2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.6雙曲線教案 理 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.6雙曲線教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì);2.考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.熟練掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,理解雙曲線的基本量對(duì)圖形、性質(zhì)的影響;2.理解數(shù)形結(jié)合思想,掌握解決直線與雙曲線問(wèn)題的通法. 1. 雙曲線的概念 平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a (2a<2c),則點(diǎn)P的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距. 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F
2、1F2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a>0,c>0:
(1)當(dāng)a
3、做雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)|A1A2|=2a;線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng)|B1B2|=2b;a叫做雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng),b叫做雙曲線的半虛軸長(zhǎng) a、b、c 的關(guān)系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 雙曲線的定義用代數(shù)式表示為||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|,這里要注意兩點(diǎn): (1)距離之差的絕對(duì)值. (2)2a<|F1F2|. 這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同. 2. 漸近線與離心率 -=1 (a>0,b>0)的一條漸近線的斜率為===.可以看出,雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大?。?
4、 1. (xx·天津)已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)與雙曲線C2:-=1有相同的漸近線,且C1的右焦點(diǎn)為F(,0),則a=________,b=________. 答案 1 2 解析 與雙曲線-=1有共同漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為-=λ, 即-=1. 由題意知c=,則4λ+16λ=5?λ=,則a2=1,b2=4.又a>0,b>0,故a=1,b=2. 2. (xx·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線-=1的離心率為,則m的值為_(kāi)_______. 答案 2 解析 ∵c2=m+m2+4,∴e2===5, ∴m2-4m+4=0,∴m=2. 3. (xx·遼寧)已知雙曲
5、線x2-y2=1,點(diǎn)F1,F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn),若PF1⊥PF2,則|PF1|+|PF2|的值為_(kāi)_______. 答案 2 解析 設(shè)P在雙曲線的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x>0),因?yàn)镻F1⊥PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8, 所以x=-1,x+2=+1, 所以|PF2|+|PF1|=2. 4. 若雙曲線-=1 (a>0,b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的離心率為 ( ) A. B.5 C. D.2 答案 A 解析 焦點(diǎn)(c,0)到漸近線y=x的距
6、離為=b,則由題意知b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2, ∴離心率e==. 5. (xx·課標(biāo)全國(guó))等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),|AB|=4,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為 ( ) A. B.2 C.4 D.8 答案 C 解析 設(shè)C:-=1. ∵拋物線y2=16x的準(zhǔn)線為x=-4,聯(lián)立-=1和x=-4得A(-4,),B(-4,-), ∴|AB|=2=4,∴a=2,∴2a=4. ∴C的實(shí)軸長(zhǎng)為4. 題型一 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例1 (1)(xx·山東)已知雙曲線-=1 (a>0,
7、b>0)和橢圓+=1有相同的焦點(diǎn),且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為_(kāi)_______. (2)與雙曲線x2-2y2=2有公共漸近線,且過(guò)點(diǎn)M(2,-2)的雙曲線方程為_(kāi)_________. 思維啟迪:設(shè)雙曲線方程為-=1,求雙曲線方程,即求a、b,為此需要關(guān)于a、b的兩個(gè)方程,由題意易得關(guān)于a、b的兩個(gè)方程;也可根據(jù)雙曲線的定義直接確定a、b、c. 答案 (1)-=1 (2)-=1 解析 (1)橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-,0),F(xiàn)2(,0),離心率為e=.由于雙曲線-=1與橢圓+=1有相同的焦點(diǎn),因此a2+b2=7. 又雙曲線的離心率e==,所以=, 所以a=
8、2,b2=c2-a2=3,故雙曲線的方程為-=1. (2)設(shè)與雙曲線-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程為-y2=k,將點(diǎn)(2,-2)代入得k=-(-2)2=-2. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 探究提高 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過(guò)程是先定形,再定量,即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值.如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可利用有公共漸近線的雙曲線方程為-=λ (λ≠0),再由條件求出λ的值即可. 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)虛軸長(zhǎng)為12,離心率為; (2)焦距為26,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(
