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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 數(shù)列02檢測(cè)試題 1.若數(shù)列滿足：對(duì)于，都有（常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若 則是公差為的準(zhǔn)等差數(shù)列． （1）求上述準(zhǔn)等差數(shù)列的第項(xiàng)、第項(xiàng)以及前項(xiàng)的和； （2）設(shè)數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有．求證：為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； （3）設(shè)（2）中的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的取值范圍． 【答案】 解：（1）， （2分） （4分） （2） ① ② ②-①得．

2、 所以，為公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列． （2分） 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； （2分） 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，， （2分） （3）解一：在中，有32各奇數(shù)項(xiàng)，31各偶數(shù)項(xiàng)， 所以， （4分） ，． （2分） 解二：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，… … 將上面各式相加，得． （4分） ，．

3、 （2分） 2.設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，已知 (1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在請(qǐng)說明理由； (3)證明：對(duì)任意，都有． 【答案】（文）(1)∵，∴當(dāng)時(shí)，． 兩式相減得， ∴ …………………………2分 ∵，∴，又，∴ ∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．……………………2分 ∴ …………………………1分 (2) 由(1)知， …………………………2分 假設(shè)正整數(shù)滿足條件，

4、 則 ∴， 解得； …………………………3分 (3) …………………………2分 于是 …………………………2分 …………………………3分 ∴ …………………………1分 3.設(shè)，等差數(shù)列中，，記=，令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為. （1）求的通項(xiàng)公式和； （2）求證：； （3）是否存在正整數(shù)，且，使得成等

5、比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由. 【答案】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由, .解得，=3 ， ……………2分 ∴ ……………4分 ∵， ∴Sn==. ……………6分 （2） ∴ ……………8分 ∴ ……………10分 （3）由(2)知， ∴，，∵成等比數(shù)列. ∴ ……

6、………12分 即 當(dāng)時(shí)，7，=1，不合題意；當(dāng)時(shí)，，=16，符合題意； 當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解； 當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解； ……………15分 當(dāng)時(shí)， ，則，而， 所以，此時(shí)不存在正整數(shù)m,n,且1

7、…14分 ， 而， 所以，此時(shí)不存在正整數(shù)m、n , 且1

8、4分） （2）當(dāng)時(shí)，，所以．……（1分） 由，得，兩式相減，得， 故，……（2分） 所以，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．……（3分） ，…………（4分） 要使是中的項(xiàng)，只要即可，可取．…………（6分） （只要寫出一個(gè)的值就給分，寫出，，也給分） （3）由（1）知，，…………（1分） 要使，，成等差數(shù)列，必須，即 ，…………（2分） 化簡(jiǎn)得．…………（3分） 因?yàn)榕c都是正整數(shù)，所以只能取，，．…………（4分） 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．…………（5分） 綜上可知，存在符合條件的正整數(shù)和，所有符合條件的有序整數(shù)對(duì)為： ，，．…………（6分） 5.等比數(shù)列滿足，，數(shù)

9、列滿足 （1）求的通項(xiàng)公式；（5分） （2）數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和．求；（5分） （3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（6分） 【答案】解：（1）解：，所以公比 2分 計(jì)算出 3分 4分 5分 （2）

10、 6分 于是 8分 = 10分 （3）假設(shè)否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，則 ， 12分 可得， 由分子為正，解得， 由，得，此時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，成等比數(shù)列。 16分 6. 已知數(shù)列，記, , , ，并且對(duì)于任意，恒有成立． （1）若，且對(duì)任意，三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)

11、列，求數(shù)列的 通項(xiàng)公式； （2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意，三個(gè)數(shù) 組成公比為的等比數(shù)列． 【答案】解：（1） ，所以為等差數(shù)列。 （2）（必要性）若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，則，，所以A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。 （充分性）：若對(duì)于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列， 則， 于是得即 由有即，從而. 因?yàn)?，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。 綜上，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列的充要條件是對(duì)任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。 7.對(duì)于數(shù)列，從中選取若干項(xiàng)

