6、離x=1越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，故選C.
【思路點撥】由f（2﹣x）=f（x）得到函數(shù)的對稱軸為x=1，再由x≥1時，f（x）=lnx得到函數(shù)的圖象，從而得到答案.
【題文】5．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 （ ）
A． B．
C． D．
【知識點】復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性。C3
【答案解析】B 解析：令：，t=sin（2x+），∴2kπ＜2x+≤2kπ+
kπ＜x≤kπ+，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（k∈Z），故選B。
【思路點撥】觀察可知函數(shù)是由，t=sin（2x+）構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，只要求得t=sin（2x+）增區(qū)間中
7、的大于部分即可．
【題文】6．如圖，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值（ ）
A． B.
C. D.
【知識點】二次函數(shù)的性質(zhì)．B5
【答案解析】A 解析：由得：，（0＜k＜1）．
由題設(shè)得∫01﹣k[（x﹣x2）﹣kx]dx=∫01（x﹣x2）dx，
即∫01﹣k[（x﹣x2）﹣kx]dx=（x 2﹣x3）|01=，∴（1﹣k）3=，∴k=1﹣，
故選：A
【思路點撥】先由得，根據(jù)直線y=kx分拋物線y=x﹣x2與x軸所圍成圖形為面積相等的兩個部分得∫01﹣k[（x
8、﹣x2）﹣kx]dx=∫01（x﹣x2）dx，下面利用定積分的計算公式即可求得k值．
【題文】7．已知函數(shù)，則等于（ ）
A．-1 B.0 C. 1 D. 2
【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)的值．B4
【答案解析】D 解析：函數(shù)，
則=f（lg2）+f（﹣lg2）
=+
=+1+
=+
=2．
故選：D．
【思路點撥】利用對數(shù)函數(shù)是奇函數(shù)以及對數(shù)值，直接化簡求解即可．
【題文】8．tan70°cos10°(1－tan20°)的值為( )
A．－1
9、 B．1 C．－2 D．2
【知識點】兩角和與差的正切函數(shù)．C5
【答案解析】B 解析：tan70°cos10°（1﹣tan20°）=﹣tan70°cos10°（tan20°﹣1）
=﹣cot20°cos10°（﹣1）
=﹣2cot20°cos10°（sin20°﹣cos20°）
=﹣2cos10°（sin20°cos30°﹣cos20°sin30°）
=﹣
=1
故選：B．
【思路點撥】先把切轉(zhuǎn)化成弦，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，兩角和公式和二倍角公式對原式進(jìn)行化簡整理，求得答案．
【題文】9．已知函數(shù)y＝＋的最大值為M，最小值為m，則
10、的值為( )
A. B. C. D.
【知識點】函數(shù)的值域．B1
【答案解析】C 解析：根據(jù)題意，對于函數(shù)，
有，
所以當(dāng)x=﹣1時，y取最大值，當(dāng)x=﹣3或1時y取最小值m=2∴
故選C．
【思路點撥】函數(shù)問題定義域優(yōu)先，本題要先確定好自變量的取值范圍；然后通過函數(shù)的單調(diào)性分別確定出m與n即可．
【題文】10．.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．(－∞，0) B. C．(0，1) D．(0，＋∞)
【知識點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．B11
【答案解析】
11、B 解析：函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點，
等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點，
在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）
當(dāng)a=時，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，
由圖可知，當(dāng)0＜a＜時，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點．
則實數(shù)a的取值范圍是（0，）．
故選B．
【思路點撥】先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣a
12、x）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點，等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象由兩個交點，在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖象．由圖可求得實數(shù)a的取值范圍．
【題文】11. 設(shè)且則 （ ）
A． B. C. D.
【知識點】三角函數(shù)的化簡求值．C7
【答案解析】C 解析：由tanα=，得：，
即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．
由等式右邊為單角α，左邊為角α與β的差，可知β與2α有關(guān)．
排除選項A，B后驗證C，
當(dāng)時，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．
故選
13、：C．
【思路點撥】化切為弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由該等式左右兩邊角的關(guān)系可排除選項A，B，然后驗證C滿足等式sin（α﹣β）=cosα，則答案可求．
【題文】12. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，， 若，，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【知識點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)最值的應(yīng)用．B1 B4
【答案解析】B 解析：當(dāng)x≥0時，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；當(dāng)a2＜x＜2a2時，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，
14、得f（x）≥﹣a2．∴當(dāng)x＞0時，．
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時，．
∵對?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．
故實數(shù)a的取值范圍是．故選：B．
【思路點撥】把x≥0時的f（x）改寫成分段函數(shù)，求出其最小值，由函數(shù)的奇偶性可得x＜0時的函數(shù)的最大值，由對?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解該不等式得答案．
第Ⅱ卷 （90分）
二.填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分.
