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2022年高中數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 文 蘇教版選修1-1

上傳人:xt****7 文檔編號:105134702 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):5 大小:54.52KB
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1、2022年高中數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 文 蘇教版選修1-1 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容: 橢圓的幾何性質(zhì) 二. 教學(xué)目標(biāo): 通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論,使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì),能正確地畫出橢圓的圖形,并了解橢圓的一些實際應(yīng)用. 通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實際問題的能力. 使學(xué)生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法,加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解,這樣才能解決隨之而來的一些問題,如弦、最值問題等. 三. 重點(diǎn)、難點(diǎn): 重點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用. 難點(diǎn):橢圓離心率的概念的理解. 四. 知識梳理 1、幾何性質(zhì)

2、 (1)范圍,即|x|≤a,|y|≤b,這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里.注意結(jié)合圖形講解,并指出描點(diǎn)畫圖時,就不能取范圍以外的點(diǎn). (2)對稱性 把x換成-x,或把y換成-y,或把x、y同時換成-x、-y時,方程都不變,所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對稱 (3)頂點(diǎn) 在中,須令x=0,得y=±b,點(diǎn)B1(0,-b)、B2(0,b)是橢圓和y軸的兩個交點(diǎn);令y=0,得x=±a,點(diǎn)A1(-a,0)、A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點(diǎn).橢圓有四個頂點(diǎn)A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b). ①線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸

3、,它們的長分別等于2a和2b; ②a、b的幾何意義:a是長半軸的長,b是短半軸的長; (4)離心率 教師直接給出橢圓的離心率的定義: 橢圓的焦距與長軸的比 橢圓的離心率e的取值范圍:∵a>c>0,∴ 0<e<1. 當(dāng)e接近1時,c越接近a,從而b越接近0,因此橢圓越扁; 當(dāng)e接近0時,c越接近0,從而b越接近a,因此橢圓接近圓; 當(dāng)e=0時,c=0,a=b兩焦點(diǎn)重合,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2,圖形就是圓了. 2、性質(zhì)歸納為如下表: 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖像 范圍 , , 對稱性 關(guān)于x軸、y軸均對稱,關(guān)于原點(diǎn)中心對稱 頂點(diǎn)坐標(biāo) 長軸端點(diǎn)A1(

4、-a,0),A2(a,0);短軸端點(diǎn)B1(0,-b),B2(0,b) 長軸端點(diǎn)A1(0,-a),A2(0,a);短軸端點(diǎn)B1(-b,0),B2(b,0) 焦點(diǎn)坐標(biāo) F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0) F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c) 半軸長 長半軸長:a,短半軸長:b 焦距 2c a,b,c關(guān)系 離心率 【典型例題】 例1. 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo),并用描點(diǎn)法畫出它的圖形. 解:(1)列表。將,根據(jù)在第一象限的范圍內(nèi)算出幾個點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y) (2)描點(diǎn)作圖.先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形,再利用

5、橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓. 例2. 若橢圓的離心率為e=,求實數(shù)k的值。 解:當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時,有得k=8. 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時,有得k=. 所求的k=8或。 例3. 若橢圓的對稱軸在坐標(biāo)軸上,短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)組成一個正三角形,焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最小值為,求橢圓的方程。 解: ∴所求的橢圓方程為 例4. 橢圓(a>b>0)上一點(diǎn)M與兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2所成的角∠F1MF2=α,求證△F1MF2的面積為b2tan. 解:設(shè)M F1=m,M F2=n, 則m+n=2a,且4c2=m2+n2-2mncosα=(m+n)2-2mn(1+cosα) 4b

6、2=2mn(1+cosα) 例5. 如圖,橢圓的長短軸端點(diǎn)為A,B,過中心O作AB的平行線,交橢圓上半部分于點(diǎn)P,過P作x軸的垂線恰過左焦點(diǎn)F1,過F1再作AB的平行線交橢圓于C,D兩點(diǎn),求橢圓的方程。 解:設(shè)所求的橢圓方程為(a>b>0) 則P(-c,), 又AB∥OP∴ 直線CD的方程為y=(x-c),將其代入橢圓方程化簡得,2x2-2cx-c2=0 ∵ ∴ 所求的橢圓方程為 【模擬試題】(答題時間:60分鐘 滿分:100分) 一、選擇題(5分×8=40分) 1、已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓一個焦點(diǎn)的距離是3,則P點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離為: ( )

7、 A、2 B、3 C、5 D、7 2、橢圓的一個焦點(diǎn)與兩個頂點(diǎn)為等邊三角形的三個頂點(diǎn),則橢圓的長軸長是短軸長的( ) A、倍 B、2倍    C、倍    D、倍 3、橢圓的一個焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上,那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是:( ) A、 B、 C、 D、 4、以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點(diǎn),則橢圓的離心率為 ( ) A、 B、 C、 D、 5、橢圓(a>b>0)的半

8、焦距為c,若直線y=2x與橢圓的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好為c,則橢圓的離心率為( ) A、 B、 C、 D、 6、若以橢圓上的一點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1,則此橢圓長軸的長的最小值為(  ?。? A、1   B、 C、2 D、2 7、橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1、F2,以F2為圓心且過橢圓中心的圓與橢圓的一個交點(diǎn)為M,已知直線F1M與圓F2相切,則離心率為               ?。ā  。? A、 B、 C、 D、 8、設(shè)橢圓(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)分別為

9、F1、F2,P是橢圓上一點(diǎn),若PF1⊥PF2,則|PF1-PF2|等于(  ?。? A、 B、2 C、 D、2 二、填空題(5分×4=20分) 9、平面上點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)A、B的距離之和等于|AB|,則P點(diǎn)軌跡是 。 10、已知對稱軸為坐標(biāo)軸,長軸長為6,離心率為的橢圓方程為 。 11、橢圓的離心率為,則實數(shù)m的值為 。 12、若M為橢圓上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn),且∠MF1F2=2∠MF2F1=2α(α≠0),則橢圓的離心率是 。

10、 三、解答題(共40分) 13、(滿分8分)已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,焦距是4,且經(jīng)過,求此橢圓的方程。 14、(滿分10分)若點(diǎn)在橢圓上,分別是橢圓的兩個焦點(diǎn),且,求的面積。 15、(滿分10分)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓左頂點(diǎn)A,上頂點(diǎn)B,左焦點(diǎn)F1到直線AB的距離為|OB|,求橢圓的離心率。 16、(滿分12分)已知F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P是該橢圓上的點(diǎn),滿足PF2⊥F1F2,∠F1PF2的平分線交F1F2于M(1,0),求橢圓方程。【試題答案】 一、選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A

11、 B D D C B 二、填空題 9、線段AB 10、 11、m=3或m= 12、 三、解答題 13、解:因為焦距為4,所以 即 ①…………3′ 設(shè)橢圓方程為 因為在橢圓上 所以 ②…………6′ 由①②得 所以橢圓方程為…………8′ 14、解:設(shè) 由橢圓得…………2′ 即 ①…………4′ 是直角三角形 4 ②…………6′ 由①②得…………8′ 所以…………10′ 15、解:直線AB的方程為bx-ay+ab=0,…………4′ 則左焦點(diǎn)F1(-c,0)到其距離為 16、解:PF2⊥F1F2,PF2=,…………2′ ∵,………………4' …………………………6' ………………8' 又………………10' ………………11' 所求的橢圓方程為……………………12'

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