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2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.考查空間平行關(guān)系的判定及性質(zhì)有關(guān)命題的判定;2.解答題中證明或探索空間的平行關(guān)系. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì),會(huì)把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,解答過程的敘述步驟要完整,避免因條件書寫不全而失分;2.學(xué)會(huì)應(yīng)用“化歸思想”進(jìn)行“線線問題、線面問題、面面問題”的互相轉(zhuǎn)化,牢記解決問題的根源在“定理”. 1. 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 條件 a∩α=? a?α,b?α,a∥b

2、a∥α a∥α,a?β,α∩β=b 結(jié)論 a∥α b∥α a∩α=? a∥b 2. 面面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 條件 α∩β=? a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b α∥β,a?β 結(jié)論 α∥β α∥β a∥b a∥α [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1.證明線面平行是高考中常見的問題,常用的方法就是證明這條線與平面內(nèi)的某條直線平行.但一定要說明一條直線在平面外,一條直線在平面內(nèi). 2.在判定和證明直線與平面的位置關(guān)系時(shí),除熟練運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理外,切不可丟棄定義

3、,因?yàn)槎x既可作判定定理使用,亦可作性質(zhì)定理使用. 3.輔助線(面)是解(證)線面平行的關(guān)鍵.為了能利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理,往往需要作輔助線(面). 1. 已知不重合的直線a,b和平面α, ①若a∥α,b?α,則a∥b; ②若a∥α,b∥α,則a∥b; ③若a∥b,b?α,則a∥α; ④若a∥b,a∥α,則b∥α或b?α. 上面命題中正確的是________(填序號(hào)). 答案?、? 解析?、偃鬭∥α,b?α,則a,b平行或異面;②若a∥α,b∥α,則a,b平行、相交、異面都有可能;③若a∥b,b?α,則a∥α或a?α. 2. 已知α、β是不同的兩個(gè)平面,直線a?

4、α,直線b?β,命題p:a與b沒有公共點(diǎn);命題q:α∥β,則p是q的____________條件. 答案 必要不充分 解析 ∵a與b沒有公共點(diǎn),不能推出α∥β, 而α∥β時(shí),a與b一定沒有公共點(diǎn), 即pD?/q,q?p,∴p是q的必要不充分條件. 3. 已知平面α∥平面β,直線a?α,有下列命題: ①a與β內(nèi)的所有直線平行;②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行;③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直. 其中真命題的序號(hào)是________. 答案 ② 解析 因?yàn)棣痢桅?,a?α,所以a∥β,在平面β內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線a平行,但不是所有直線都與直線a平行,故命題②為真命題,命題①為假命題.在平面

5、β內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線a垂直,故命題③為假命題. 4. (xx·浙江)若直線l不平行于平面α,且l?α,則 (  ) A.α內(nèi)的所有直線與l異面 B.α內(nèi)不存在與l平行的直線 C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行 D.α內(nèi)的直線與l都相交 答案 B 解析 由題意知,直線l與平面α相交,則直線l與平面α內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系,因而只有選項(xiàng)B是正確的. 5. (xx·四川)下列命題正確的是 (  ) A.若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行 B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行 C.若一條

6、直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行 D.若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行 答案 C 解析 利用線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)解答. A錯(cuò)誤,如圓錐的任意兩條母線與底面所成的角相等,但兩條母線相交; B錯(cuò)誤,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)中,A、B在α的同側(cè),而點(diǎn)C在α的另一側(cè),且AB平行于α,此時(shí)可有A、B、C三點(diǎn)到平面α的距離相等,但兩平面相交; D錯(cuò)誤,如教室中兩個(gè)相鄰墻面都與地面垂直,但這兩個(gè)面相交,故選C. 題型一 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 例1 正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q,且AP=DQ.求證:

