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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第十四課時 第二章平面向量小結(jié)與復(fù)習(xí)課(一)教案 北師大版必修4
一、教學(xué)目標(biāo):1. 理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四邊形法則(共起點)和三角形法則(首尾相接)。4. 了解向量形式的三角形不等式:|||-||≤|±|≤||+||(試問:取等號的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理:2(||+||)=|-|+|+|.5. 了解實數(shù)與向量的乘法(即數(shù)乘的意義):6. 向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法;7. 向量的坐標(biāo)運算(加.減.實數(shù)和向量的乘法.數(shù)量積);8. 數(shù)量積(點
2、乘或內(nèi)積)的概念,·=||||cos=xx+yy注意區(qū)別“實數(shù)與向量的乘法;向量與向量的乘法”。
二、教學(xué)過程
[第一部分:知識歸納]
1.知識結(jié)構(gòu)
2.重要公式、定理
①.平面向量基本定理:如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ2.
②. 向量共線的兩種判定方法:∥()
③. a = (x, y) T |a|2 = x2 + y2 T |a| =
④.若A = (x1, y1),B = (x2, y2),則=
⑤.cosq =
⑥.a^b ? a?b = 0 即x1x2 + y
3、1y2 = 0(注意與向量共線的坐標(biāo)表示)
3.學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題及高考展望
①.在平面向量的應(yīng)用中,用平面向量解決平面幾何問題時,首先將幾何問題中的幾何元素和幾何關(guān)系用向量表示,然后選擇適當(dāng)?shù)幕紫蛄浚瑢⑾嚓P(guān)向量表示為基向量的線性組合,把問題轉(zhuǎn)化為基向量的運算問題,最后將運算的結(jié)果再還原為幾何關(guān)系,注意用向量的語言和方法來表述和解決物理問題。
②.向量是數(shù)形結(jié)合的載體,在本章的學(xué)習(xí)中,一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運算;另一方面,我們又以向量為工具,運用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題和物理的相關(guān)問題.同時向量的坐標(biāo)表示為我們用代數(shù)方法研究幾何問題提供了可能,豐富了我們研究問題的范
4、圍和手段。
③.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì),這類題一般難度不大,用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題。
④.以解答題出現(xiàn)的題目,一般結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識,綜合性較強(qiáng),難度大,以解決幾何問題為主.在學(xué)習(xí)本章時應(yīng)立足于課本,掌握雙基,精讀課本是關(guān)鍵.
[第二部分:基礎(chǔ)測試](供選用)
教材P125—126第1、2、3題
A
B
C
a
ca
b
[第三部分:應(yīng)用舉例](供選用)
例1.如圖△ABC中,= c,= a,= b,則下列推導(dǎo)
不正確的是……………( )
A.若a?b < 0,則△ABC為鈍角三角形。
B.若a?b = 0
5、,則△ABC為直角三角形。
C.若a?b = b×c,則△ABC為等腰三角形。
D.若c? (a + b + c) = 0,則△ABC為正三角形。
解:A.a(chǎn)?b = |a||b|cosq < 0,則cosq < 0,q為鈍角 B.顯然成立
C.由題設(shè):|a|cosC = |c|cosA,即a、c在b上的投影相等
D.∵a + b + c = 0, ∴上式必為0,∴不能說明△ABC為正三角形
例2.設(shè)非零向量a、b、c、d,滿足d = (a?c) b - (a?b)c,求證:a^d
證:內(nèi)積a?c與a?b均為實數(shù),
∴a?d = a? [(a?c)
6、 b - (a?b)c] = a? [(a?c) b] - a? [(a?b)c]
= (a?b)(a?c) - (a?c)(a?b) = 0∴a^d
例3.已知|a| = 3,b = (1,2),且a∥b,求a的坐標(biāo)。
解:設(shè)a = (x,y) ∵|a| = 3 ∴…①
又:∵a∥b ∴1?y - 2?x = 0 …②
解之: 或
即:a = () 或a = ()
例4.已知a、b都是非零向量, a + 3b與7a - 5b垂直,且a - 4b與7a - 2b垂直,求a與b的夾角。
解:由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 T 7a2 + 16a?
7、b -15b2 = 0 ①
(a - 4b)(7a - 2b) = 0 T 7a2 - 30a?b + 8b2 = 0 ②
兩式相減:2a×b = b2 代入①或②得:a2 = b2
A
B
C
E
F
D
G
設(shè)a、b的夾角為q,則cosq = ∴q = 60°
例5.證明:三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍。
證:設(shè)= b,= a,則=+= b+a,
=a +b
∵A, G, D共線,B, G, E共線∴可設(shè)=λ,= μ,則=λ=λ(b+a)=λb+λa,= μ= μ(b+a)=μb+μa,∵
8、 即:b + (μb+μa) =λb+λa∴(μ-λ)a + (μ-λ+)b = 0 ∵a, b不平行,
∴ =
例6.設(shè)=(a+5b),=-2a + 8b,=3(a -b),求證:A,B,D三點共線。
證:=++=(a+5b) + ( -2a + 8b) + 3(a -b)
= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)
而=(a+5b) ∴= (+ 1)又∵, 有公共點 ∴A,B,D三點共線
例7.設(shè)作用于同一點O的三個力F1、F2、F3處于平衡狀態(tài),如果| F1|=1,|F2|=2,F(xiàn)1與F2的夾角為.求①.F3的大?。虎?∠F3OF2的大小.
解:①F1、F2、F3三個力處于平衡狀態(tài),故F1+F2+F3=0,即F3= -(F1+F2).
∴| F3|=| F1+F2|=
②如圖:以F2所在直線為x軸,合力作用點為坐標(biāo)原點,建立直角坐標(biāo)系.將向量F1、F3正交分解,設(shè)∠F3OM=
由受力平衡知
解之得于是∠F3OF2
作業(yè)布置:1、寫出你學(xué)習(xí)本章的復(fù)習(xí)小結(jié)或心得體會以及對今后的學(xué)習(xí)有何計劃.
2、完成教材P126---127中A組習(xí)題第4---10題.3、(選做)復(fù)習(xí)題2的B組試題.
[課后反思]