+2×4+×(2+4)×4×2+4××2=48+8. 探究提高 (1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?,從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系. (2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理. (3)圓柱、圓錐、圓
7、臺(tái)的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和. 一個(gè)幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的表面積是________cm2. 答案 4π+12 解析 由三視圖知該幾何體為一個(gè)四棱柱、一個(gè)半圓柱和一個(gè)半球的組合體,其中四棱柱上表面與半球重合部分之外的面積為1×2-×π×12=2-,四棱柱中不重合的表面積為2-+1×2×2+2×2+2=12-,半圓柱中不重合的表面積為×2π×2+π=π,半球的表面積為×4π=2π,所以該幾何體的表面積為4π+12. 題型二 空間幾何體的體積 例2 如圖所示,已知E、F分別是棱長(zhǎng)為a的正方體
8、 ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn),求四棱錐C1—B1EDF 的體積. 思維啟迪:思路一:先求出四棱錐C1—B1EDF的高及其底面積,再利用棱錐的體積公式求出其體積; 思路二:先將四棱錐C1—B1EDF化為兩個(gè)三棱錐B1—C1EF與D—C1EF,再求四棱錐C1—B1EDF的體積. 解 方法一 連接A1C1,B1D1交于點(diǎn)O1,連接B1D,EF,過O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1,且A1C1?平面B1EDF,∴A1C1∥平面B1EDF. ∴C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離. ∵平面B1D1D⊥平面B1EDF, 平面B1D1D
9、∩平面B1EDF=B1D, ∴O1H⊥平面B1EDF,即O1H為棱錐的高. ∵△B1O1H∽△B1DD1, ∴O1H==a. ∴VC1—B1EDF=S四邊形B1EDF·O1H=··EF·B1D·O1H=··a·a·a=a3. 方法二 連接EF,B1D. 設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1,D到平面C1EF的距離為h2,則h1+h2=B1D1=a. 由題意得,VC1—B1EDF=VB1—C1EF+VD—C1EF =·S△C1EF·(h1+h2)=a3. 探究提高 在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個(gè)幾何體的體積之比時(shí),常常需要用到分割法.在求一個(gè)幾何體被分成兩部分的體積之比時(shí),
10、若有一部分為不規(guī)則幾何體,則可用整個(gè)幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積. (xx·課標(biāo)全國(guó))已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由于三棱錐S-ABC與三棱錐O-ABC底面都是△ABC,O是SC的中點(diǎn),因此三棱錐S-ABC的高是三棱錐O-ABC高的2倍, 所以三棱錐S-ABC的體積也是三棱錐O-ABC體積的2倍. 在三棱錐O-ABC中,其棱長(zhǎng)都是1,如圖所示, S△ABC=×AB2=, 高OD==, ∴
11、VS-ABC=2VO-ABC=2×××=. 題型三 幾何體的展開與折疊問題 例3 (1)如圖所示,在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD中,AC與BD相交于O, 剪去△AOB,將剩余部分沿OC、OD折疊,使OA、OB重合,則以A、B、 C、D、O為頂點(diǎn)的四面體的體積為________. (2)有一根長(zhǎng)為3π cm,底面直徑為2 cm的圓柱形鐵管,用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈,并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端,則鐵絲的最短長(zhǎng)度為________ cm. 思維啟迪:(1)考慮折疊后所得幾何體的形狀及數(shù)量關(guān)系;(2)可利用圓柱的側(cè)面展開圖. 答案 (1) (2)5π 解析 (1)折疊
12、后的四面體如圖所示. OA、OC、OD兩兩相互垂直,且OA=OC=OD=2,體積V= S△OCD·OA=××(2)3=. (2)把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開,在平面上得到矩形ABCD(如圖),由題意知BC=3π cm,AB=4π cm,點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置,故線段AC的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度. AC==5π (cm), 故鐵絲的最短長(zhǎng)度為5π cm. 探究提高 (1)有關(guān)折疊問題,一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系,哪些變,哪些不變. (2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題,常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開,轉(zhuǎn)化為平面上
13、兩點(diǎn)間的最短距離問題. 如圖,已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一邊長(zhǎng)為1的正方形和4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形組成,則該多面體的體積是________. 答案 解析 如圖,四棱錐的高 h==, ∴V=Sh=×1×=. 轉(zhuǎn)化思想在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用 典例:(12分)如圖,在直棱柱ABC—A′B′C′中,底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三 角形,AA′=4,M為AA′的中點(diǎn),P是BC上一點(diǎn),且由P沿棱柱側(cè)面 經(jīng)過棱CC′到M的最短路線長(zhǎng)為,設(shè)這條最短路線與CC′的交點(diǎn)為 N,求: (1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng); (2)PC與NC的長(zhǎng); (3)三棱錐C—MNP的體積.
