《2022年高中數(shù)學(xué) 第二章 三角恒等變形 3二倍角的三角函數(shù) 第2課時(shí)半角公式及其應(yīng)用 新人教A版必修4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué) 第二章 三角恒等變形 3二倍角的三角函數(shù) 第2課時(shí)半角公式及其應(yīng)用 新人教A版必修4（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高中數(shù)學(xué) 第二章 三角恒等變形 3二倍角的三角函數(shù) 第2課時(shí)半角公式及其應(yīng)用 新人教A版必修4 1．問(wèn)題導(dǎo)航 (1)如何理解“半角”？ (2)利用半角公式求值時(shí)，如何確定符號(hào)？ (3)等式sin 15°＝± 成立嗎？ 2．例題導(dǎo)讀 P125例5.通過(guò)此例學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用二倍角公式推導(dǎo)半角公 式，掌握半角公式． 試一試：教材P128習(xí)題3－3 A組T9你會(huì)嗎？ P127例6，例7.通過(guò)此兩例學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)利用半角公式解決給 值求值問(wèn)題． 試一試：教材P127練習(xí)2T1你會(huì)嗎？ 正弦、余弦和正切的半角公式 正弦的半角公式 s

2、in＝±_ 余弦的半角公式 cos＝±_ 正切的半角公式 tan ＝±_ ＝＝ 1．判斷正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)cos＝.(　　) (2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　) (3)對(duì)于任意α∈R，sin＝sin α都不成立．(　　) (4)若α是第一象限角，則tan＝ .(　　) 解析：(1)錯(cuò)誤．只有當(dāng)－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)時(shí)，cos＝. (2)正確．當(dāng)cos α＝－＋1時(shí)，上式成立，但一般情況下不成立． (3)錯(cuò)誤．當(dāng)α＝2kπ(k∈Z)時(shí)，上式成立，但一般情況下不成

3、立． (4)正確．若α是第一象限角，則是第一、三象限角，此時(shí)tan＝ 成立． 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知cos α＝，270°<α<360°，那么cos的值為(　　) A.　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：選D.因?yàn)?70°<α<360°， 所以135°<<180°，所以cos<0. 故cos＝－＝－ ＝－＝－. 3．設(shè)－3π<α<－，化簡(jiǎn) 的結(jié)果是(　　) A．sin B．cos C．－cos D．－sin 解析：選C.原式＝ ＝|cos|， 因?yàn)椋?π<α<－π， 所以－<<－π. 所以cos<0.

4、 因此原式＝－cos. 4．若cos 22°＝a，則sin 11°＝________，cos 11°＝________(用a表示)． 解析：sin 11°>0，cos 11°>0， 所以sin 11°＝ ，cos 11°＝ . 答案： 　　 對(duì)半角公式的四點(diǎn)認(rèn)識(shí) (1)半角公式的正弦、余弦公式實(shí)際上是由二倍角公式變形得到的． (2)半角公式給出了求的正弦、余弦、正切的另一種方式，即只需知道cos α的值及相應(yīng)α的條件，便可求出sin，cos，tan. (3)由于tan＝及tan＝不含被開方數(shù)，且不涉及符號(hào)問(wèn)題，所以求解關(guān)于tan的題目時(shí)，使用相對(duì)方便，但需要注

5、意該公式成立的條件． (4)涉及函數(shù)的升降冪及角的二倍關(guān)系的題目，常用sin2＝，cos2＝求解． 　　　　　　　給值求值　 已知α為鈍角，β為銳角，且sin α＝，sin β＝，求cos的值． (鏈接教材P127例6，例7) [解]　因?yàn)棣翞殁g角，β為銳角，sin α＝，sin β＝， 所以cos α＝－，cos β＝， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－×＋×＝， 又因?yàn)?α<π，0<β<，所以0<α－β<π， 所以0<<， 所以cos＝ ＝ ＝. 　把本例中的條件“α為鈍角”改為“α為銳角”，求c

