2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.4基本不等式教案 理 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.4基本不等式教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.利用基本不等式求最值、證明不等式;2.利用基本不等式解決實(shí)際問題. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.注意基本不等式求最值的條件;2.在復(fù)習(xí)過程中注意轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用. 1. 基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0. (2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號. 2. 幾個重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (2)+≥2(a,b同號). (3)ab≤2 (a,b∈R). (4)≥2 (a,b∈R). 3. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
2、 設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為,基本不等式可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 4. 利用基本不等式求最值問題 已知x>0,y>0,則 (1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時,x+y有最小值是2.(簡記:積定和最小) (2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時,xy有最大值是.(簡記:和定積最大) [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 在應(yīng)用基本不等式求最值時,要把握不等式成立的三個條件,就是“一正——各項(xiàng)均為正;二定——積或和為定值;三相等——等號能否取得”,若忽略了某個條件,就會出現(xiàn)錯誤. 2. 運(yùn)用公式解題時,既要掌握公式
3、的正用,也要注意公式的逆用,例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤;≥ (a,b>0)逆用就是ab≤2 (a,b>0)等.還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號成立的條件等. 3. 對使用基本不等式時等號取不到的情況,可考慮使用函數(shù)y=x+(m>0)的單調(diào)性. 1. 若x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值是________. 答案 81 解析 由于x>0,y>0,則x+y≥2, 所以xy≤2=81, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=9時,xy取到最大值81. 2. 已知t>0,則函數(shù)y=的最小值為________. 答案 -2 解析 ∵t>0,∴y==t+-4≥2-4=-2,且在t=
4、1時取等號. 3. 已知x>0,y>0,且2x+y=1,則+的最小值是_____________. 答案 8 解析 因?yàn)椋?2x+y) =4++≥4+2=8,等號當(dāng)且僅當(dāng)y=,x=時成立. 4. (xx·浙江)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是 ( ) A. B. C.5 D.6 答案 C 解析 ∵x>0,y>0,由x+3y=5xy得=1. ∴3x+4y=(3x+4y) = =+≥+×2 =5(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號), ∴3x+4y的最小值為5. 5. 圓x2+y2+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by
5、+2=0 (a,b∈R)對稱,則ab的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由題可知直線2ax-by+2=0過圓心(-1,2),故可得a+b=1,又因ab≤2= (a=b時取等號). 故ab的取值范圍是. 題型一 利用基本不等式證明簡單不等式 例1 已知x>0,y>0,z>0. 求證:≥8. 思維啟迪:由題意,先局部運(yùn)用基本不等式,再利用不等式的性質(zhì)即可得證. 證明 ∵x>0,y>0,z>0, ∴+≥>0,+≥>0, +≥>0, ∴ ≥=8. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時等號成立. 探究提高 利用基本不等式證明
6、不等式是綜合法證明不等式的一種情況,證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題. 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1. 求證:++≥9. 證明 ∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, ∴++=++ =3++++++ =3+++ ≥3+2+2+2=9, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時,取等號. 題型二 利用基本不等式求最值 例2 (1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,則+的最小值為________; (2)當(dāng)x>0時,則f(x)=的最大值為________. 思維啟迪:利用基本不等式求最值可
7、以先對式子進(jìn)行必要的變換.如第(1)問把+中的“1”代換為“2x+y”,展開后利用基本不等式;第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”,再利用基本不等式. 答案 (1)3+2 (2)1 解析 (1)∵x>0,y>0,且2x+y=1, ∴+=+ =3++≥3+2.當(dāng)且僅當(dāng)=時,取等號. (2)∵x>0,∴f(x)==≤=1, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=1時取等號. (1)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是 ( ) A.3 B.4 C. D. (2)已知a>b>0,則a2+的最小值是________. 答案 (1)B (2)16
8、 解析 (1)依題意,得(x+1)(2y+1)=9, ∴(x+1)+(2y+1)≥2=6, 即x+2y≥4. 當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立. ∴x+2y的最小值是4. (2)∵a>b>0,∴b(a-b)≤2=, 當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時等號成立. ∴a2+≥a2+=a2+ ≥2=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時等號成立. ∴當(dāng)a=2,b=時,a2+取得最小值16. 題型三 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 例3 某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房,由于地理位置的限制,房子側(cè)面的長度x不得超過5 m.房屋正面的造價為400元/m2,房屋側(cè)面的造價為150元/m2,屋頂和地面的造價費(fèi)用合計
9、為5 800元,如果墻高為3 m,且不計房屋背面的費(fèi)用.當(dāng)側(cè)面的長度為多少時,總造價最低?
