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1、2022年高一數(shù)學(xué) 分期付款中的有關(guān)計算 第十一課時 第三章
●課 題
§3.6.1 分期付款中的有關(guān)計算(一)
●教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識點
1.等比數(shù)列的通項公式.
2.等比數(shù)列的前n項求和公式.
(二)能力訓(xùn)練要求
將等比數(shù)列的通項公式和前n項求和公式應(yīng)用到分期付款中的有關(guān)計算中去.
(三)德育滲透目標(biāo)
1.增強學(xué)生的應(yīng)用意識.
2.提高學(xué)生的實際應(yīng)用能力.
●教學(xué)重點
等比數(shù)列通項公式和前n項和公式的應(yīng)用.
●教學(xué)難點
利用等比數(shù)列有關(guān)知識解決一些實際問題.
●教學(xué)方法
啟發(fā)誘導(dǎo)式教學(xué)法
●教學(xué)過程
Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧
[師]近幾天來,我們學(xué)習(xí)了有
2、關(guān)等比數(shù)列的哪些知識?
[生]定義式:=q (n≥2,q≠0)
通項公式:an=a1qn-1(a1,q≠0)
前n項和公式:
Sn=(q≠1),
Ⅱ.講授新課
[師]這節(jié)課我們共同來探究一下它在實際生活中的應(yīng)用.如今,在社會主義市場經(jīng)濟(jì)的調(diào)節(jié)之下,促銷方式越來越靈活,一些商店為了促進(jìn)商品的銷售,便于顧客購買一些售價較高的商品,在付款方式上也很靈活,可以一次性付款,也可以分期付款.
首先我們來了解一下何為分期付款?也就是說,購買商品可以不一次性將款付清,而可以分期將款逐步還清,具體分期付款時,有如下規(guī)定:
1.分期付款中規(guī)定每期所付款額相同.
2.每月利息按復(fù)利計算,是指上月利
3、息要計入下月本金.例如:若月利率為0.8%,款額a元,過1個月增值為a(1+0.8%)=1.008a(元),再過1個月則又要增值為1.008a(1+0.008)=1.0082a(元)
3.各期所付的款額連同到最后一次付款時所生的利息之和,等于商品售價及從購買到最后一次付款時的利息之和.
[師]另外,多長時間將款付清,分幾次還清,也很靈活,它有多種方案可供選擇,下面我們以一種方案為例來了解一下這一種付款方式.
例如,顧客購買一件售價為5000元的商品時,如果采取分期付款,總共分六次,在一年內(nèi)將款全部付清,每月應(yīng)付款多少元?
首先,我們來看一看,在商品購買后1年,即貨款全部付清時,其商品售
4、價增值為多少?
[生]若按月利率為0.8%計算,在商品購買后1個月時,該商品售價增值為:
5000(1+0.008)=5000×1.008(元),
由于利息按復(fù)利計算,在商品購買后2個月,商品售價增值為:
5000×1.008×(1+0.008)=5000×1.0082(元),
……
在商品購買12個月(即貨款全部付清時),其售價增值為:
5000×1.00811×(1+0.008)=5000×1.00812(元)
[師]下面,我們來看,在貨款全部付清時,各期所付款額的增值情況如何.
假定每期付款x元.
第1期付款(即購買商品后2個月)付款x元,過10個月即到貨款全部付清時
5、,則付款連同利息之和為:1.00810x(元),
第2期付款(即購買商品后4個月)付款x元,過8個月即到款全部付清時,所付款連同利息之和為:1.0088x(元)
[師]依此類推,可得第3,4,5,6期所付的款額到貨款全部付清時連同利息的和.
[生]可推得第3,4,5,6期所付的款額到貨款全部付清時,連同利息的和依次為:1.0086x(元),1.0084x(元),1.0082x(元),x(元)
[師]如何根據(jù)上述結(jié)果來求每期所付的款額呢?
根據(jù)規(guī)定3,可得如下關(guān)系式:x+1.0082x+1.0084x+…+1.00810x=5000×1.00812
即:x(1+1.0082+1.00
6、84+…+1.00810)=5000×1.00812
[生]觀其特點,可發(fā)現(xiàn)上述等式是一個關(guān)于x的一次方程,且等號左邊括弧是一個首項為1,公比為1.0082的等比數(shù)列的前6項的和.由此可得
x·=5000×1.00812,
即x=
解之得x≈880.8(元),即每次所付款額為880.8元,6次所付款額共為880.8×6=5285(元),它比一次性付款多付285元.
Ⅲ.課堂練習(xí)
[生]分組對另外兩種方案進(jìn)行練習(xí).
第一組:方案A:分12次付清,即購買后1個月第一次付款,再過1個月第二次付款…購買后12個月第12次付款.
解:設(shè)每次付款為x元,則第一次付款到款付清時連同利息為x(
7、1+0.008)11
第二次所付款到款付清時連同利息總和為x(1+0.008)10
……
第三次至第十二次付款到款付清時連同利息分別為:x(1+0.008)9,x(1+0.008)8,x(1+0.008)7,x(1+0.008)6,……,x(1+0.008),x(元)
由此可得x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x(1+0.008)+x=5000×(1+0.008)12
即x(1.00811+1.00810+…+1.008+1)
=5000(1+0.008)12,
x=
解之得:x≈438.6(元),付款總額為438.6×12=5263(元)
第二組:方案
8、B:分3次付清,即購買后4個月第1次付款,再過4個月第2次付款,再過4個月第3次付清款.
解:設(shè)每次付款為x元
則第1、2、3次付款到款付清時連同利息之和為:x(1+0.008)8,x(1+0.008)4,x(元)
由此可得:x(1+0.008)4+x(1+0.008)4+x=5000×(1+0.008)12
即x(1.0088+1.0084+1)=5000×1.00812
x=≈1775.8(元)
付款總額為1775.8×3=5327(元)
Ⅳ.課時小結(jié)
[師]解決實際應(yīng)用問題時,應(yīng)先根據(jù)題意將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即數(shù)學(xué)建模,然后根據(jù)所學(xué)有關(guān)數(shù)學(xué)知識求得數(shù)學(xué)模型的解,最后根據(jù)實際情況求得實際問題的解.
Ⅴ.課后作業(yè)
(一)熟練解決分期付款問題的基本方法和步驟.
(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容:預(yù)習(xí)課本P132
2.預(yù)習(xí)提綱:
(1)采取不同方案實現(xiàn)分期付款中的x的表達(dá)式是否有共同特點?
(2)可否概括出一個一般的公式?
●板書設(shè)計
§3.6.1 分期付款中的有關(guān)計算(一)
分期付款規(guī)定:
①
②
③
例題:建模→模型解→實際問題的解
總結(jié)