7、PQ∥平面BCE. 思維啟迪:證明直線與平面平行可以利用直線與平面平行的判定定理,也可利用面面平行的性質(zhì). 證明 方法一 如圖所示. 作PM∥AB交BE于M, 作QN∥AB交BC于N, 連接MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN,∴===, ∴=, ∴PM綊QN,即四邊形PMNQ為平行四邊形, ∴PQ∥MN. 又MN?平面BCE,PQ?平面BCE, ∴PQ∥平面BCE. 方法二 如圖,連接AQ,并延長交BC延長線于K,連接EK, ∵AE=BD,AP=DQ, ∴PE=BQ,∴=, 又

8、AD∥BK,∴=, ∴=,∴PQ∥EK. 又PQ?平面BCE,EK?平面BCE, ∴PQ∥平面BCE. 方法三 如圖,在平面ABEF內(nèi),過點(diǎn)P作PM∥BE,交AB于點(diǎn)M, 連接QM. ∴PM∥平面BCE, 又∵平面ABEF∩平面BCE=BE, ∴PM∥BE,∴=, 又AE=BD,AP=DQ,∴PE=BQ, ∴=,∴=, ∴MQ∥AD,又AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE, 又PM∩MQ=M,BE∩BC=B, ∴平面PMQ∥平面BCE,又PQ?平面PMQ. ∴PQ∥平面BCE. 探究提高 判斷或證明線面平行的常用方法:(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)

9、);(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,a?α?a∥β);(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?β,a∥α?a∥β). 如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中點(diǎn),F(xiàn)是AB的中點(diǎn).求證:BE∥平面PDF. 證明 取PD中點(diǎn)為M,連接ME,MF, ∵E是PC的中點(diǎn), ∴ME是△PCD的中位線, ∴ME綊CD. ∵F是AB的中點(diǎn)且四邊形ABCD是菱形,AB綊CD, ∴ME綊FB,∴四邊形MEBF是平行四邊形,∴BE∥MF. ∵BE?平面

10、PDF,MF?平面PDF,∴BE∥平面PDF. 題型二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 例2 如圖,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC, A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證: (1)B,C,H,G四點(diǎn)共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. 思維啟迪:要證四點(diǎn)共面,只需證GH∥BC;要證面面平行,可證一個(gè) 平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個(gè)平面平行. 證明 (1)∵GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G四點(diǎn)共面. (2)∵E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),∴EF∥BC, ∵EF?平面BCHG,BC

11、?平面BCHG, ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB, ∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG. 探究提高 證明面面平行的方法: (1)面面平行的定義; (2)面面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行; (3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行; (4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行; (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化. 證明:若一條直線與

12、兩個(gè)相交平面都平行,則這條直線平行于兩個(gè)平面的交線. 解 已知:直線a∥平面α,直線a∥平面β,α∩β=b. 求證:a∥b. 證明:如圖所示,過直線a作平面γ,δ分別交平面α,β于直線m,n(m,n不同于交線b),由直線與平面平行的性質(zhì)定理,得a∥m,a∥n,由平行線的傳遞性,得m∥n,由于n?α,m?α,故n∥平面α.又n?β,α∩β=b,故n∥b.又a∥n,故a∥b. 題型三 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 例3 如圖所示,在四面體ABCD中,截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD, 試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大? 思維啟迪:利用線面平行的性質(zhì)可以得到線線平行,可以先確定截面形狀,再建立

13、目標(biāo)函數(shù)求最值. 解 ∵AB∥平面EFGH, 平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH. ∴AB∥FG,AB∥EH, ∴FG∥EH,同理可證EF∥GH, ∴截面EFGH是平行四邊形. 設(shè)AB=a,CD=b,∠FGH=α (α即為異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角). 又設(shè)FG=x,GH=y(tǒng),則由平面幾何知識(shí)可得=,=,兩式相加得+=1,即y=(a-x), ∴S?EFGH=FG·GH·sin α =x··(a-x)·sin α=x(a-x). ∵x>0,a-x>0且x+(a-x)=a為定值, ∴當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x時(shí),x(a-x)=,此時(shí)x=,y=. 即當(dāng)截面