6、os的值． 解：因?yàn)棣翞殇J角，β為銳角，sin α＝，sin β＝， 所以cos α＝，cos β＝， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝， 又因?yàn)?<α<，0<β<， 所以－<α－β<， 所以－<<， 所以cos＝ ＝ ＝. 方法歸納 利用半角公式求值的思路 (1)看角．若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時(shí)常常借助半角公式求解． (2)明范圍．由于半角公式求值常涉及符號(hào)問(wèn)題，因此求解時(shí)務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)半角的范圍． (3)選公式．涉及半角公式的正切值時(shí)，常用tan＝＝，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算時(shí)可避免因開方帶來(lái)

7、的求角的范圍問(wèn)題；涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常先利用sin2＝，cos2＝計(jì)算． (4)下結(jié)論．結(jié)合(2)求值． 1．(1)已知|cos θ|＝，且<θ<3π，則sin，cos，tan的值分別為(　　) A．－，，2　　　　 B．－，－，2 C.，－，2 D．－，－，－2 (2)若cos α＝－，α是第三象限的角，則＝(　　) A．－ B． C．2 D．－2 (3)若＝2，則cos α－sin α＝________. 解析：(1)因?yàn)閨cos θ|＝，<θ<3π， 所以cos θ＝－，<<.由cos θ＝1－2sin2， 得sin＝－＝－＝－.

8、 又cos θ＝2cos2－1，所以cos＝－＝－，所以tan ＝＝2. (2)因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，cos α＝－， 所以sin α＝－，＝ ＝＝ ＝＝＝－. (3)＝ ＝＝ ＝tan＝2. 所以cos α－sin α＝ ＝＝＝－. 答案：(1)B　(2)A　(3)－ 　　　　　　　利用半角公式化簡(jiǎn)求值 　 (1)計(jì)算：tan ＋. (2)化簡(jiǎn)(－π<α<0)． (鏈接教材P128習(xí)題3－3 A組T1) [解]　(1)法一：tan ＋ ＝＋ ＝＋＝＋ ＝＋2＋＝1＋＋. 法二：tan ＋ ＝＋＝＋ ＝＋2＋＝1＋＋. (2)

9、原式＝ ＝ ＝ ＝. 因?yàn)椋?α<0，所以－<<0， 所以sin<0， 所以原式＝＝cos α. 方法歸納 (1)利用半角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算時(shí)，應(yīng)正確選用升、降冪公式：當(dāng)待化簡(jiǎn)式中含有根式時(shí)，應(yīng)選用升冪公式去根號(hào)；當(dāng)待化簡(jiǎn)式中含有高次式時(shí)，應(yīng)選用降冪公式減少運(yùn)算量，注意隱含條件中角的范圍． (2)半角的正切公式分無(wú)理表達(dá)式與有理表達(dá)式兩種形式，前者有正負(fù)號(hào)選取，其符號(hào)由角的范圍確定，必要時(shí)需要討論，后者沒(méi)有符號(hào)選取，其結(jié)果的符號(hào)由sin α確定，應(yīng)用十分方便． 2．(1)若＝2 015，則＋tan 2α＝________. (2)＋2的化簡(jiǎn)結(jié)果是_____

10、___． (3)化簡(jiǎn)(tan 5°－tan 85°)·. 解：(1)＋tan 2α＝＋＝＝＝＝2 015，故填2 015. (2)原式＝＋2 ＝2|cos 4|＋2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. 因?yàn)?4<， 所以cos 4<0，sin 4

11、 (鏈接教材P128例5) [證明]　(1)左邊＝＋ ＝＋ ＝ ＝＝右邊． 故等式成立． (2)左邊＝＝ ＝＝＝cos αsin·cos＝cos αsin α＝sin 2α＝右邊． 方法歸納 證明三角恒等式的常用方法 (1)直接法：直接從等式的一邊開始轉(zhuǎn)化到等式的另一邊，一般是按照由繁到簡(jiǎn)的原則進(jìn)行，依據(jù)是相等關(guān)系的傳遞性． (2)綜合法：由一個(gè)已知的等式(或已有的公式等)恒等變形到所要證明的等式． (3)中間量法：通過(guò)證明等式左右兩邊都等于同一個(gè)式子完成恒等式的證明． 3．(1)求證：2(1＋cos α)－sin2α＝4cos4. (2)求證：tan－t