9、0,12). 解 (1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 -=1或-=1 (a>0,b>0). 由題意知,2b=12,e==. ∴b=6,c=10,a=8. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1或-=1. (2)∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,12),∴M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn),故焦點(diǎn)在y軸上,且a=12. 又2c=26,∴c=13.∴b2=c2-a2=25. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 題型二 雙曲線的幾何性質(zhì) 例2 中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與雙曲線半實(shí)軸長(zhǎng)之差為4,離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程; (
10、2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),求cos∠F1PF2的值. 思維啟迪: (1)分別設(shè)出橢圓方程為+=1 (a>b>0),雙曲線方程為-=1 (m>0,n>0). (2)由已知條件分別求出a、b、m、n的值. (3)利用橢圓與雙曲線定義及余弦定理求出cos∠F1PF2. 解 (1)由已知:c=,設(shè)橢圓長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為a、b,雙曲線半實(shí)、虛軸長(zhǎng)分別為m、n, 則, 解得a=7,m=3.∴b=6,n=2. ∴橢圓方程為+=1,雙曲線方程為-=1. (2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn),P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=14, |PF1|-|PF2|=6, 所以|
11、PF1|=10,|PF2|=4. 又|F1F2|=2, ∴cos∠F1PF2= ==. 探究提高 在研究雙曲線的性質(zhì)時(shí),半實(shí)軸、半虛軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個(gè)重要內(nèi)容;雙曲線的離心率涉及的也比較多.由于e=是一個(gè)比值,故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c的一個(gè)關(guān)系式,利用b2=c2-a2消去b,然后變形求e,并且需注意e>1. (1)(xx·大綱全國(guó))已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2= ( ) A. B. C. D. (2)(xx·浙江)已知橢圓C1
12、:+=1 (a>b>0)與雙曲線C2:x2-=1有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn),若C1恰好將線段AB三等分,則 ( ) A.a(chǎn)2= B.a(chǎn)2=13 C.b2= D.b2=2 答案 (1)C (2)C 解析 (1)由x2-y2=2知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4, ∴a=,c=2. 又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|, ∴|PF1|=4,|PF2|=2. 又∵|F1F2|=2c=4, ∴由余弦定理得cos∠F1PF2= =. (2)由
13、題意知,a2=b2+5,因此橢圓方程為(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,聯(lián)立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,∴直線截橢圓的弦長(zhǎng)d=×2=a,解得a2=,b2=. 題型三 直線與雙曲線的位置關(guān)系 例3 過(guò)雙曲線-=1的右焦點(diǎn)F2,傾斜角為30°的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)1為左焦點(diǎn). (1)求|AB|; (2)求△AOB的面積. 思維啟迪:寫(xiě)出直線方程,然后與雙曲線方程聯(lián)立組成方程組,消去y得關(guān)于x的一元二次方程,利用弦長(zhǎng)公式求|AB|;求O到直線的距離,代入面積公式得△AOB的面積. (1)解 由雙曲
14、線的方程得a=,b=, ∴c==3,F(xiàn)1(-3,0),F(xiàn)2(3,0). 直線AB的方程為y=(x-3). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由 得5x2+6x-27=0. ∴x1+x2=-,x1x2=-. ∴|AB|=|x1-x2| =· =·=. (2)解 直線AB的方程變形為x-3y-3=0. ∴原點(diǎn)O到直線AB的距離為 d==. ∴S△AOB=|AB|·d=××=. 探究提高 雙曲線的綜合問(wèn)題主要是直線與雙曲線的位置關(guān)系問(wèn)題.解決這類問(wèn)題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程,然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組,消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用
15、根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題.設(shè)直線與雙曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),直線的斜率為k,則|AB|=|x1-x2|. 已知橢圓C1的方程為+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn). (1)求雙曲線C2的方程; (2)若直線l:y=kx+與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且·>2(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍. 解 (1)設(shè)雙曲線C2的方程為-=1 (a>0,b>0), 則a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1, 故C2的方程為-y2=1. (2)將y=kx+代入-y2=1
16、,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn),得
,
∴k2≠且k2<1.①
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=.
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.
又∵·>2,得x1x2+y1y2>2,
∴>2,即>0,解得 17、由于“判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點(diǎn)的重要方法,在解決直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題時(shí),有時(shí)不需要考慮判別式,致使有的考生思維定勢(shì)的原因,任何情況下都沒(méi)有考慮判別式,導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.