思維啟迪:用長度x表示出造價,利用基本不等式求最值即可.還應(yīng)注意定義域0 10、元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲時間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 ( )
A.60件 B.80件 C.100件 D.120件
答案 B
解析 設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元,由題意得
y=+≥2=20.
當(dāng)且僅當(dāng)=(x>0),即x=80時“=”成立,故選B.
忽視最值取得的條件致誤
典例:(12分)已知a、b均為正實(shí)數(shù),且a+b=1,求y=的最小值.
易錯分析 在求最值時兩次使用基本不等式,其中的等號不能同時成立,導(dǎo)致最小值不能取到.
審題視角 (1)求函數(shù)最值問題 11、,可以考慮利用基本不等式,但是利用基本不等式,必須保證“正、定、等”,而且還要符合已知條件.(2)可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性,但要注意變量的取值范圍.
規(guī)范解答
解 方法一 y=
=+≥+2
=2=2
≥2=2=.[10分]
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時,y=取最小值,最小值為.[12分]
方法二 y==ab+++
=ab++=ab++
=+ab-2.[6分]
令t=ab≤2=,即t∈.
又f(t)=+t在上是單調(diào)遞減的,[10分]
∴當(dāng)t=時,f(t)min=,此時,a=b=.
∴當(dāng)a=b=時,y有最小值.[12分]
溫馨提醒 (1)這類題目考生總感到比較容易下手.但是解這類 12、題目卻又常常出錯.(2)利用基本不等式求最值,一定要注意應(yīng)用條件:即一正、二定、三相等.否則求解時會出現(xiàn)等號成立、條件不具備而出錯.(3)本題出錯的原因前面已分析,關(guān)鍵是忽略了等號成立的條件.
方法與技巧
1. 基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能,常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式,解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn).
2. 恒等變形:為了利用基本不等式,有時對給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形.比如:
(1)當(dāng)x>2時,x+=(x-2)++2≥2+2=4.
(2)0 13、)
≤2=.
失誤與防范
1.使用基本不等式求最值,其失誤的真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值,這三個條件缺一不可.
2.在運(yùn)用重要不等式時,要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧,使其滿足重要不等式中“正”“定”“等”的條件.
3.連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴(yán)格,要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致.
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時間:35分鐘,滿分:57分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1. (xx·陜西)設(shè)0
15、,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,則+的最大值為 ( )
A.2 B. C.1 D.
答案 C
解析 由ax=by=3,得:x=loga3,y=logb3,由a>1,b>1知x>0,y>0,+=log3a+log3b=log3ab≤log32=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時“=”成立,則+的最大值為1.
4. 已知0 16、=時取等號.
二、填空題(每小題5分,共15分)
5. 已知x,y∈R+,且滿足+=1,則xy的最大值為________.
答案 3
解析 ∵x>0,y>0且1=+≥2,∴xy≤3.當(dāng)且僅當(dāng)=時取等號.
6. (xx·湖南)設(shè)x,y∈R,且xy≠0,則·的最小值為________.
答案 9
解析?。?++4x2y2
≥5+2=9,
當(dāng)且僅當(dāng)x2y2=時“=”成立.
7. 某公司一年需購買某種貨物200噸,平均分成若干次進(jìn)行購買,每次購買的運(yùn)費(fèi)為2萬元,一年的總存儲費(fèi)用數(shù)值(單位:萬元)恰好為每次的購買噸數(shù)數(shù)值,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小,則每次購買該種貨物的噸數(shù) 17、是_______.