12、an＝. 證明：(1)左邊＝2×2cos2－ ＝4cos2－4sin2cos2 ＝4cos2＝4cos4 ＝右邊． (2)法一：tan－tan＝－ ＝ ＝＝ ＝ ＝. 法二： ＝ ＝ ＝－＝tan－tan. 規(guī)范解答 三角恒等變形的綜合應(yīng)用 (本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝. (1)求f(x)的定義域及最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． [解]　(1)因?yàn)閏os x≠0，所以x≠kπ＋，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋? 2分 f(x)＝ ＝2sin x(sin x＋cos x)＝2sin2x＋sin 2x

13、＝1－cos 2x＋sin 2x ＝sin＋1，4分 所以f(x)的最小正周期為T＝π.6分 (2)因?yàn)椋躼≤， 所以－≤2x－≤，8分 當(dāng)2x－＝， 即x＝時(shí)，f(x)的最大值為2；10分 當(dāng)2x－＝－， 即x＝－時(shí)，f(x)的最小值為－＋1.12分 [規(guī)范與警示]　(1)在處，直接求函數(shù)的定義域，若對(duì)函數(shù)先化簡(jiǎn)，則導(dǎo)致分母不存在，再求定義域就出錯(cuò)，此為失分點(diǎn)． 在處，正確地使用降冪公式將函數(shù)化為f(x)＝ sin＋1是解題的關(guān)鍵． 在處，容易將2x－的范圍算錯(cuò)或忽略，都將導(dǎo)致f(x)的最值求錯(cuò)造成失分． (2)解答此類問(wèn)題的兩個(gè)注意點(diǎn) ①定義域求解時(shí)的保原性

14、 定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，故求解時(shí)，應(yīng)保證函數(shù)的原解析式有意義，不可隨便化簡(jiǎn)，如本例不可求f(x)＝sin＋1的定義域． ②提高公式的辨析和識(shí)記能力 sin2x與cos2x的降冪公式非常相似，解題時(shí)務(wù)必細(xì)心，謹(jǐn)防混淆，可采用先寫出cos 2x的公式，再對(duì)其變形分別記憶，如本例求解中若把sin2x的公式用錯(cuò)，會(huì)導(dǎo)致該題基本不得分． 1．已知α∈(π，2π)，則 等于(　　) A．sin　　　　　　 B．cos C．－sin D．－cos 解析：選D.因?yàn)棣痢?π，2π)，∈， 所以 ＝ ＝|cos |＝－cos. 2．已知α是第三象限角，且sin α＝

15、－，則tan等于(　　) A．－ B． C. D．－ 解析：選D.由α為第三象限角，且sin α＝－知cos α＝－. 所以tan＝＝－＝－. 3．已知cos＝，540°<α<720°，則sin＝________. 解析：因?yàn)?40°<α<720°，所以270°<<360°，所以135°<<180°，因?yàn)閏os＝，所以sin＝＝. 答案： 4．已知sin 2θ＝，0<2θ<，則＝________. 解析：＝ ＝＝＝.因?yàn)閟in 2θ＝，0<2θ<， 所以cos 2θ＝，所以tan θ＝＝＝， 所以＝＝， 即＝. 答案： , 　　[學(xué)生用書單獨(dú)成冊(cè)])

16、 [A.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，則tan＝(　　) A．2　　　　　　　 B．－2 C. D．－ 解析：選B.因?yàn)?80°<θ<270°， 所以90°<<135°， 所以tan<0， 所以tan ＝－＝－＝－2. 2．若sin(π－α)＝－且α∈，則sin等于(　　) A．－ B．－ C. D． 解析：選B.由題意知sin α＝－，α∈， 所以cos α＝－， 因?yàn)椤剩? 所以sin＝cos＝－＝－.故選B. 3．已知θ為第二象限角，25sin2θ＋sin θ－24＝0，則cos的值為(　　) A．－

