5、2，－3)
答案 D
解析 圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)為，即(2，－3)．
4． (xx·遼寧)將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是 ( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
答案 C
解析 因為圓心是(1,2)，所以將圓心坐標(biāo)代入各選項驗證知選C.
5． (xx·湖北)過點P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2＋y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為 ( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x
6、－y＝0 D．x＋3y－4＝0
答案 A
解析 當(dāng)圓心與P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件．
圓心O與P點連線的斜率k＝1，
∴過點P垂直于OP的直線方程為x＋y－2＝0.
題型一 求圓的方程
例1 根據(jù)下列條件，求圓的方程：
(1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；
(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)．
思維啟迪：(1)求圓心和半徑，確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解．
解 (1)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
將P、Q點的坐標(biāo)分
7、別代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
設(shè)x1，x2是方程③的兩根，
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.
故所求圓的方程為
x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2)方法一
如圖，設(shè)圓心(x0，－4x0)，依題意得＝1，
∴x0＝1，即圓心坐標(biāo)為(1，－4)，半徑r＝2，
故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
方法二 設(shè)所求方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，
根據(jù)已知條件得
解得
因此所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋
8、4)2＝8.
探究提高 求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法：①幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．②代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．
(1)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為 ( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)經(jīng)過點A(5,2)，B(3,2)，圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程為
_______
9、_____________．
答案 (1)B (2)(x－4)2＋(y－5)2＝10
解析 (1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)，
則＝，
即|a|＝|a－2|，解得a＝1，
故圓心坐標(biāo)為(1，－1)，半徑r＝＝，
故圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(2)設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則，
可得a＝4，b＝5，r2＝10.
題型二 與圓有關(guān)的最值問題
例2 已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
思維啟迪：根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助圖形來求最值．
解 (1)原方程化為(
10、x－2)2＋y2＝3，表示以點(2,0)為圓心，以為半徑的圓．設(shè)＝k，即y＝kx，當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時＝，解得k＝±.故的最大值為，最小值為－.
(2)設(shè)y－x＝b，即y＝x＋b，當(dāng)y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時＝，即b＝－2±.故y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.
探究提高 與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：
(1)形如μ＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的
11、平方的最值問題．
已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
解 (1)由C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2.
又|QC|＝＝4.
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直線MQ的斜率，
設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，則＝k.
由直線MQ與圓C有交點，所以≤2.
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值為
12、2＋，最小值為2－.
題型三 與圓有關(guān)的軌跡問題
例3 設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．
思維啟迪：結(jié)合圖形尋求點P和點M坐標(biāo)的關(guān)系，用相關(guān)點法(代入法)解決．
解 如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標(biāo)為，線段MN的中點坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對角線互相平分，
故＝，＝.從而.
N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但應(yīng)除去兩點和(點P在直線OM上時的情況)．
探究提高 求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根
13、據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．
②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．
③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．
④代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等．
點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點軌跡方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案 A
解析 設(shè)圓上任一點坐標(biāo)為(x0，y0)，
x＋y＝4，連線中點坐標(biāo)為(x，y)，
則?，
代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(
14、y＋1)2＝1.
利用方程思想求解圓的問題
典例：(12分)已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點)，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑．
審題視角 (1)求圓心及半徑，關(guān)鍵是求m.
(2)利用OP⊥OQ，建立關(guān)于m的方程求解．
(3)利用x1x2＋y1y2＝0和根與系數(shù)的關(guān)系或利用圓的幾何性質(zhì)．
規(guī)范解答
解 方法一 將x＝3－2y，
代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，
得5y2－20y＋12＋m＝0.[2分]
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1、y2滿足條件：
y1＋y2＝4，y1y2＝.[4分]
15、
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.
而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.
∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝.[6分]
故＋＝0，解得m＝3，[9分]
此時Δ>0，圓心坐標(biāo)為，半徑r＝.[12分]
方法二 如圖所示，設(shè)弦PQ中點為M，
∵O1M⊥PQ，∴kO1M＝2.[2分]
∴O1M的方程為y－3＝2，
即y＝2x＋4.[4分]
由方程組.
解得M的坐標(biāo)為(－1,2)．[6分]
則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x＋1)2＋(y－2)2＝r2.
∵OP⊥OQ，∴點O在以PQ為直徑的圓上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，|MQ|2＝r2
16、.
在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.
∴＝2＋(3－2)2＋5.
∴m＝3.[9分]
∴半徑為，圓心為.[12分]
方法三 設(shè)過P、Q的圓系方程為
x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0.[2分]
由OP⊥OQ知，點O(0,0)在圓上．
∴m－3λ＝0，即m＝3λ.[4分]
∴圓系方程可化為
x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λx＋2λy－3λ＝0.