答案 20
解析 設(shè)每次購買該種貨物x噸,則需要購買次,則一年的總運(yùn)費(fèi)為×2=,一年的總存儲費(fèi)用為x,所以一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用為+x≥2=40,當(dāng)且僅當(dāng)=x,即x=20時等號成立,故要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小,每次應(yīng)購買該種貨物20噸.
三、解答題(共22分)
8. (10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:
(1)++≥8;
(2)≥9.
證明 (1)++=++
=2,
∵a+b=1,a>0,b>0,
∴+=+=2++≥2+2=4,
∴++≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立).
(2)方法一 ∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1 18、+=1+=2+,
同理,1+=2+,
∴=
=5+2≥5+4=9.
∴≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立).
方法二 =1+++.
由(1)知,++≥8,
故=1+++≥9.
9. (12分)為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一個底寬為2 m的無蓋長
方體沉淀箱(如圖所示),污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出,設(shè)
箱的底長為a m,高度為b m.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分別與
a,b的乘積成反比,現(xiàn)有制箱材料60 m2.問:當(dāng)a,b各為多少米時,
經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A,B孔的面積忽略不計)?
解 方法一 設(shè)y為流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù),
則y= 19、,其中k>0為比例系數(shù),依題意,求使y值最小的a,b的值.
根據(jù)題設(shè),有4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0),
解得b= (00,b>0),
即a+2b+ab=30 (a>0,b>0).
因?yàn)閍+2b≥2,所以2·+ab≤30,
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時,上式取等號. 20、
由a>0,b>0,解得0 22、中m,n均大于0,則+的最小值為 ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
答案 C
解析 點(diǎn)A(-2,-1),所以2m+n=1.
所以+=(2m+n)=4++≥8,當(dāng)且僅當(dāng)n=2m,即m=,n=時等號成立.
二、填空題(每小題5分,共15分)
4. 若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy,則xy的最小值是________.
答案 18
解析 由x>0,y>0,2x+y+6=xy,得
xy≥2+6(當(dāng)且僅當(dāng)2x=y(tǒng)時,取“=”),
即()2-2-6≥0,
∴(-3)·(+)≥0.
又∵>0,∴≥3,即xy≥18.
∴xy的最小值為18. 23、
5. 已知m、n、s、t∈R+,m+n=2,+=9,其中m、n是常數(shù),且s+t的最小值是,滿足條件的點(diǎn)(m,n)是圓(x-2)2+(y-2)2=4中一弦的中點(diǎn),則此弦所在的直線方程為__________.
答案 x+y-2=0
解析 因(s+t)=m+n++
≥m+n+2,所以m+n+2=4,
從而mn=1,得m=n=1,即點(diǎn)(1,1),
而已知圓的圓心為(2,2),所求弦的斜率為-1,
從而此弦的方程為x+y-2=0.
6. 定義“*”是一種運(yùn)算,對于任意的x,y,都滿足x*y=axy+b(x+y),其中a,b為正實(shí)數(shù),已知1] .
答案 1
解析 ∵1]∵2a+ 24、3b≥2,∴ab≤.
當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b,即a=1時等號成立,
所以當(dāng)a=1時,ab取最大值.
三、解答題
7. (13分)甲、乙兩地相距s千米,一船由甲地逆水勻速行駛至乙地,水速為常量p(單位:千米/小時),船在靜水中的最大速度為q千米/小時(q>p).已知船每小時的燃料費(fèi)用(單位:元)與船在靜水中的速度v(單位:千米/小時)的平方成正比,比例系數(shù)為k.
(1)把全程燃料費(fèi)用y(單位:元)表示為船在靜水中的速度v的函數(shù),并求出這個函數(shù)的定義域;
(2)為了使全程燃料費(fèi)用最小,船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少?
解 (1)由題意,知船每小時的燃料費(fèi)用是kv2,全程航行時間為,
于是全程燃料費(fèi)用y=kv2· (p
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