2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.8函數(shù)與方程教案 理 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.8函數(shù)與方程教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)和取值范圍;2.利用函數(shù)零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍;3.利用二分法求方程近似解;4.與實(shí)際問題相聯(lián)系,考查數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.準(zhǔn)確理解函數(shù)零點(diǎn)與方程的根,函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)之間的關(guān)系,能根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和二分法求方程近似解;2.會利用函數(shù)值域求解“a=f(x)有解”型問題;3.利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題. 1. 函數(shù)的零點(diǎn) (1)函數(shù)零點(diǎn)的定義 對于函數(shù)y=f(x) (x∈D),把使f(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x) (x∈D)的
2、零點(diǎn). (2)幾個等價關(guān)系 方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn). (3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理) 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個__c__也就是f(x)=0的根. 2. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函數(shù) y=ax2+bx+c (a>0)的圖象 與x軸的交點(diǎn) (x1,0), (x2,
3、0) (x1,0) 無交點(diǎn) 零點(diǎn)個數(shù) 兩個 一個 無 3. 二分法 (1)定義:對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù) f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法. (2)給定精確度ε,用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下: ①確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)·f(b)<0,給定精確度ε;②求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;③計(jì)算f(c); (ⅰ)若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn); (ⅱ)若f(a)·f(c)<0,則令b=c(此時零點(diǎn)x0∈(a,c)); (
4、ⅲ)若f(c)·f(b)<0,則令a=c(此時零點(diǎn)x0∈(c,b)). ④判斷是否達(dá)到精確度ε:即若|a-b|<ε,則得到零點(diǎn)近似值a(或b);否則重復(fù)②③④. [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] (1)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn),是方程f(x)=0的根; (2)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點(diǎn),而不能判斷函數(shù)的不變號零點(diǎn),而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分條件,而不是必要條件. (3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù):畫出兩個函數(shù)的圖象,看其交點(diǎn)的個數(shù),其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值,就有幾個不同的零點(diǎn). 1. 若函數(shù)f(x)=x2-ax-b的兩個
5、零點(diǎn)是2和3,則函數(shù)g(x)=bx2-ax-1的零點(diǎn)是_______. 答案?。? 解析 由,得. ∴g(x)=-6x2-5x-1的零點(diǎn)為-,-. 2. 已知函數(shù)f(x)=ln x-x+2有一個零點(diǎn)所在的區(qū)間為(k,k+1) (k∈N*),則k的值為 ________. 答案 3 解析 由題意知,f(3)=ln 3-1>0,f(4)=ln 4-2<0,所以該函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(3,4)內(nèi), 所以k=3. 3. (xx·湖北)函數(shù)f(x)=xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個數(shù)為 ( ) A.4 B.5 C.6
6、D.7 答案 C 解析 當(dāng)x=0時,f(x)=0.又因?yàn)閤∈[0,4], 所以0≤x2≤16. 因?yàn)?π<16<, 所以函數(shù)y=cos x2在x2取,,,,時為0, 此時f(x)=0,所以f(x)=xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個數(shù)為6. 4. (xx·課標(biāo)全國)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 ( ) A.(-,0) B.(0,) C.(,) D.(,) 答案 C 解析 ∵f(x)=ex+4x-3,∴f′(x)=ex+4>0.
7、 ∴f(x)在其定義域上是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù). ∵f(-)=e--4<0,f(0)=e0+4×0-3=-2<0, f()=e-2<0,f()=e-1>0, ∴f()·f()<0. 題型一 函數(shù)零點(diǎn)的判斷 例1 判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn). (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]. 思維啟迪:第(1)問利用零點(diǎn)的存在性定理或直接求出零點(diǎn),第(2)問利用零點(diǎn)的存在性定理或利用兩圖象的交點(diǎn)來求解. 解 (1)方法一 ∵f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0,
8、∴f(1)·f(8)<0,
故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零點(diǎn).
方法二 令f(x)=0,得x2-3x-18=0,x∈[1,8].
∴(x-6)(x+3)=0,∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8],
∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零點(diǎn).
(2)方法一 ∵f(1)=log23-1>log22-1=0,
f(3)=log25-3 9、≤x≤3時,兩圖象有一個交點(diǎn),
因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零點(diǎn).
探究提高 求解函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題常用的辦法有三種:一是用定理,二是解方程,
三是用圖象.值得說明的是,零點(diǎn)存在性定理是充分條件,而并非是必要條件.
函數(shù)f(x)=2x+3x的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是 ( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
答案 B
解析 ∵f′(x)=2xln 2+3>0,
∴f( 10、x)=2x+3x在R上是增函數(shù).
而f(-2)=2-2-6<0,f(-1)=2-1-3<0,
f(0)=20=1>0,f(1)=2+3=5>0,f(2)=22+6=10>0,
∴f(-1)·f(0)<0.故函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上有零點(diǎn).
題型二 函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷
例2 若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,則函數(shù)y=f(x)-log3|x|的零點(diǎn)個數(shù)是________.
思維啟迪:函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)?方程解的個數(shù)?函數(shù)y=f(x)與y=log3|x|交點(diǎn)的個數(shù).
答案 4
解析 由題意知,f(x)是周期為2的偶函數(shù). 11、
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)及y=log3|x|的圖象,如下:
觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點(diǎn),
即函數(shù)y=f(x)-log3|x|有4個零點(diǎn).
探究提高 對函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷方法:(1)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,利用函數(shù)的單調(diào)性、
對稱性確定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù);(2)利用函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)判斷方程根的個數(shù)或函數(shù)零點(diǎn)個
數(shù).
(xx·天津)函數(shù)f(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 因?yàn)閒′(x)=2xln 2+3x 12、2>0,
所以函數(shù)f(x)=2x+x3-2在(0,1)上遞增,
且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,
所以有1個零點(diǎn).
題型三 二次函數(shù)的零點(diǎn)問題
例3 已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求m的范圍;
(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),求m的范圍.
思維啟迪:設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù),可畫出相應(yīng)的示意圖, 然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.
解 (1)由條件,拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1
與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi),如圖(1)所 13、示,得
?
即- 14、)由已知條件解得a>2.
(2)由已知條件解得22.
(4)由已知條件f(1)f(3)<0,解得
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