即x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0.[6分]
∴圓心M，又圓心在PQ上．
∴－＋2(3－λ)－3＝0，
∴λ＝1，∴m＝3.[9分]
∴圓心為，半徑為.[12分]
溫馨提
17、醒 (1)在解決與圓有關(guān)的問題中，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡捷明了，簡化思路，簡便運算．
(2)本題中三種解法都是用方程思想求m值，即三種解法圍繞“列出m的方程”求m值．
(3)本題的易錯點：不能正確構(gòu)建關(guān)于m的方程，找不到解決問題的突破口，或計算錯誤．
方法與技巧
1． 確定一個圓的方程，需要三個獨立條件．“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式，進(jìn)而確定其中的三個參數(shù)．
2． 解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)，簡化運算．
失誤與防范
1． 求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)
18、的三個獨立方程．
2． 過圓外一定點，求圓的切線，應(yīng)該有兩個結(jié)果，若只求出一個結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況．
A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經(jīng)過
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心為，
則a<0，b>0.直線y＝－x－，k＝－>0，－>0，
直線不經(jīng)過第四象限．
2．若點(1,1)在圓(x－a)
19、2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A．－11或a<－1 D．a(chǎn)＝±1
答案 A
解析 因為點(1,1)在圓的內(nèi)部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1
20、，且過點(1,2)的圓的方程為 ( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，b)，則由題意知
＝1，解得b＝2，
故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 若圓x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0與y軸的兩交點A，B位于原點的同側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍是______________．
答案?。?3
解析 令x＝0，可得y2＋2my＋m＋6＝0，由題意知，此方程有兩個不相等且同號
21、的實數(shù)根，即
解得－63.
6． 以直線3x－4y＋12＝0夾在兩坐標(biāo)軸間的線段為直徑的圓的方程為________________．
答案 (x＋2)2＋2＝
解析 直線3x－4y＋12＝0與兩坐標(biāo)軸的交點分別為
A(－4,0)、B(0,3)，
所以線段AB的中點為C，|AB|＝5.
故所求圓的方程為(x＋2)2＋2＝2.
7． 已知點M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是__________．
答案 x＋y－1＝0
解析 過點M的最短弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)，∵k
22、CM＝＝1，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
三、解答題(共22分)
8． (10分)根據(jù)下列條件求圓的方程：
(1)經(jīng)過點P(1,1)和坐標(biāo)原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上；
(2)過三點A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解 (1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由題意列出方程組
，解之得
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(2)方法一 設(shè)圓的一般方程為
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則
解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95.
∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－9
23、5＝0.
方法二 由A(1,12)，B(7,10)，
得AB的中點坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－，
則AB的中垂線方程為3x－y－1＝0.
同理得AC的中垂線方程為x＋y－3＝0.
聯(lián)立，得，
即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝＝10.
∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.
9． (12分)一圓經(jīng)過A(4,2)，B(－1,3)兩點，且在兩坐標(biāo)軸上的四個截距的和為2，求此圓的方程．
解 設(shè)圓心為(a，b)，圓與x軸分別交于(x1,0)，(x2,0)，與y軸分別交于(0，y1)，(0，y2)，根據(jù)題意知x1＋x2＋y1＋y2＝2，∵a＝，b＝，∴a＋b＝1.
又∵
24、點(a，b)在線段AB的中垂線上，∴5a－b－5＝0.
聯(lián)立解得
∴圓心為(1,0)，半徑為＝.
∴所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝13.
B組 專項能力提升
(時間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． 若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則P(a，b) ( )
A．在圓上 B．在圓外
C．在圓內(nèi) D．以上都有可能
答案 B
解析 由已知條件<1，即a2＋b2>1.
因此點P(a，b)在圓外．
2． 已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點關(guān)于直線x－y＋3＝0對稱，則實數(shù)m的值為
25、
( )
A．8 B．－4 C．6 D．無法確定
答案 C
解析 圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對稱的兩點，則x－y＋3＝0過圓心，即－＋3＝0，∴m＝6.
3． 已知圓的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線3x＋4y＋4＝0相切，則圓的方程是 ( )
A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
答案 A
解析 設(shè)圓心為C(m,0) (m>0)，因為所求圓與直線3x＋4y＋4＝0相切，所以＝2，整理得：|3m＋4|＝10，
26、解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故選A.
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱，則a－b的取值范圍是
________．
答案 (－∞，1)
解析 圓的方程化為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圓心為(－1,2)，且5－a>0，即a<5.
又圓關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.
5． 若PQ是圓O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中點是M(1,2)，則直線PQ的方程是____________．
答
27、案 x＋2y－5＝0
解析 由圓的幾何性質(zhì)知kPQkOM＝－1.∵kOM＝2，∴kPQ＝－，故直線PQ的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
6． 已知AC、BD為圓O：x2＋y2＝4的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形
ABCD的面積的最大值為________．
答案 5
解析 如圖，取AC的中點F，BD的中點E，
則OE⊥BD，OF⊥AC.
又AC⊥BD，
∴四邊形OEMF為矩形，
設(shè)|OF|＝d1，|OE|＝d2，
∴d＋d＝|OM|2＝3.
又|AC|＝2，|BD|＝2，
∴S四邊形ABCD＝|AC|·|BD|
＝2·＝2
＝2.
∵
28、0≤d≤3.∴當(dāng)d＝時，S四邊形ABCD有最大值是5.
三、解答題
7． (13分)圓C通過不同的三點P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圓C在點P處的切線斜率為1，試求圓C的方程．
解 設(shè)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則k、2為x2＋Dx＋F＝0的兩根，
∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F(xiàn)＝2k，
又圓過R(0,1)，故1＋E＋F＝0.∴E＝－2k－1.
故所求圓的方程為x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，
圓心坐標(biāo)為.
∵圓C在點P處的切線斜率為1，
∴kCP＝－1＝，∴k＝－3.
∴D＝1，E＝5，F(xiàn)＝－6.
∴所求圓C的方程為x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.3圓的方程教案 理 新人教A版