14、EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H為棱AD、AC、BC、BD的中點(diǎn)時(shí)截面面積最大. 探究提高 利用線面平行的性質(zhì),可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化,尤其在截面圖的畫法中,常用來確定交線的位置,對(duì)于最值問題,常用函數(shù)思想來解決. 如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),平面D1BQ∥平面PAO? 解 當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ∥平面PAO.證明如下: ∵Q為CC1的中點(diǎn),P為DD1的中點(diǎn), ∴QB∥PA. ∵P、O分別為DD1、DB的中點(diǎn),∴D1B∥PO. 又∵D1B?平面PAO,PO?平面PAO

15、, QB?平面PAO,PA?平面PAO, ∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO, 又D1B∩QB=B,D1B、QB?平面D1BQ, ∴平面D1BQ∥平面PAO. 立體幾何中的探索性問題 典例:(12分)如圖所示,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的 中點(diǎn). (1)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值; (2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F,使B1F∥平面A1BE?證明你的結(jié)論. 審題視角 (1)可過E作平面ABB1A1的垂線、作線面角;(2)先探求出點(diǎn)F,再進(jìn)行證明B1F∥平面A1BE.注意解題的方向性. 規(guī)范解答 解 (1)如圖(a

16、)所示,取AA1的中點(diǎn)M,連接EM,BM.因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn),四邊形ADD1A1為正方形,所以EM∥AD.[2分] 又在正方體ABCD—A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1, 所以EM⊥平面ABB1A1,從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影,∠EBM為BE和平面ABB1A1所成的角.[4分] 圖(a) 設(shè)正方體的棱長為2, 則EM=AD=2,BE==3. 于是,在Rt△BEM中,sin∠EBM==,[5分] 即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為.[6分] (2)在棱C1D1上存在點(diǎn)F,使B1F∥平面A1BE. 事實(shí)上,如圖(b)所示,分

17、別取C1D1和CD的中點(diǎn)F,G,連接B1F,EG,BG,CD1,F(xiàn)G. 因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,因此D1C∥A1B. 又E,G分別為D1D,CD的中點(diǎn), 圖(b) 所以EG∥D1C,從而EG∥A1B. 這說明A1,B,G,E四點(diǎn)共面.所以BG?平面A1BE.[8分] 因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形,F(xiàn),G分別為C1D1和CD的中點(diǎn), 所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C1C=B1B, 因此四邊形B1BGF是平行四邊形, 所以B1F∥BG,[10分] 而B1F?平面A1BE,BG?平面A

18、1BE, 故B1F∥平面A1BE.[12分] 答題模板 對(duì)于探索類問題,書寫步驟的格式有兩種:一種:第一步:探求出點(diǎn)的位置. 第二步:證明符合要求. 第三步:給出明確答案. 第四步:反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn),易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范. 另一種:從結(jié)論出發(fā),“要使什么成立”,“只需使什么成立”,尋求使結(jié)論成立的充分條件,類似于分析法. 溫馨提醒 (1)本題屬立體幾何中的綜合題,重點(diǎn)考查推理能力和計(jì)算能力.(2)第(1)問常見錯(cuò)誤是無法作出平面ABB1A1的垂線,以致無法確定線面角.(3)第(2)問為探索性問題,找不到解決問題的切入口,入手較難.(4)書寫格式混亂,不條理,思路不清晰.

