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1、2022年高二數(shù)學 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 新人教版（文） 【本講教育信息】 一. 教學內(nèi)容： 橢圓的幾何性質(zhì) 二. 本周教學重、難點： 1. 重點： 橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的第二定義。 2. 難點： 焦半徑，焦點三角形 三. 知識梳理： 【典型例題】 [例1] 設(shè)P為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，若，，求橢圓的離心率為多少？ 解：方法一：∵ 又 ∵ ∴ ∴ ∴ 方法二：∵ ∴ ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ [例2] 過點M

2、（1，1）作直線與橢圓交于A、B兩點，M恰為AB中點，求直線方程。 解：設(shè)A（）B（） ∴ ① ② ①－②： ∴ ∴ ∴ ∴ 即 [例3] 橢圓，，P為任一點，當最大時，是否存在一直線過點（）交橢圓于A、B兩點，且A、B在以P為圓心的圓上。 解：設(shè)A（），B（），直線AB的斜率為，線段AB中點M（） ∴ ① ② ①－②： ∴ ∴ ③ 又 ∵ PM⊥AB ∴ ④ ∴ ⑤ 又 ∵ ∴ 設(shè)，， 聯(lián)立③、④、⑤ ∴ ∴ 這樣的直線存在 方程為 [例4] 已知橢圓

3、的對稱軸是坐標軸，O為坐標原點，F(xiàn)是一個焦點，A是一個頂點，若橢圓的長軸長是6，且，求橢圓的方程。 解：∵ 橢圓的長軸長是6， ∴ 點A不是長軸的端點（是短軸的端點） ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ 橢圓的方程是或 [例5] 已知點A（1，2）在橢圓內(nèi)，F(xiàn)的坐標為（2，0），在橢圓上求一點P使最小。 解：∵ ， ∴ ， ∴ F為橢圓的右焦點，并且離心率為 設(shè)P到右準線的距離為，則， ∴ 由幾何性質(zhì)可知，當P點的縱坐標（橫坐標大于零）與A點的縱坐標相同時，最小。 把代入，得（負舍之），即P（）為所求 [例6] 設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心

4、率，已知點P（0，）到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標。 解法一：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為（其中，） 由，得 設(shè)橢圓上的點（）到點P的距離為 則 如果，即 那么當時，取得最大值 由此得，與矛盾 因此必有 此時當時，取得最大值 解得， 所求橢圓的參數(shù)方程是 由，求得橢圓上到點P的距離等于的點是（）與（） 解法二：設(shè)所求橢圓的方程為（） 由 解得 設(shè)橢圓上的點（）到點P的距離為 則 其中。如果，則當時，取得最大值 解得，與矛盾 故必有 當時，取得最大值 解

5、得， 所求橢圓方程為 由可求得到點P的距離等于的點的坐標為（） [例7] 已知P點在橢圓上，P點的坐標為（），求的最大值和最小值。 解：∵ P點在橢圓上 ∴ 可設(shè)P點的坐標為（） 即， ∴ ∴ 當時，最大，其最大值為 當（）時，最小，其最小值為 [例8] 已知橢圓 （1）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程； （2）過A（2，1）的直線與橢圓相交，求被截得的弦的中點軌跡方程； （3）過點P（）且被P點平分的弦所在直線的方程。 解： （1）設(shè)斜率為2的直線的方程為 由 得 由得 設(shè)平行弦的端點坐標為（）、（） ，

6、設(shè)弦的中點坐標為（），則 ，代入，得為所求軌跡方程 （2）設(shè)與橢圓的交點為（）、（） 弦的中點為（），則， 兩式相減并整理得 又 ∵ ， ∴ ∴ ① 由題意知 代入①得=0 化簡得 ∴ 所求軌跡方程為（夾在橢圓內(nèi)的部分） （注：設(shè)的方程為，仿（1）的解法也可） （3）將，代入 得。故所求的直線方程為 【模擬試題】（答題時間：60分鐘） 一. 選擇： 1. 橢圓與的關(guān)系為（ ） A. 有相等的長、短軸 B. 有相等的焦距 C. 有相同的焦點 D. 有相同的準線 2. 中心在原點，焦點在軸上，若長軸長為18，且兩個

7、焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 橢圓的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（ ） A. B. C. D. 4. F（）是橢圓的一個焦點，F(xiàn)與橢圓上點的距離的最大值為，最小值為， 則橢圓上與點F距離為的點是（ ） A. B. C. D. 不存在 5. 橢圓上有一點P到左準線的距離為，那么P到右焦點的距離為（ ） A. 8 B. C. D. 6. 已知點P在橢圓上，并且P到直線：的距離最小

8、，則P點的坐標是（ ） A. B. C. D. 7. 曲線（為參數(shù)）的準線方程是（ ） A. B. C. D. 8. 過橢圓左焦點作弦AB，以AB為直徑的圓與橢圓左準線（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相離 D. 位置關(guān)系不確定 二. 填空： 1. P是橢圓上的點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，則的最大值與最小值之差是 。 2. 一廣告氣球被一束平行光線投射到水平面上，其投影為橢圓，離心率是，則這束光線對于水平平面的入射角為 。 3. P點在橢圓

9、上運動，點Q、R分別在圓，上運動，則的最大值是 。 4. 橢圓，P為橢圓上一點，且，則點P的坐標為 。 三. 解答題： 1. 已知點A（）及橢圓，在橢圓上求一點P使的值最大。 2. 橢圓的左、右焦點分別為和，過中心O作直線與橢圓交于A、B兩點，若的面積為20，求直線AB的方程。 3. 是橢圓的長軸，CD是垂直于長軸的弦，求直線和的交點P的軌跡方程。 4. 如下圖，A、B是兩個定點，，動點M到A點的距離是6，線段MB的垂直平分線交MA于點P，直線垂直于AB，且B到的距離是。若以AB所在直線為軸，AB的中垂線為軸建立直角坐標系。 （1）求證：點P

10、到點B的距離與直線的距離之比為定值。 （2）若P點到A、B兩點的距離之積為，當取最大值時，求P點的坐標。 （3）設(shè)直線與點P所在曲線相交于不同兩點C、D，定點G（），則使的正數(shù)是否存在？若存在，則求出其取值范圍；若不存在，請說明理由。 【試題答案】 一. 1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. A 7. A 8. C 二. 1. 1 2. 3. 6 4. 三. 1. 解：∵ 點P在橢圓上 ∴ 設(shè)P的坐標為 ∴ ∴ 當時，最大，此時 ∴ P點的坐標為（） 2. 解：

11、 設(shè)A（） ∵ AB過橢圓中心 ∴ B的坐標為（） ∵ ∴ ，即 ∴ ，代入橢圓的方程得 ∴ 直線AB的方程為 3. 解：設(shè)P（），C（），D（） 由、、共線得 ① 由D、A、P共線得 ② 由①②聯(lián)立求出代入 得 整理得 4. （1）證明：A（），B（），： 由題意，且 ∴ 點P在橢圓上 ∴ ：為橢圓的右準線，且右焦點為B（2，0），若到的距離為 則為定值 （2）解： 當，即或時，取最大值 （3）解：設(shè)存在直線與P點所在曲線交于C（）、D（）兩點，CD中點為N（） 則， 即GN為CD的中垂線， 由得 由得 ① 又， ∴ ② 由①②得 ∴ 但由②得，二者矛盾，故這樣的正數(shù)不存在