規(guī)范解答
解 設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,且線段AB的中點(diǎn)為(x0,y0),
若直線l的斜率不存在,顯然不符合題意.[2分]
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線l的方程為y-1=k(x-1),
即y=kx+1-k.[3分]
由得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0 (2-k2≠0).① [6分]
∴x0==.
由題意,得=1,解得k=2.[8分]
當(dāng)k=2時(shí),方程①成為 18、2x2-4x+3=0.
Δ=16-24=-8<0,方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解.[11分]
∴不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P(1,1)是線段AB的中點(diǎn).[12分]
溫馨提醒 (1)本題是以雙曲線為背景,探究是否存在符合條件的直線,題目難度不大,思路也很清晰,但結(jié)論卻不一定正確.錯(cuò)誤原因是忽視對(duì)直線與雙曲線是否相交的判斷,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤,因?yàn)樗蟮闹本€是基于假設(shè)存在的情況下所得的.
(2)本題屬探索性問(wèn)題.若存在,可用點(diǎn)差法求出AB的斜率,進(jìn)而求方程;也可以設(shè)斜率k,利用待定系數(shù)法求方程.
(3)求得的方程是否符合要求,一定要注意檢驗(yàn).
方法與技巧
1. 與雙曲線-=1 (a 19、>0,b>0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為-=t (t≠0).
2. 已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時(shí),只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程,即方程-=0就是雙曲線-=1 (a>0,b>0)的兩條漸近線方程.
失誤與防范
1. 區(qū)分雙曲線中的a,b,c大小關(guān)系與橢圓中的a,b,c大小關(guān)系,在橢圓中a2=b2+c2,而在雙曲線中c2=a2+b2.
2. 雙曲線的離心率e∈(1,+∞),而橢圓的離心率e∈(0,1).
3. 雙曲線-=1 (a>0,b>0)的漸近線方程是y=±x,-=1 (a>0,b>0)的漸近線方程是y=±x.
4. 若利用弦長(zhǎng)公式計(jì) 20、算,在設(shè)直線斜率時(shí)要注意說(shuō)明斜率不存在的情況.
5. 直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí),不一定相切,例如:當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交于一點(diǎn),但不是相切;反之,當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí),直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn).
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間:35分鐘,滿分:57分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1. (xx·湖南)已知雙曲線C:-=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 21、 A
解析 ∵-=1的焦距為10,∴c=5=.①
又雙曲線漸近線方程為y=±x,且P(2,1)在漸近線上,
∴=1,即a=2b.②
由①②解得a=2,b=,故應(yīng)選A.
2. (xx·福建)已知雙曲線-=1的右焦點(diǎn)為(3,0),則該雙曲線的離心率等于 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由雙曲線中a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2,得32=a2+5,
∴a2=4.∴e==.
3. 設(shè)橢圓C1的離心率為,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26,若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( )
A.-= 22、1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 A
解析 由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P,則||PF1|-|PF2||=8.
由雙曲線的定義知:a=4,b=3.
故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
4. (xx·課標(biāo)全國(guó))設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則C的離心率為 ( )
A. B.
C.2 D.3
答案 B
解析 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),由于直線l過(guò)雙曲線的焦點(diǎn) 23、且與對(duì)稱軸垂直,因此直線l的方程為l:x=c或x=-c,代入-=1得y2=b2(-1)=,∴y=±,故|AB|=,依題意=4a,∴=2,∴=e2-1=2,∴e=.
二、填空題(每小題5分,共15分)
5. 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C,過(guò)點(diǎn)P(2,)且離心率為2,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____________________.
答案 -=1或-=1
解析 ∵雙曲線C的離心率為2,∴2=,∴=,
∴可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1或-=1,把P(2,)代入得,a2=3或a2=,∴所求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1或-=1.
6. 雙曲線mx2+y2=1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則m=____ 24、_______.
答案 -
解析 由題意知a2=1,b2=-,則a=1,b=.
∴ =2,解得m=-.
7. 已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中,有一個(gè)內(nèi)角為60°,則雙曲線C的離心率為_(kāi)_______.
答案
解析 如圖,∠B1F1B2=60°,
則c=b,即c2=3b2,
由c2=3(c2-a2),
得=,則e=.
