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1、2022年高三數(shù)學(xué) 《曲線與方程》教案2(新人教A選修2-1)
●教學(xué)目標(biāo)
1.了解解析幾何的基本思想;
2.了解用坐標(biāo)法研究幾何問題的初步知識和觀點(diǎn);
3.初步掌握求曲線的方程的方法.
●教學(xué)重點(diǎn)
求曲線的方程
●教學(xué)難點(diǎn)
求曲線方程一般步驟的掌握.
●教學(xué)過程
Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧:
師:上一節(jié),我們已經(jīng)建立了曲線的方程.方程的曲線的概念.利用這兩個(gè)重要概念,就可以借助于坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn),把曲線看成滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡,用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)所滿足的方程f(x,y)=0表示曲線,通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì).這一節(jié),我們就來學(xué)習(xí)這一方法.
Ⅱ.講
2、授新課
1.解析幾何與坐標(biāo)法:
我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法. 在數(shù)學(xué)中,用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識形成了一門叫解析幾何的學(xué)科.因此,解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.
2.平面解析幾何研究的主要問題:
(1)根據(jù)已知條件,求出表示平面曲線的方程;
(2)通過方程,研究平面曲線的性質(zhì).
說明:本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟.
例2 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,-1),(3,7),求線段AB的垂直平分線的方程.
解:設(shè)M(x,y)是線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)(圖7—29),也就是點(diǎn)M屬于集合
.
由兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)M所適合條件可
3、表示為:
將上式兩邊平方,整理得:
x+2y-7=0 ①
我們證明方程①是線段AB的垂直平分線的方程.
(1)由求方程的過程可知,垂直平分線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程①解;
(2)設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)(x1,y1)是方程①的解,即 x+2y1-7=0 x1=7-2y1
點(diǎn)M1到A、B的距離分別是
即點(diǎn)M1在線段AB的垂直平分線上.
由(1)、(2)可知方程①是線段AB的垂直平分線的方程.
師:由上面的例子可以看出,求曲線(圖形)的方程,一般有下面幾個(gè)步驟:
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示
4、曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)};
(3)用坐標(biāo)表示條件P(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式;
(5)證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).
說明:一般情況下,化簡前后方程的解集是相同的,步驟(5)可以省略不寫,如有特殊情況,可適當(dāng)予以說明.另外,根據(jù)情況,也可以省略步驟(2),直接列出曲線方程.
師:下面我們通過例子來進(jìn)一步熟悉求曲線軌跡的一般步驟.
例3 已知一條曲線在x軸的上方,它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)A(0,2)的距離減去它到x軸的距離的差都是2,求這條曲線的方程.
解:如圖所示
5、,設(shè)點(diǎn)M(x,y)是曲線上任意一點(diǎn),MB⊥x軸,垂足是B(圖7—31),那么點(diǎn)M屬于集合
由距離公式,點(diǎn)M適合的條件可表示為:
①
將①式移項(xiàng)后再兩邊平方,得
x2+(y-2)2=(y+2)2,化簡得:
因?yàn)榍€在x軸的上方,所以y>0,雖然原點(diǎn)O的坐標(biāo)(0,0)是這個(gè)方程的解,但不屬于已知曲線,所以曲線的方程是 (x≠0)?。
師:上述兩個(gè)例題讓學(xué)生了解坐標(biāo)法的解題方法,明確建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是求解曲線方程的基礎(chǔ);同時(shí),根據(jù)曲線上的點(diǎn)所要適合的條件列出等式,是求曲線方程的重要環(huán)節(jié),在這里常用到一些基本公式,如兩點(diǎn)間距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,直線的斜率公式等,因此先要了解上述知識,必要時(shí)作適當(dāng)復(fù)習(xí).
Ⅱ.課堂練習(xí) 課本P39練習(xí)3
●課堂小結(jié)
師:通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家初步認(rèn)識坐標(biāo)法研究幾何問題的知識與觀點(diǎn),進(jìn)而逐步掌握求曲線的方程的一般步驟.
● 課后作業(yè)
P40習(xí)題A組 3,4 B組 2