14、 審題視角 (1)側(cè)面展開圖從哪里剪開展平;(2)MN+NP最短在展開圖上呈現(xiàn)怎樣的形式;(3)三棱錐以誰做底好. 規(guī)范解答 解 (1)該三棱柱的側(cè)面展開圖為一邊長(zhǎng)分別為4和9的矩形,故對(duì)角線長(zhǎng)為=.[2分] (2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB′展開,如下圖,設(shè)PC=x,則MP2=MA2+(AC+x)2. ∵M(jìn)P=,MA=2,AC=3, ∴x=2,即PC=2. 又NC∥AM,故=,即=. ∴NC=.[8分] (3)S△PCN=×CP×CN=×2×=. 在三棱錐M—PCN中,M到面PCN的距離, 即h=×3=. ∴VC—MNP=VM—PCN=·h·S△PCN =××=.[
15、12分] 溫馨提醒 (1)解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是“展開”,即將空間幾何體的“面”展開后鋪在一個(gè)平面上,將問題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問題. (2)如果已知的空間幾何體是多面體,則根據(jù)問題的具體情況可以將這個(gè)多面體沿多面體中某條棱或者兩個(gè)面的交線展開,把不在一個(gè)平面上的問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上. 如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開,把曲面上的問題轉(zhuǎn)化為平面上的問題. (3)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是,不知道從哪條側(cè)棱剪開展平,不能正確地畫出側(cè)面展開圖.缺乏空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化意識(shí). 方法與技巧 1.對(duì)于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積的問題,要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特
16、點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來解決. 2.要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 3.求幾何體的體積,要注意分割與補(bǔ)形.將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解. 4.一些幾何體表面上的最短距離問題,常常利用幾何體的展開圖解決. 失誤與防范 1.幾何體展開、折疊問題,要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系,找出其中的量的關(guān)系. 2.與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖,如球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心,正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于
17、球的直徑. A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. (xx·課標(biāo)全國(guó))如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為 ( ) A.6 B.9 C.12 D.18 答案 B 解析 結(jié)合三視圖知識(shí)求解三棱錐的體積. 由題意知,此幾何體是三棱錐,其高h(yuǎn)=3,相應(yīng)底面面積為S=×6×3=9, ∴V=Sh=×9×3=9. 2. 已知高為3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形 (如右圖所示),則三棱錐B′—ABC的
18、體積為 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 VB′—ABC=×BB′×S△ABC=×3××12=. 3. 正六棱柱的高為6,底面邊長(zhǎng)為4,則它的全面積為 ( ) A.48(3+) B.48(3+2) C.24(+) D.144 答案 A 解析 S底=6××42=24,S側(cè)=6×4×6=144, ∴S全=S側(cè)+2S底=144+48=48(3+). 4. (xx·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是 ( ) A.28+6 B.30+6 C.56+12
19、 D.60+12 答案 B 解析 根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖,利用直觀圖的圖形特征求其表面積. 由幾何體的三視圖可知,該三棱錐的直觀圖如圖所示, 其中AE⊥平面BCD,CD⊥BD,且CD=4,BD=5,BE=2,ED=3,AE=4. ∵AE=4,ED=3,∴AD=5. 又CD⊥BD,CD⊥AE, 則CD⊥平面ABD, 故CD⊥AD, 所以AC=且S△ACD=10. 在Rt△ABE中,AE=4,BE=2,故AB=2. 在Rt△BCD中,BD=5,CD=4, 故S△BCD=10,且BC=. 在△ABD中,AE=4,BD=5,故S△ABD=10. 在△ABC
20、中,AB=2,BC=AC=, 則AB邊上的高h(yuǎn)=6,故S△ABC=×2×6=6. 因此,該三棱錐的表面積為S=30+6. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. (xx·山東)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F(xiàn)分別 為線段AA1,B1C上的點(diǎn),則三棱錐D1-EDF的體積為________. 答案 解析 利用三棱錐的體積公式直接求解. VD1-EDF=VF-DD1E=S△D1DE·AB=××1×1×1=. 6. (xx·天津)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為________m3. 答案 4 解析 此幾何體是兩個(gè)長(zhǎng)方體的
21、組合,故V=2×1×1+1×1×2=4. 7. 已知三棱錐A—BCD的所有棱長(zhǎng)都為,則該三棱錐的外接球的表面積為________. 答案 3π 解析 如圖,構(gòu)造正方體ANDM—FBEC.因?yàn)槿忮FA—BCD的所有棱長(zhǎng)都為,所以正方體ANDM—FBEC的棱長(zhǎng)為1.所以該正方體的外接球的半徑為. 易知三棱錐A—BCD的外接球就是正方體ANDM—FBEC的外接球,所以三棱錐A—BCD的外接球的半徑為.所以三棱錐A—BCD的外接球的表面積為S球=4π2=3π. 三、解答題(共22分) 8. (10分)如圖所示,在邊長(zhǎng)為5+的正方形ABCD中,以A為圓心 畫一個(gè)扇形,以O(shè)為圓心畫一個(gè)圓,M
22、,N,K為切點(diǎn),以扇形為 圓錐的側(cè)面,以圓O為圓錐底面,圍成一個(gè)圓錐,求圓錐的全面積 與體積. 解 設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,高為h, 由已知條件, 解得r=,l=4,S=πrl+πr2=10π, h==,V=πr2h=2π. 9. (12分)如圖,已知某幾何體的三視圖如下(單位:cm). (1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法); (2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積. 解 (1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示. (2)這個(gè)幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q—A1D1P的組合體. 由PA1=PD1=, A1D1=AD=2,可得PA1⊥PD1.