三、解答題(共22分)
8. (10分)已知橢圓D:+=1與圓M:x2+(y-5)2=9,雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn),它的兩條漸近線恰好與圓M相切,求雙曲線G的方程.
解 橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),
因 25、而雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且c=5.
設(shè)雙曲線G的方程為-=1 (a>0,b>0),
∴漸近線方程為bx±ay=0且a2+b2=25,
又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r=3.
∴=3,得a=3,b=4,
∴雙曲線G的方程為-=1.
9. (12分)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)P(4,-).
(1)求雙曲線方程;
(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0;
(3)求△F1MF2的面積.
(1)解 ∵e=,∴可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ.
∵過(guò)點(diǎn)P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴雙曲線方程為x2-y2 26、=6.
(2)證明 方法一 由(1)可知,雙曲線中a=b=,
∴c=2,∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),
∴kMF1=,kMF2=,
kMF1·kMF2==-.
∵點(diǎn)(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=6,m2=3,
故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,∴·=0.
方法二 ∵=(-3-2,-m),
=(2-3,-m),
∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.
∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上,∴9-m2=6,即m2-3=0,
∴·=0.
(3)解 △F1MF2的底|F1F2|=4,
由(2)知m=±.
∴△F1MF2的高h(yuǎn)=|m|=,
∴S△F1MF2=×4 27、×=6.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間:25分鐘,滿分:43分)
一、選擇題(每小題5分,共15分)
1. 設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),如圖所示,雙曲線的一條漸近線方程為y=x,而kBF=-,
∴·(-)=-1,整理得b2=ac.
∴c2-a2-ac=0,兩邊同除以a2,得e2-e-1=0,
解得e=或e=(舍去),故選D.
2. 已知點(diǎn)F是雙曲線-=1 28、(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn),過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若△ABE是鈍角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 ( )
A.(1,+∞) B.(1,2)
C.(1,1+) D.(2,+∞)
答案 D
解析 根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性,若△ABE是鈍角三角形,則只要0<∠BAE<即可.直線AB:x=-c,代入雙曲線方程得y2=,取點(diǎn)A,則|AF|=,|EF|=a+c,只要|AF|>|EF|就能使∠BAE<,故>a+c,即b2>a2+ac,即c2-ac-2a2>0,即e2-e-2>0,得e>2或e<- 29、1,又e>1,故e>2.故選D.
3. 若點(diǎn)O和點(diǎn)F(-2,0)分別為雙曲線-y2=1 (a>0)的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則·的取值范圍為 ( )
A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞)
C. D.
答案 B
解析 由a2+1=4,得a=,則雙曲線方程為-y2=1.
設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則-y=1,即y=-1.
·=x0(x0+2)+y=x+2x0+-1
=2-,∵x0≥,
故·的取值范圍是[3+2,+∞),故選B.
二、填空題(每小題5分,共15分)
4. (xx·重慶)設(shè)P為直線y=x與雙曲線-=1 30、 (a>0,b>0)左支的交點(diǎn),F(xiàn)1是左焦點(diǎn),PF1垂直于x軸,則雙曲線的離心率e=________.
答案
解析 ∵直線y=x與雙曲線-=1相交,
由消去y得x=,
又PF1垂直于x軸,∴=c,即e==.
5. 設(shè)點(diǎn)F1,F(xiàn)2是雙曲線x2-=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn),若3|PF1|=4|PF2|,則△PF1F2的面積為_(kāi)_______.
答案 3
解析 據(jù)題意,|PF1|=|PF2|,且|PF1|-|PF2|=2,
解得|PF1|=8,|PF2|=6.
又|F1F2|=4,在△PF1F2中,由余弦定理得,
cos∠F1PF2==.
所以sin∠F1PF2==, 31、
所以S△PF1F2=×6×8×=3.
6. 已知雙曲線-=1 (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為_(kāi)_______.
答案
解析 由定義,知|PF1|-|PF2|=2a.
又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a.
在△PF1F2中,由余弦定理,
得cos∠F1PF2==-e2.
要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,
∴當(dāng)cos∠F1PF2=-1時(shí),得e=,
即e的最大值為.
三、解答題
7. (13分)直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2- 32、y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F?若存在,求出k的值;若不存在,說(shuō)明理由.
解 (1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程
2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.①
依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn),
故
解得k的取值范圍是-2
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