19、方法與技巧 1. 平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 2. 直線與平面平行的主要判定方法 (1)定義法;(2)判定定理;(3)面與面平行的性質(zhì). 3. 平面與平面平行的主要判定方法 (1)定義法;(2)判定定理;(3)推論;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β. 失誤與防范 1.在推證線面平行時(shí),一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi),否則,會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 2.在解決線面、面面平行的判定時(shí),一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí),其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定,決不可過于“模式化”. 3.解題中注意符號(hào)語言的規(guī)范應(yīng)

20、用. A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 若直線m?平面α,則條件甲:“直線l∥α”是條件乙:“l(fā)∥m”的 (  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 D 2. 已知直線a,b,c及平面α,β,下列條件中,能使a∥b成立的是 (  ) A.a(chǎn)∥α,b?α B.a(chǎn)∥α,b∥α C.a(chǎn)∥c,b∥c D.a(chǎn)∥α,α∩β=b 答案 C 解析 由平行公理知C正確,A中a與b可能異面.B中a,b可能相交或異面,

21、D中a,b可能異面. 3. 在梯形ABCD中,AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是 (  ) A.平行 B.平行和異面 C.平行和相交 D.異面和相交 答案 B 解析 ∵?CD∥α, ∴CD和平面α內(nèi)的直線沒有公共點(diǎn). 4. 設(shè)m、n表示不同直線,α、β表示不同平面,則下列結(jié)論中正確的是 (  ) A.若m∥α,m∥n,則n∥α B.若m?α,n?β,m∥β,n∥α,則α∥β C.若α∥β,m∥α,m∥n,則n∥β D.若α∥β,m∥α,n∥m,n?β,則n∥β 答

22、案 D 解析 D中,易知m∥β或m?β, 若m?β,又n∥m,n?β,∴n∥β, 若m∥β,過m作平面γ交平面β于直線p,則m∥p,又n∥m,∴n∥p,又n?β,p?β,∴n∥β. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 過三棱柱ABC—A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線,其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條. 答案 6 解析 過三棱柱ABC—A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線,記AC,BC,A1C1,B1C1的中點(diǎn)分別為E,F(xiàn),E1,F(xiàn)1,則直線EF,E1F1,EE1,F(xiàn)F1,E1F,EF1均與平面ABB1A1平行,故符合題意的直線共6條. 6. 如

23、圖所示,ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體,M、N分別是下 底面的棱A1B1、B1C1的中點(diǎn),P是上底面的棱AD上的一點(diǎn),AP=, 過P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=________. 答案 a 解析 ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1, ∴MN∥PQ.∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn),AP=, ∴CQ=,從而DP=DQ=,∴PQ=a. 7. 如圖所示,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是 棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊 形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則M滿足條件__________

24、____時(shí),有 MN∥平面B1BDD1. 答案 M∈線段HF 解析 由題意,得HN∥面B1BDD1,F(xiàn)H∥面B1BDD1. ∵HN∩FH=H,∴面NHF∥面B1BDD1. ∴當(dāng)M在線段HF上運(yùn)動(dòng)時(shí),有MN∥面B1BDD1. 三、解答題(共22分) 8. (10分)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn), M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面,交平面BDM 于GH. 求證:PA∥GH. 證明 如圖,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接MO, ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴O是AC的中點(diǎn),又M是PC的中點(diǎn), ∴AP∥OM. 則有PA∥平面B

25、MD. ∵平面PAHG∩平面BMD=GH, ∴PA∥GH. 9. (12分)如圖,已知平行四邊形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在 平面與平面ABCD垂直,G,H分別是DF,BE的中點(diǎn). (1)求證:GH∥平面CDE; (2)若CD=2,DB=4,求四棱錐F—ABCD的體積. (1)證明 方法一 ∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC. 又EF=AD=BC,∴四邊形EFBC是平行四邊形, ∴H為FC的中點(diǎn). 又∵G是FD的中點(diǎn),∴HG∥CD. ∵HG?平面CDE,CD?平面CDE, ∴GH∥平面CDE. 方法二 連接EA,∵ADEF是正方形,∴G是AE的中點(diǎn).

