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1、2022年高中數(shù)學(xué) 函數(shù)的值域教案 蘇教版必修1
教學(xué)目標(biāo):
使學(xué)生掌握如何求二次函數(shù)、無(wú)理函數(shù)和分式函數(shù)的值域.
教學(xué)重點(diǎn):
聯(lián)系圖像求值域.
教學(xué)難點(diǎn):
聯(lián)系圖像求值域.
教學(xué)過(guò)程:
[例1]求函數(shù)y=x2在下列范圍內(nèi)的值域:
(1)x∈[1,2] (2)x∈[-1,2] (3)x∈[-3,2]
(4)x∈[a,2] (5)x∈[T,T+2]
[例2] 求函數(shù)y=的值域.
解:令t=-x2+2x+3,則:
y=且t∈[0,4]
∴所求函數(shù)的值域?yàn)椋篬0,2]
[例3] 求函數(shù)y=2x-3+的值域.
分析:對(duì)于沒(méi)有給定自變量的函數(shù),
2、應(yīng)先考查函數(shù)的定義域,再求其值域.
解:∵4x-13≥0 ∴x∈[,+∞) 令t=則得:x=
∴y=t2+t+ ∴y=(t+1)2+3
∵x≥ ∴t≥0根據(jù)二次函數(shù)圖象可得y∈[,+∞)
[例4] 求函數(shù)y=-的值域.
解:y=(+2)-|-2|
=
∴y∈[0,4]
[例5] 求函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的值域.
分析:對(duì)于y=|x+1|-|x-2|的理解,從幾何意義入手,即利用絕對(duì)值的幾何意義可知,|x+1|表示在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到點(diǎn)-1的距離,|x-2|表示在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到點(diǎn)2的距離,在數(shù)軸上任取三個(gè)點(diǎn)xA≤-1,-1<xB<2,xC≥c,如圖
3、所示,可以看出|xA+1|-|xA-2|=-3
-3<|xB+1|-|xB-2|<3,|xC+1|-|xC-2|=3,由此可知,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,都有-3≤|x+1|-|x-2|≤3
所以函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的值域?yàn)閥∈[-3,3]
[例6] 求函數(shù)y=的值域.
解:∵函數(shù)定義域?yàn)閤∈R由原函數(shù)可化得:
y==
=+=+
=-+1 令t=
∵x∈R ∴t∈(0,1]
∴y=5t2-t+1=5(t-)2+根據(jù)二次函數(shù)的圖象得當(dāng)t=時(shí)
ymin=當(dāng)t=1時(shí),ymax=5
∴函數(shù)的值域?yàn)閥∈[,5]
[例7] 求下列函數(shù)的值域.
(1)y= (2)
4、y= (k≠0,k是常數(shù))
(3)y=(a、b是常數(shù),a≠0)
(4)y=(a、b、k是常數(shù),a、k≠0)
[例8] 求函數(shù)y=(x≠0)在下列定義域范圍內(nèi)的值域.
(1)x∈(1,2); (2)x∈(0,2); (3)x∈(-1,2);
(4)x∈(2,+∞); (5)x∈(-2,+∞)
[例9] 求下列函數(shù)的值域:
(1)y=;(2)y=
解:(1)∵y==2-
∴函數(shù)的值域?yàn)閧 y︱y≠0}
(2)∵y=-+
∵≠0 ∴y≠-
∴函數(shù)y的值域?yàn)閥∈(-∞,-)∪(-,+∞)
[例10] 求函數(shù)y=的值域
5、.
解:由y=可知,x∈R且yx2+2y=3x2-1
即(3-y)x2=2y+1
若y=3時(shí),則有0=7,這是不可能的.
∴y≠3
得:x2= ∵x2≥0 ∴≥0
解得:-≤y<3
∴函數(shù)值域?yàn)閥∈[-,3)
[例11] 求下列函數(shù)的值域:
(1)y=;(2)y=
[例12] 求函數(shù)y=的值域.
解:由y=得x∈R且可化為:
(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0
∴當(dāng)y≠時(shí),Δ=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)≥0
∴y2+3y-4≤0 ∴-4≤y≤1且y≠
又當(dāng)y=時(shí),2(1+)x+(+3)=0
得:x=-,滿(mǎn)足條件
∴函數(shù)的值域?yàn)閥∈[-4,1]
評(píng)述:(1)求函數(shù)的值域是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題,它沒(méi)有現(xiàn)成的方法可套用,要結(jié)合函數(shù)表達(dá)式的特征,以及與所學(xué)知識(shí)聯(lián)系,靈活地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?
(2)對(duì)于以上例題也可以采取不同的方法求解每一個(gè)值域,請(qǐng)讀者不妨試一試.
(3)除以上介紹的方法求函數(shù)值域外,隨著學(xué)生的繼續(xù)學(xué)習(xí),我們今后還會(huì)有“反函數(shù)”法、“單調(diào)性”法、“三角換元”法、“不等式”法及“導(dǎo)數(shù)法”等.
課后作業(yè):