13.計算定積分__________
【知識點】定積分．B13
【答案解析】 解析：由題意，定積分===
15、故答案為：
【思路點撥】求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再計算定積分的值．
【題文】14..設(shè)上的奇函數(shù)，且，則不等式的解集為
【知識點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．B3 B4
【答案解析】 解析：因為當(dāng)x＞0時，有 （x2+1）f'（x）﹣2xf（x）＜0恒成立，即[]′＜0恒成立，所以y=在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
因為f（﹣1）=0，所以在（0，1）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（1，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以在（﹣∞，﹣1）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（﹣1，0）內(nèi)恒有f（x）＜0．即不等式f（x）＞0的解集為：（﹣∞，﹣1）∪（0
16、，1）．
故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
【思路點撥】首先根據(jù)商函數(shù)求導(dǎo)法則，把 （x2+1）f'（x）﹣2xf（x）＜0，化為[]′＜0；然后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，可判斷函數(shù)y=在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；再由f（﹣1）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）內(nèi)的正負(fù)性．則f（x）＞0的解集即可求得。
【題文】15.對于函數(shù)給出下列四個命題：
①該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)
②當(dāng)且僅當(dāng)時，該函數(shù)取得最小值是-1
③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
④當(dāng)且僅當(dāng)時，
其中正確命題的序
17、號是 （請將所有正確命題的序號都填上）
【知識點】三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)的周期性及其求法；余弦函數(shù)的單調(diào)性．B4 C3 C7
【答案解析】③④ 解析：由題意函數(shù)f（x）=，畫出f（x）在x∈[0，2π]上的圖象．由圖象知，函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，
在x=π+2kπ（k∈Z）和x=+2kπ（k∈Z）時，該函數(shù)都取得最小值﹣1，故①②錯誤，
由圖象知，函數(shù)圖象關(guān)于直線x=+2kπ（k∈Z）對稱，
在2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）時，0＜f（x）≤，故③④正確．
故答案為 ③④
【思路點撥】由題意作出此分段函數(shù)的圖象，由圖象研究該函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)
18、這些性質(zhì)判斷四個命題的真假，此函數(shù)取自變量相同時函數(shù)值小的那一個，由此可順利作出函數(shù)圖象．
【題文】16. 已知函數(shù)與圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則的取值范圍是__________________________.
【知識點】函數(shù)的圖象．B10
【答案解析】 解析：由題意可得：
存在x0∈（﹣∞，0），滿足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），
即ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有負(fù)根，
∵當(dāng)x趨近于負(fù)無窮大時，ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趨近于負(fù)無窮大，
且函數(shù)h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）為增函數(shù)，∴h（0）=﹣lna＞0，
∴l(xiāng)na＜ln，∴0＜a＜，
19、∴a的取值范圍是（0，），
故答案為：（0，）
【思路點撥】由題意可得：存在x0∈（﹣∞，0），滿足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），函數(shù)h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）的圖象和性質(zhì)，得到h（0）=﹣lna＞0，繼而得到答案．
三、 解答題：（本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
17.(本小題滿分10分)
已知函數(shù)，，且.
（1）求的值；
（2）若，，求.
【知識點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；兩角和與差的正弦函數(shù)．C4 C5
【答案解析】（1）；（2）
解析：（1）∵函數(shù)f
20、（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
∴Asin（+）=Asin=A?=，
∴A=．
（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），
∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sincosθ=cosθ=，
∴cosθ=，再由 θ∈（0，），可得sinθ=．
∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．
【思路點撥】（1）由函數(shù)f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．
（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根據(jù)f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由 θ∈（0，），求得sinθ 的值，從而求得f（﹣θ） 的值．
【
21、題文】18. .(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(1)設(shè)ω＞0為常數(shù)，若在區(qū)間上是增函數(shù)，求ω的取值范圍；
(2)設(shè)集合，,若A?B，求實數(shù)m的取值范圍.
【知識點】正弦函數(shù)的定義域和值域；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用。A1 C5
【答案解析】（1）；（2）m∈(1，4)
解析：(1)f(x) =……………………2
∵f(ωx)=2sinωx+1在上是增函數(shù).
∴，
即…………………………………………………6
(2)由|f(x)-m|＜2得：-2＜f(x)-m＜2,
即 f(x)-2＜m＜f(x)+2.
∵A?B,∴當(dāng)時，f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立
∴
22、……………………………………………9
又時，
,
∴m∈(1，4)……………………………………………………………………12
【思路點撥】（1）化簡函數(shù)，然后利用
在區(qū)間上是增函數(shù)，解答即可．（2）先求|f（x）﹣m|＜2中的m的范圍表達(dá)式，f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，m大于f（x）﹣2的最大值，小于f（x）+2的最小值即可．
【題文】19．(本小題滿分12分)
若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
23、【知識點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)解析式的求解及常用方法．B1
【答案解析】（1）f(x)＝x2－x＋1；（2）(－∞，－1)．
解析：(1)由f(0)＝1，得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
則a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
所以解得
因此，f(x)＝x2－x＋1…………………………………………………………….6
(2)f(x)>2x＋m等價于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1
24、]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，
由－m－1>0得，m<－1.