26、 ∴在△EAB中,GH∥AB. 又∵AB∥CD,∴GH∥CD. ∵HG?平面CDE,CD?平面CDE, ∴GH∥平面CDE. (2)解 ∵平面ADEF⊥平面ABCD,交線為AD, 且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD. ∵AD=BC=6,∴FA=AD=6. 又∵CD=2,DB=4,CD2+DB2=BC2,∴BD⊥CD. ∵S?ABCD=CD·BD=8, ∴VF—ABCD=S?ABCD·FA=×8×6=16. B組 專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 設(shè)m,n是平面α內(nèi)的兩條不同直線;l1,l2是平面β內(nèi)的兩條相交直

27、線,則α∥β的一個(gè)充分而不必要條件是 (  ) A.m∥β且l1∥α B.m∥l1且n∥l2 C.m∥β且n∥β D.m∥β且n∥l2 答案 B 解析 對(duì)于選項(xiàng)A,不合題意;對(duì)于選項(xiàng)B,由于l1與l2是相交直線,而且由l1∥m可得l1∥α,同理可得l2∥α,故可得α∥β,充分性成立,而由α∥β不一定能得到l1∥m,它們也可以異面,故必要性不成立,故選B;對(duì)于選項(xiàng)C,由于m,n不一定相交,故是必要非充分條件;對(duì)于選項(xiàng)D,由于n∥l2可轉(zhuǎn)化為n∥β,同選項(xiàng)C,故不符合題意.綜上選B. 2. 下面四個(gè)正方體圖形中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,

28、P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥平面MNP的圖形是 (  ) A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 答案 A 解析 由線面平行的判定定理知圖①②可得出AB∥平面MNP. 3. 給出下列關(guān)于互不相同的直線l、m、n和平面α、β、γ的三個(gè)命題: ①若l與m為異面直線,l?α,m?β,則α∥β; ②若α∥β,l?α,m?β,則l∥m; ③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,則m∥n. 其中真命題的個(gè)數(shù)為 (  ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 C 解析 

29、①中當(dāng)α與β不平行時(shí),也能存在符合題意的l、m. ②中l(wèi)與m也可能異面. ③中?l∥m,同理l∥n,則m∥n,正確. 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. 已知平面α∥平面β,P是α、β外一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線m與α、β分別交于A、C,過點(diǎn)P的直線n與α、β分別交于B、D且PA=6,AC=9,PD=8,則BD的長為________. 答案 24或 解析 根據(jù)題意可得到以下如圖兩種情況: 可求出BD的長分別為或24. 5. 一個(gè)正方體的展開圖如圖所示,B、C、D為原正方體的頂點(diǎn),A為 原正方體一條棱的中點(diǎn).在原來的正方體中,CD與AB所成角的 余弦值為________.

30、 答案  解析 還原為正方體如圖所示,BE∥CD,則∠EBA就是異面直線CD與AB所成的角或所成角的補(bǔ)角. 設(shè)正方體棱長為2,則BE=2, BA=,AE=3. 所以在△ABE中,由余弦定理得 cos ∠EBA==. 6. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結(jié)論中,正確的結(jié)論是________(只填序號(hào)). ①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1; ③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1. 答案 ①②④ 三、解答題 7. (13分)如圖,四棱錐P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為 矩形,PD=DC=4,AD=2,E為PC的中點(diǎn). (1

31、)求三棱錐A—PDE的體積; (2)AC邊上是否存在一點(diǎn)M,使得PA∥平面EDM?若存在,求出AM 的長;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解 (1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,所以PD⊥AD. 又因ABCD是矩形,所以AD⊥CD. 因PD∩CD=D,所以AD⊥平面PCD, 所以AD是三棱錐A—PDE的高. 因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),且PD=DC=4, 所以S△PDE=S△PDC=×=4. 又AD=2,所以VA—PDE=AD·S△PDE=×2×4=. (2)取AC中點(diǎn)M,連接EM,DM,因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),M是AC的中點(diǎn),所以EM∥PA. 又因?yàn)镋M?平面EDM,PA?平面EDM, 所以PA∥平面EDM. 所以AM=AC=. 即在AC邊上存在一點(diǎn)M,使得PA∥平面EDM,AM的長為.

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