23、故所求幾何體的表面積 S=5×22+2×2×+2××()2 =22+4(cm2), 體積V=23+×()2×2=10(cm3). B組 專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是個(gè)半圓,則該幾何體的表面積為 ( ) A.π B.π+ C.π+ D.π+ 答案 C 解析 由三視圖可知該幾何體為一個(gè)半圓錐,底面半徑為1,高為,∴表面積S=×2×+×π×12+×π×1×2=+. 2. 在四棱錐E—ABCD中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,2AB=3CD,M為
24、AE的中點(diǎn),設(shè)E—ABCD的體積為V,那么三棱錐M—EBC的體積為 ( ) A.V B.V C.V D.V 答案 D 解析 設(shè)點(diǎn)B到平面EMC的距離為h1,點(diǎn)D到平面EMC的距離為h2. 連接MD. 因?yàn)镸是AE的中點(diǎn), 所以VM—ABCD=V. 所以VE—MBC=V-VE—MDC. 而VE—MBC=VB—EMC,VE—MDC=VD—EMC, 所以==. 因?yàn)锽,D到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離,而AB∥CD,且2AB=3CD,所以=. 所以VE—MBC=VM-EBC=V. 3. (xx·遼寧)已知球的直徑SC=4,A、B
25、是該球球面上的兩點(diǎn),AB=,∠ASC=∠BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積為 ( ) A.3 B.2 C. D.1 答案 C 解析 由題意知,如圖所示,在棱錐S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一個(gè)角為30°的直角三角形,其中AB=,SC=4,所以SA=SB=2,AC=BC=2,作BD⊥SC于D點(diǎn),連接AD,易證SC⊥平面ABD,因此V=××()2×4=. 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. 如圖,已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2 cm,高為5 cm,則 一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的
26、最短路線 的長(zhǎng)為______ cm. 答案 13 解析 根據(jù)題意,利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱,然后 將其展開為如圖所示的實(shí)線部分,則可知所求最短路線的長(zhǎng)為=13 cm. 5. 已知一個(gè)幾何體是由上、下兩部分構(gòu)成的組合體,其三視圖如圖所示, 若圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長(zhǎng)為,則該幾何體的體積是 ________. 答案 π 解析 這個(gè)幾何體是由一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐和一個(gè)半徑為1的半球組成的幾何體,故其體積為π×12×2+×π×13=π. 6. (xx·上海)如圖,AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱,BC= 2.若AD=2c,且AB
27、+BD=AC+CD=2a,其中a、c為常數(shù),則四面 體ABCD的體積的最大值是________. 答案 c 解析 利用橢圓的定義及割補(bǔ)法求體積. ∵AB+BD=AC+CD=2a>2c=AD, ∴B、C都在以AD的中點(diǎn)O為中心,以A、D為焦點(diǎn)的兩個(gè)橢圓上, ∴B、C兩點(diǎn)在橢圓兩短軸端點(diǎn)時(shí),到AD距離最大,均為, 此時(shí)△BOC為等腰三角形,且AD⊥OC,AD⊥OB, ∴AD⊥平面OBC.取BC的中點(diǎn)E,顯然OE⊥BC, OEmax=, ∴(S△BOC)max=×2×=. ∴VD-ABC=VD-OBC+VA-OBC =·OD·S△OBC+·OA·S△OBC =(OD+OA)
28、S△OBC =×2c =c. 三、解答題 7. (13分)如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D—ABC,如圖2所示. 圖1 圖2 (1)求證:BC⊥平面ACD; (2)求幾何體D—ABC的體積. (1)證明 在圖中,可得AC=BC=2, 從而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC. 又平面ADC⊥平面ABC, 平面ADC∩平面ABC=AC,BC?平面ABC, ∴BC⊥平面ACD. (2)解 由(1)可知BC為三棱錐B—ACD的高, BC=2,S△ACD=2, ∴VB—ACD=S△ACD·BC=×2×2=, 由等體積性可知,幾何體D—ABC的體積為.
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