17、 B．± C. D．± 解析：選B.由25sin2θ＋sin θ－24＝0得sin θ＝或sin θ＝－1(因?yàn)棣葹榈诙笙藿?，故舍?，所以cos θ＝－，且為第一或者第三象限角，所以2cos2－1＝－，故cos＝±. 4．化簡(jiǎn)等于(　　) A．－cos 1 B．cos 1 C.cos 1 D．－cos 1 解析：選C.原式＝＝＝cos 1，故選C. 5．已知450°<α<540°，則 的值是(　　) A．－sin B．cos C．sin D．－cos 解析：選A.因?yàn)?50°<α<540°， 所以225°<<270°. 所以cos α<0，sin

18、<0. 所以原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝|sin|＝－sin.故選A. 6．設(shè)5π<θ<6π，cos＝a，則sin的值等于________． 解析：因?yàn)?π<θ<6π，所以<<， 所以sin＝－＝－ ＝－. 答案：－ 7．求值：＝________. 解析：＝ ＝＝－1. 答案：－1 8．若θ∈，sin 2θ＝，則tan θ＝________． 解析：因?yàn)棣取剩瑒t2θ∈， 所以sin θ>0，cos θ>0. 因?yàn)閟in 2θ＝，所以cos 2θ＝－， 所以sin θ＝ ＝ ＝， cos θ＝ ＝ ＝， 所以tan θ＝＝＝. 答案： 9．已知sin

19、φ＝－，且φ是第三象限角，求下列各三角函數(shù)的值： (1)sin； (2)sin 2φ； (3)cos； (4)tan. 解：因?yàn)棣帐堑谌笙藿牵? 所以cos φ＝－＝－. (1)sin＝sin φcos＋cos φsin ＝－. (2)sin 2φ＝2sin φcos φ＝. (3)因?yàn)棣帐堑谌笙藿?，所?kπ＋π<φ<2kπ＋. 所以kπ＋<

20、式) 因?yàn)閠an ＝＝， 則有＝＝＝. 所以－tan ＝－＝. 1＋tan θ·tan ＝1＋· ＝1＋＝， 所以 ＝·＝. 法二：(切化弦) －＝＝＝， 1＋tan θ·tan ＝1＋· ＝1＋· ＝1＋ ＝1＋＝. 所以 ＝·＝ . [B.能力提升] 1．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β是第三象限角，則cos的值等于(　　) A．± B．± C．－ D．－ 解析：選A.由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，得sin β＝－. 因?yàn)棣略诘谌笙蓿詂os β＝－，為第二、四象限角

21、， 所以cos＝± ＝± ＝±. 2．設(shè)π<α<3π，cos α＝m，cos＝n，cos＝p，則下列各式正確的是(　　) A．n＝－ B．n＝ C．p＝－ D．p＝ 解析：選A.因?yàn)棣?α<3π， 所以<<， cos＝－，即n＝－， 因?yàn)?<， 所以<<，cos＝± ， 所以p＝± .故選A. 3．定義運(yùn)算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，則sin＝________. 解析：由題意可知，＝sin αcos β－sin βcos α＝sin(α－β)＝， 因?yàn)?<β<α<，所以0<α－β<， 所以cos(α－β)＝，又cos α＝， 所

22、以sin α＝， 所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin 2α＝， 所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝－×＋×＝， 所以sin＝ ＝. 答案： 4．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，則α－β＝________. 解析：因?yàn)棣?，β?0，π)，所以sin α＋sin β>0， 所以cos β－cos α>0，cos β>cos α， 又因?yàn)樵?0，π)上，y＝cos x是減函數(shù)， 所以β<α，所以0<α－β<π， 由原式知2sinco

23、s＝， 所以tan＝，所以＝， 所以α－β＝. 答案： 5．已知sin α＝，sin(α＋β)＝，α與β均為銳角，求cos. 解：因?yàn)?<α<，所以cos α＝＝. 又因?yàn)?<α<，0<β<，所以0<α＋β<π. 若0<α＋β<， 因?yàn)閟in(α＋β)