12、，不改變它們?cè)谠瓉頂?shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列. 某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個(gè)概念之后，打算研究首項(xiàng)為,公差為的無窮等差數(shù)列的子數(shù)列問題，為此，他取了其中第一項(xiàng)，第三項(xiàng)和第五項(xiàng). (1) 若成等比數(shù)列,求的值； (2) 在, 的無窮等差數(shù)列中，是否存在無窮子數(shù)列，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)給出數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明；若不存在，說明理由； (3) 他在研究過程中猜想了一個(gè)命題：“對(duì)于首項(xiàng)為正整數(shù)，公比為正整數(shù)()的無窮等比數(shù) 列,總可以找到一個(gè)子數(shù)列,使得構(gòu)成等差數(shù)列”. 于是，他在數(shù)列中任取三項(xiàng)，由與的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確. 他將得到什么結(jié)論？ 【答案】

13、(1)由a32=a1a5， ………… ……………………..2分 即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0. ………… …………..4分 (2) 解：an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便為符合條件的一個(gè)子數(shù)列. …… ……..7分 因?yàn)閎n=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M, ………..9分 這里M=+3+…+3n-2為正整數(shù)， 所以,bn=1+3M =1+3 [(M+1)-1]是{an}中的第M+1項(xiàng)，得證. ……………….11分 (注：bn的通項(xiàng)公式不唯一)

14、(3) 該命題為假命題. ……………………….12分 由已知可得, 因此,,又, 故 , ..15分 由于是正整數(shù)，且，則, 又是滿足的正整數(shù)，則, , 所以，> ,從而原命題為假命題. ……..18分 8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)滿足，且；點(diǎn)滿足，且，其中． （1）求的坐標(biāo)，并證明點(diǎn)在直線上； （2）記四邊形的面積為，求的表達(dá)式； （3）對(duì)于（2）中的，是否存在最小的正整數(shù)，使得對(duì)任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）由已知條件得，,,所以……2分 ，則 設(shè)，則， 所以；………2分 即滿足

15、方程，所以點(diǎn)在直線上. ………1分 （證明在直線上也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.） （2）由（1）得 ………1分 設(shè)，則， ，所以 ， 逐差累和得，， 所以………2分 設(shè)直線與軸的交點(diǎn)，則 ，……2分 （3）由（2）， 于是，， ………2分 數(shù)列中項(xiàng)的最大值為，則,即最小的正整數(shù)的值為，所以，存在最小的自然數(shù)，對(duì)一切都有成立.……2分 9. 設(shè)數(shù)列滿足且（）,前項(xiàng)和為．已知點(diǎn), ,都在直線上(其中常數(shù)且,， ),又． （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）若，求實(shí)數(shù)，的值； （3）如果存在、，使得點(diǎn)和點(diǎn)都在直線上．問

16、 是否存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）因?yàn)辄c(diǎn)都在直線上， 所以，得， ………2分 其中． ………3分 因?yàn)槌?shù)，且，所以為非零常數(shù)． 所以數(shù)列是等比數(shù)列． ………4分 （2）由，得， ………7分 所以，得．

17、 ………8分 由在直線上，得， ………9分 令得． ………10分 （3）由知恒成立等價(jià)于． 因?yàn)榇嬖?、，使得點(diǎn)和點(diǎn)都在直線上． 由與做差得：． ………12分 易證是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則有，因?yàn)椋? 所以，又由， 而 得得 即：數(shù)列是首項(xiàng)為正，公差為負(fù)的等差數(shù)列，所以一定存在一個(gè)最小自然數(shù)， ………16

18、分 使，, 即 解得 因?yàn)?，所以? 即存在自然數(shù)，其最小值為，使得當(dāng) 時(shí)，恒成立． ………18分 10.已知遞增的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且、、成等比數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列對(duì)任意，都有成立，求的值． （3）在數(shù)列中，，且滿足，求下表中前行所有數(shù)的和. …… …… …… 【答案】（1）∵是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為 ……………………1分 、、成等比數(shù)列，∴ ……………………2分 由 及得 ……………………………3分 ∴

19、 ……………………………4分 （2）∵， 對(duì)都成立 當(dāng)時(shí)，得 ……………………………5分 當(dāng)時(shí)，由①，及② ①－②得，得 …………………7分 ∴ …………………8分 ∴ ……………10分 (3)∵ ∴ 又∵ ∴ ………………………………13分 ∵ ………………………………14分 ∴第行各數(shù)之和 …………16分 ∴表中前行所有數(shù)的和 ……………………………18分