因此滿足條件的實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)．……………………………….12
【思路點撥】（1）由二次函數(shù)可設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式；（2）欲使在區(qū)間[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只須x2﹣3x+1﹣m＞0在區(qū)間[﹣1，1]上恒成立，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0，即可得m的取值范圍．
【題文】
25、20．(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數(shù)．
(1)若f(1)>0，試求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
【知識點】奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)。B3 B4
【答案解析】（1）{x|x>1，或x<－4}；（2）－2。
解析：∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1…………………………………………………2
(1)∵f(1)>0，∴a－>0，
又a>0且a≠1，∴a
26、>1，f(x)＝ax－a－x，
∵f′(x)＝axln a＋a－x ln a＝(ax＋a－x)·ln a>0，
∴f(x)在R上為增函數(shù)．……………………………………………………………4
原不等式可化為f(x2＋2x)>f(4－x)，
∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，
∴x>1或x<－4，
∴不等式的解集為{x|x>1，或x<－4}．…………………………………….6
(2)∵f(1)＝，∴a－＝，
即2a2－3a－2＝0，
∴a＝2或a＝－(舍去)，…………………………………………………8
∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4
27、(2x－2－x)＋2.
令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，則t(x)在(1，＋∞)為增函數(shù)(由(1)可知)，
即t(x)≥t(1)＝，
∴原函數(shù)變?yōu)閣(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，
∴當(dāng)t＝2時，w(t)min＝－2，
此時x＝log2(1＋)．
即g(x)在x＝log2(1＋)時取得最小值－2…………………………………………………………12
【思路點撥】先利用f（x）為R上的奇函數(shù)得f（0）=0求出k以及函數(shù)f（x）的表達(dá)式，
（1）利用f（1）＞0求出a的取值范圍以及函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再把不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0利用函數(shù)f（x）是奇函數(shù)進(jìn)行
28、轉(zhuǎn)化，再利用求得的單調(diào)性解不等式即可；
（2）先由f（1）=得a=2，得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，，再對g（x）進(jìn)行整理，整理為用f（x）表示的函數(shù)，最后利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性以及最值來求g（x）在[1，+∞）上的最小值．
【題文】21．(本小題滿分12分)
函數(shù)的圖象上有兩點A（0，1）和B（1，0）
（Ⅰ）在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求實數(shù)a使得函數(shù)的圖象在x=a處的切線平行于直線 AB；
（Ⅱ）設(shè)m>0，記M（m，），求證在區(qū)間（0，m）內(nèi)至少有一實數(shù)b，使得函數(shù)
圖象在x=b處的切線平行于直線AM.
【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。B11
29、 B12
【答案解析】（I）；（II）見解析。
解析：（Ⅰ）解：直線AB斜率kAB=－1
令
解得 …………………………………………………………………………4
（Ⅱ）證明：直線AM斜率
考察關(guān)于b的方程
即3b2－2b－m2+m=0
在區(qū)間（0，m）內(nèi)的根的情況
令g(b)= 3b2－2b－m2+m，則此二次函數(shù)圖象的對稱軸為
而
g(0)=－m2+m=m(1－m)
g(m)=2m2－m－m(2m－1) ………………………………………………………8
∴（1）當(dāng)內(nèi)有一實根
（2）當(dāng)內(nèi)有一實根
（3）當(dāng)內(nèi)有一實根
綜上，方程g(b)=0在區(qū)間（0
30、，m）內(nèi)至少有一實根，故在區(qū)間（0，m）內(nèi)至少有一實數(shù)b，使得函數(shù)圖象在x=b處的切線平行于直AM …………………………………………………12
【思路點撥】（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率f′（a），求得直線AB的斜率，令f′（a）=﹣1（0＜a＜1）解方程即可得到a；（Ⅱ）求出直線AM斜率，直求出線在x=b處的切線斜率為f′（b），由切線平行于AM，可令f′（b）=m2﹣m﹣1，考察3b2﹣2b﹣m2+m=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)的根的情況，令g（b）=3b2﹣2b﹣m2+m，求得g（0），g（m），g（），對m討論：當(dāng)0＜m＜時，當(dāng)≤m＜1時，當(dāng)m≥1時，由零點存在定理，即可得證．
【題文】
31、22.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)．
（I）若函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實數(shù)的
取值范圍；
（II）若，設(shè)，求證：當(dāng)時，
不等式成立．
【知識點】數(shù)列與不等式的綜合；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．B11
【答案解析】（I）或 ；（II）見解析。
解析：（I），
∵函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，
∴當(dāng)時，恒成立，
即恒成立，
∴在時恒成立，或在時恒成立，
∵，∴或 ……………………………………6
（II），
∵定義域是，，即
∴在是增函數(shù)，在實際減函數(shù)，在是增函數(shù)
∴當(dāng)時，取極大值，
當(dāng)時，取極小值，
∵，∴
設(shè)，則，
∴，∵，∴
∴在是增函數(shù)，∴
∴在也是增函數(shù)
∴，即，
而，∴
∴當(dāng)時，不等式成立． ……………………………12
【思路點撥】（Ⅰ）由題意得f′（x）?g′（x）=（x+）（a+1）=?（a+1）≥0，當(dāng)x∈[1，3]時，或恒成立，求得﹣x2的最值，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由題意得F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值，即可得出結(jié)論．
2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題 理（含解析）
